二阶变系数线性微分方程的一些解法

1、第九节二阶变系数线性微分方程的一些解法常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中 介绍，而对于变系数线性方程， 要求其解一般是很困难的。本节介绍处理这类方程的二种方法§9.1降阶法在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而求得方程的解，这种方法也可用于二阶支系数线性方程的求解。辱忠阶线性齐次方三d2ydy+p(x) 、+q(x)y=0(9.1)dx2dx设已知其一个非零特解y咋变量替换，令y =uyi(9.2)dy=yidu+udyi dx dx dx22_ d y d u求二阶导数有一Z=yidx2dx2代入(9.i)r；斗d2udy1y 12 +

2、 (2+p(x)y 1)dxdx(9.3)这是一个关于u的二阶线性齐次:所以其中其中u=u(x)为未虹函数，求今数未du dy1d2yl2dx dx "dx2dud2yldy1十 (2 + p(x) + q(x)y 1)u = 0dxdxdx号程， 各项系数是x的已知函数，因为yi是(9.1)的解,d2yidyi-+ p(x) + q(x)y i三 0dx2dx故(9.3)式忆为一d2udyiduy i 2 +(2 -2+p(x)y i) =0dxdxdx公 人dy -再作变量替换，令一 = z仔dxy总+ (2皈dx dx+ p(x)y i)z = 0分离变量dz = F p(x)

3、 dxzyi两应枳分，存其逋肥C22yi一P p(x)dx e其中C2为fl意:常'数1积分得u = C2 / 2yie-p(x)dxdx + Ci代回原变量得(9.1)的通解1y =yi G+G/ep(x)dx dx y2此式称为二阶线性方程的刘维尔 (Liouville )公式。综k所述,对于一阶线件齐次于二,若已怔其一一寸零特解,作一次变指 附作变换 y= yi / zdx可将其降为一阶线性齐次方程，从而求得通解。对于二阶线性非齐次方程， 若已知其对应的齐次方程的一个特解，用同样的变换，因为这种变换并不影响方程的有端，所以也铃便非齐次方程降低一阶O2sinx 、 d y 2 dy

4、、例1. 已知 y i =是方程 2 + y = 0的一个解，试求方程的通解解作变换 y = y1 / zdx则有 -= y1z + '丫1 / zdx曲”上+22+必/zdx22dx dx dx dx代入原方程，并注意到 y1是以方程的钟：江dzy 1 dx+ 化 W=0dx dxdz =2 ctanx zdx积分得zC12sin xf-dx+G sin x日 sinx 是 y =yi/zdx=/xsinx(Cictanx +C2)x1= (C 2sinx Ccosx)x这就是原方程的逋解。§9.2常触易法在第三节求一阶线性非齐方程通解时,我们曾对其对应的齐次方程的通解，利

5、用常数变易法求杼V齐次方程的迪解。对于一阶线性T.齐次方程d2y之 十 p(x) dx2其中 p(x),q(x)d2y:+ p(x)dx的通解 ydy=-+ p(x)y = f(x) (9.4)dx,f(x) i1某区间上迎续,如用汇应的产次方起dy n+ q(x)y = 0dx=Cy i + C2y2匚经求解。那么也可速过如卜的常数变易法求得非齐次方一程的逋解。 设非齐次方程(9.4)通行形式y=uy+u2y2(9.5)的特解，其中U=U(x) , u2= u(x)是两个待定函数，对 y求导数得y' = u1y' 1 + u2y7 2+yU i + y2/2由于用(9.5)代

6、入(9.4),可确定ui, U2的一个方程，为了同时确定这两个函数，还须添加一个条件,为计算方便，我们补充一个条件:y i u i + y2u' 2= 0这样y' = u1y z + u2y' 21y1 + u' 2y" 2+u1y' 1+u2y' 2代入方程(9.3),并注意到yi, y2是齐次方程曲解，整二.邛得 u ' V' 1+u' N 2 = f(x)y1u'1 y2u'2 = 0与补充条件联列得方程组y'iu'i y'2 yiu” f(x)因为yi, 丫2徙性王

7、美，叮y2 W常数，所以(y2 )，= y1y2 2y 2y1 丰 0yiyiyi二 - y2f (x)w(x)= yf(x) w(x)设w(x) =yiy' 2y2y，1,则有w(x) W0所以上述方程组有堆一解。 磐得y2f (x)ui 一 , T丫42一丫2丫 i川.y1f (x)u 2 一yy'2 y2y'i枳分并垠其一个原函数得y2 f (x) dxw(x)_ . yi f(x)u 2 jdxw(x)y2 f(x) yi f(x)则所求特解为 y = yi /d dx + y2/ d dxw(x) w(x)- y2 f (x)-所求方程的通斛 y =Y+ y = Ciyi + C2y2 + yi / -dx+y2/w(x)9Mxw(x)上述求特解的方法也适用于常.系数非齐次方程情形。d2y i dy例i. 求方程 工=x I向通解d2y_1dy=0dx2 x dx的通解，由d2y 1 dydx2 x dx1- d(dydy" dx xdx得ln | In | x | I In即 dy = Cx得通解y=Cx2+Gdx所以对应齐次方程的两个线性无关的特解是x2和1Cl为求非齐次方程的一个解y将Ci,。换成待定函数ui, U2,且ui, U2湎足