指数函数经典例题(标准答案)

1、指数函数1 .指数函数的定义:函数y ax(a 0且a 1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是 R2 .指数函数的图象和性质:xx在同一坐标系中分别作出函数 y=2x, y= 1 , y=10x, y= 的图象.xx.八 一 、.1.1我们观察y=2x, y= 1, y=10x , y= 图象特征，就可以得到210y ax(a 0且a 1)的图象和性质。a10a 0,则 3x2x1 , f (3x) f (2x);若 x 0 ,则 3x 2x 1 , . f(3x) f(2x).综上可得 f(3x) f(2x),即 f (cx) f(bx).评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、

2、利用函数的单调性或中 问量等.对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论.2 .求解有关指数不等式例2已知(a2 2a 5)3x (a2 2a 5)1 x ,则x的取值范围是 :分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围.解：, a2 2a 5 (a 1)2 4 4 1 ,函数y (a2 2a 5)x在(8,训上是增函数，11 3x 1 x,解得x - . ；x的取值范围是一，844评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的 指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论.3 .求定义域及值域问题例3求函数y G16=的定义域和值域.解

3、：由题意可得1 6x 2 0 ,即6x201,. x 2&0,故x&2.函数f (x)的定义域是 8,2.令 t 6x 2,贝U y ,又.xWZ, x 2 0. . 0 6x 2 0 1 ,即 0 t 0 1 .0bd ,比较1点与若若若若a -：b 05c 0ab Osc y 011E解：（1）由* 1 ,故以为减函数.由二(2)由斯 (df(3)而J(4)a r 1，故：a 1，故1.从而一 ；y-1应有厘.因若厘工小，则5 .又左口，故】1,这样1甘 .又因或沙力 ，故.从而八，这与已知蓊二/矛盾.-1,这样有口 f .又因工。，且阻。），故.从而/小，这与已知短二 矛盾.小结：比较通

4、常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解.2,曲线分别是指数函数x.二j=3y*”和,工4黑的图象,与1的大小关系是().a ca d ch a c d4* 1 0 且 yW1.(2)y= 4x+2x+1+1 的定义域为 R. v 2x0,. y= 4x+2x+1+1 = (2x)2+2 - 2x+1 = (2x+1)21.y=4x+2x+1+1 的值域为 y I y1.4,已知-1今，求函数f(x)=3+2 3x+1-9x的最大值和最小值1斛：设 t=3x,l3为-1 所以 一 t 9 ,且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12，故当 t=3 即 x=1 时, 3f(x)取最大值12,

5、当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。5、设 H ,求函数尸=d厂3艺+5的最大值和最小值.分析：注意到矛=(?)* =，设2，则原来的函数成为尸=)笳一%+ 52,利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值.解：设2T=h ,由0三不三2知，14后二 二(然尸1 322v = 1a 3l； = 51 毕,函数成为 2邑乩引，对称轴_ 2 n .1- 3a-3 3+5=-x二3Tl阳，故函数最小值为22 ,因端点口=1较母=4距对称-12-31-f5 = 2-轴二?远，故函数的最大值为22 .6. (9分)已知函数2x 2ax 1(a 1)在区间1,1上的最大值是14,求a的值.解

6、：y2x a2ax1(a当a解得1, t1), 换元为y t2 2t即x=1时取最大值，略a=3 (a= 5 舍去)7.已知函数小”一如匕2 (且(1)求了 的最小值；(2)若/。 求K的取值范围. %* +2 =.解：(1)1.11(- t a),对称轴为t 1. a2即=F1时，川)有最小值为 4=/-弘士”“卜二。当时，1%2f 0 ；当0C时，2c .:0 .8 (10分)(1)已知 f(x) m是奇函数，求常数m的值;3x 1(2)画出函数y |3x1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3*k无解有一解有两解解：（1）常数m=1（2）当k0时，直线y=k与函数y |3x1|的

7、图象无交点，即方程无解；当k=0或k 1时，直线y=k与函数y 一解；|3x 11的图象有唯一的交点，所以方程有当0k1时，直线y=k与函数y |3x11的图象有两个不同交点，所以方程有两解。9.若函数 2 -1 是奇函数，求高 的值.解：二,/ 为奇函数，二力二一“),1 1+ 4 =-a即 2-12:1,01I121r1= - _ 金则 27 1 2 11 2R 12, .210 .已知+90 0,求函数y= (1) x-1-4 (工)x+2的最大值和最小值 42解：由已知得(3x) 2-10 - 3x+90得(3x-9) (3x-1) 01、1) x+2213x0且 aw 1). a 1

8、(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.解：(1)易得f(x)的定义域为 x | xC R.ax 1y 1y 1设丫= 丁，解得ax= -U .ax0当且仅当-口 0时，方程有解.解a1y 1y 1-1 0 彳4-1y1. y 1；f(x)的值域为 y | -1y1时，ax+1为增函数，且ax+10.F2为减函数，从而f(x)=1-2 = a-一1为增函数.2当0a1时，类似ax 1ax 1 ax 1.一 a 1地可得f(x)=为减函数.a 1215、已知函数 f (x) =a (aCR), 2x 1(1) 求证：对任何aR, f (x)为增函数

9、.(2)若f (x)为奇函数时，求a的值。(1)证明：设x1x2f(X2) f(X1)=2(2x2 23)(1 2%)(1 2X2)0故对任何aR, f (x)为增函数.(2) Q x R,又f (x)为奇函数f(0) 0 得到 a 1 0。即 a 116、定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期为2,且x (0,1)时，f(x)2x4x 1(1)求f(x)在1, 1上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性;(3)当为何值时，方程f (x)=在 x 1,1上有实数解.解(1) . x R上的奇函数. f(0) 0又; 2为最小正周期f(1)f(21)f( 1)f(1) 0设xC(1, 0),则一xC (0,1),x)xx22xx4141f (x) f(x)2x4x 1(2 f(x)2x)4x竣02x4x 1(-1,0) 0x1x21)的图彳是()ABCD分析本题主要考查指数函数的图像