2019_2020学年高中数学第七章复数7.1.1数系的扩充和复数的概念学案新人教A版

1、7. 1.1数系的扩充和复数的概念考点学习目标核心素养复数的有美概念了解数系的扩充过程，理解复数的概念数学抽象复数的分类理解复数的分类数学抽象复数相等掌握复数相等的充要条件及其应用自数学运算研读导学裳试,问题导学预习教材P68 P70的内容，思考以下问题：1 .复数是如何定义的？其表示方法又是什么？2 .复数分为哪两大类？3 .复数相等的条件是什么？.新知初菽4 .复数的有关概念(1)复数的定义形如a+bi( a, be R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足 i 2=- 1.(2)复数集全体复数所构成的集合 上a+bi| a, be R叫做复数集.(3)复数的表示方法复数通常用字母z表示

2、，即z = a+ bi( a, be R) ,其中a叫做复数z的实部，b叫做复数 z的虚部.名师点拨对复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a+bi( a, be R)的形式，其中 0=0+0i.(2)复数的虚部是实数 b而非bi.(3)复数z = a+bi只有在a, be R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式.5 .复数相等的充要条件在复数集C=a+bi| a, bCR中任取两个数a+bi, c+di( a, b, c, d R) ,我们规定： a+bi与c+di相等当且仅当 a= c且b= d.6 .复数的分类纯虚数a=0, 非纯虚数aw0W.名师点拨复数bi

3、( bCR)不一定是纯虚数，只有当 bwo时，复数bi( be R)才是纯虚数.、自我检测O判断(正确的打“，”，错误的打“x”)若a, b为实数，则z=a+bi为虚数.()（2）复数 zi=3i , Z2=2i ,则 ziZ2.（）复数z = bi是纯虚数.（）(4)实数集与复数集的交集是实数集.()答案：(1) X (2) X (3) X (4) V 若z = a+(a21)i( aCR, i为虚数单位)为实数，则a的值为()A. 0B. 1C. - 1 D . 1 或1答案：D 以3iJ2的虚部为实部，以一3 + mi的实部为虚部的复数是()A. 33i B . 3+iC.-也+诋D.

4、小十福答案：AQ若(x 2y)i =2x+1+3i ,则实数x, y的值分别为 答案：-2，实数（b=0）复数 z = a+bi（ a, be R） b,则 a+ib+i ;若(x24)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数 x=2;实数集是复数集的真子集.其中正确的命题是()B.D.A.C.【解析】对于复数a+ bi( a, bCR),当a=0且bwo时，为纯虚数.对于，若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数，即错误；两个虚数不能比较大小，则错误；对于，若x=2,则 x24=0, x2 + 3x+2=0,此时(x24)+(x2+3x+2)i =0 不是纯虚数，则错误； 显然，正确.故选 D.【

5、答案】 D判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时, 可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.a+bi的形式，更要注(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为 意这里a, b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部.跟踪训练提醒 解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记 i的性质.对于复数a+bi(a, bCR),下列说法正确的是(A.若a=0,则a+bi为纯虚数B.若 a+(b 1)i =32i ,则 a=3, b=-2C.若b=0,则a+bi为实数D. i的平方等于1解析：选C.对于A,

6、当a=0时，a+bi也可能为实数;对于 B,若 a+ (b-1)i =3-2i ,则 a=3, b=- 1；对于D, i的平方为1.故选C.2复数的分类mitvmn2+ m- 62例2 当实数 m为何值时，复数 z=m+(m-2n)i ： (1)为实数？(2)为虚数？ (3)为纯虚数？n2- 2m= 0,【解】(1)当即m= 2时，复数z是实数.n 0,(2)当m22m0且m0,即 mO且m2时，复数z是虚数.m# 0,m+ m- 6(3)当一=0m n2- 21Tp5 0,即m 3时，复数z是纯虚数.解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a+bi( a, bC

7、R)的形式，以确定实部和虚部.(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把 复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.(3)下结论：设所给复数为 z=a+bi( a, b R),z为实数？ b=0;z为虚数？ bw 0；z为纯虚数？ a= 0且bw0.跟踪训炼21 .若复数a -a-2+(| a- 1| - 1)i( ae R)不是纯虚数，则()A. a= 1B. aw 1 且 aw2C. aw 1D. aw 2解析：选 C.复数a2-a-2+ (| a- 1| - 1)i( aC R不是纯虚数，则有 a2-a-20或| a 1| 1=0,解

8、得 aw 1.故选 C.2.当实数 m为何值时，复数lg( n22m- 7) + ( n2+ 5m+ 6)i是：(1)纯虚数；(2)实数.一 22-m2-2m- 7=1解：(1)复数 lg( m- 2m-7) + (m+5m+ 6)i 是纯虚数，则 i 2，解得 tt= 4.m+ 5m 6wou2 2_ _22m2m 70,(2)复数 lg( m 2m-7) +(m+ 5m 6)i 是实数，则 “ 2解得 m= 2 或 m=-m+ 5m+ 6 = 0,3.探究点复数相等例引 (1)(2019 浙江杭州期末考试)若 z1 = 34i ,z2=(n23m- 1) + (n2-m-6)i( mnC

9、R),且 z1 = z2,则 m n=()A. 4 或 0B. 4 或 0C. 2 或 0D. 2 或 0(2)若 log 2(x23x2)+ilog 2(x2+2x+1)1 ,则实数 x 的值是.【解析】(1)由z1 = z2,得n2-3m- 1 = 3 且n2-m- 6= 4,解得m= 2,n= 2,所以m+ n= 4或0,故选A.(2)因为 log 2(x23x2) +ilog 2(x2+2x+1)1 ,log 2 (x2 3x 2) 1,所以og 2 (x2+2x+1) = 0x2-3x-22,即 * 2+ 2 +1 解得 *=_ 2.【答案】（1）A（2） -2规律方r法复数相等的充

10、要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数.解决复数相等问题 的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方 程（组）求解.注意在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a,b,c, dC R,即当a,b,c,跟踪训炼:de R时，a+bi =c+di ? a=c且b=d.若忽略前提条件，则结论不能成立.已知 A= 1 , 2, a2-3a-1 + (a2-5a-6)i , B= -1, 3, An B= 3,求实数a的值.解：由题意知，a2-3a-1 + (a2-5a-6)i =3(aCR),所以a2-3a-1 = 3, 12-5a-6

11、=0,即卜=4或a=T,ia= 6或2= 1,所以a=- 1.1.若复数z= ai 2- bi（ a, bC R）是纯虚数，则一定有（）A. b=0B. a= 0且 bwoC. a=0 或 b=0D. abw0. 一 2解析：选B.z=ai bi= abi,由纯虚数的定义可得a=0且bw0.2 .若复数z= m2- 1 + （ n2i- m- 2）i为实数，则实数 m的值为（）A. 1B.C. 1D.解析：选D.因为复数z=ni-1 + (ni-m-2)i 所以 m2- m-2 = 0,解得 m= 1 或 m= 2.3 .若复数 z= (m 1) + (n29)i 0,则实数为实数,m的值等于

12、解析：因为ZV0,所以r 2m9=0, 解得m= - 3.m+1 0,答案：3._1m x x 62nr4.已知 x+1 = (x -2x-3)i( xC R)，则 x =x2 x 6解析：因为XCR所以不丁CR,x x x 6x x+1 ”由复数相等的条件得x2_2x _3=0nx+ 1 W0,解得x= 3.答案：3应用泉丁 回(5希强化培优通关1.以一3 + i的虚部为实部，以A基础达标3i +i 2的实部为虚部的复数是()A. 1-iB. 1 + iC. 3+3iD. 3+3i解析：选A.-3+i的虚部为13i +i2=-1+3i的实部为1,故所求复数为1 i.2.在复平面内，复数 z=

13、(a22a) + (a2a2)i是纯虚数，则A. a= 0 或 a= 2B. a=0C. awl 且 aw2D. aw 1 或 aw2解析：选B.因为复数z = (a22a) + (a2a 2)i是纯虚数，所以a2-2a= 0且 a2- a-20,所以a=0.3 .若 xi i 2= y+ 2i , x, y C R,则复数 x + yi =()A. -2+ iB. 2+iC. 1 2iD. 1 + 2i解析：选B.由i2=- 1,得xi -i2=1 + xi ,则由题意得1+xi =y + 2i ,根据复数相等的充要条件得x= 2, y=1,故x+yi =2+i.4 .复数z = a2 b2

14、+(a+| a|)i( a, be R)为实数的充要条件是()A. |a| = |b|B. a0 且 aw bD. a0,故彳31,解得1m0,答案：(一1, 2)U(2, 3)9.已知复数 z=(m2+5m 6) + ( m2 2m- 15)i( mC R).(1)若复数z是实数，求实数 m的值；(2)若复数z是虚数，求实数 m的取值范围；(3)若复数z是纯虚数，求实数 m的值；(4)若复数z是0,求实数m的值.解：(1)当m 2m- 15=0时，复数z为实数，所以m= 5或一3.(2)当m2-2m-15*0时，复数z为虚数.所以m5且m?5 - 3.所以实数 m的取值范围为mm5且m -3

15、.z是纯虚数，所以 mi= 2.z是0,所以m= 3.有实数解，求实数 a, b的值.m22m- 15W0, 当y+5饼6=0时,复数带2m- 15=0,(4)当2时，复数m+ 5m 6= 010.已知关于x, y的方程组x+3 j+2 (y+ 1) i =y+4xi ,II (2x+ay) (4x y+b) i =9-8i解：设(x0 , y。是方程组的实数解，由已知及复数相等的条件，得3x0+2=y。，2 2 0+1) = 4x0 ，2x + ay。= 9 ，一(4x y0+b) =- 8 ，1r 5rx0=a=1,由得$2代入得b=2.W= 4,所以实数a, b的值分别为1, 2.B能力

16、提升11.“复数 4-a2+(1a+ a2)i( aCR)是纯虚数”是“ a=2” 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选 B.因为 1 a+a2= 了2 i+30,所以若复数 4-a2+(1 -a+a2)i( aCR)是纯虚数，则 4-a2=0,即 a=2；当 a= 2 时，4-a2+ (1 -a+a2)i =7i 为纯虚数，故选 B.12 .满足方程x2-2x-3+(9y2-6y+1)i = 0的实数对(x, y)表示的点的个数为 解析：由题意知x2-2x-3=0,29y -6y+ 1 = 0,x= 3解得 1片3x=T,或 1ly=3.所以

17、实数对(x, y)表示的点有3, 1 j (1, 3 j,共有2个.答案：22213 .已知复数 z=m+3m 1 + ( m+5m+ 6)i0( mC R),则 m的值为解析：因为z0,不符合题意，舍去;当m 2时，z=10,符合题意.故m的值为一2.答案：214 .已知集合 M= ( a+3)+(b21)i , 8,集合 N= 3i , (a21) + ( b+2)i，且 MT NM MT N ?,求整数a, b的值.解：若 MT N= 3i,贝U(a+3)+(b21)i = 3i ,即a+3=0 且 b21 = 3,得a= - 3,= 2.当 a=3, b=2 时，M= 3i , 8,

18、N= 3i , 8,MT N= M不合题意，舍去;当 a=3, b=2 时，M= 3i , 8, N= 3i , 8 + 4i.符合题意.所以 a= 3, b=2.若 MA N= 8,则 8 = (a21)+ (b+2)i , 即 a21 = 8 且 b+2=0,得 a=3, b=- 2.当a= 3, b=- 2时，不合题意，舍去;当 a=3, b= 2 时，M= 6+3i, 8, N= 3i , 8,符合题意.所以 a=3, b=2.若 Mrn N= ( a + 3) + (b2 1)i = ( a2 1) + (b + 2)i,则a+3=a2-1,b2- 1 = b + 2,a a 4=0,b2-b-3-0此方程组无整数解.综上可得a= 3, b=2或a= 3b=-2.C 拓展探究15 .已知复数 zi = a2+2a+aiZ2= 2xy+ (x-y)i ,其中 a, x, yC R,且 zi = Z2,求3x+ y的取值范围.解：由复数相等的充要条件