2020-2021备战中考数学二模试题分类汇编——初中数学旋转综合及答案

1、2020-2021备战中考数学二模试题分类汇编一一初中数学旋转综合及答案一、旋转1 .已知正方形 ABCD中，E为对角线 BD上一点，过 E点作EF，BD交BC于F,连接DF,G为DF中点，连接 EG, CG.(1)请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)将图中4BEF绕B点逆时针旋转45°,如图所示，取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(3)将图中4BEF绕B点旋转任意角度，如图 所示，再连接相应的线段，问(1)中 的结论是否仍然成立？(请直接写出结果，不必写出理由)6 F C SC 3图0图圉【答案

2、】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)结论仍然成立【解析】【分析】(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG.(2)结论仍然成立，连接 AG,过G点作MN，AD于M,与EF的延长线交于 N点；再证明DAG2 4DCG,得出 AG=CG;再证出 DMGFNG,得到 MG=NG;再证明 AMGAENG,得出 AG=E« 最后证出 CG=EG.(3)结论依然成立.【详解】(1) CG=EG.理由如下：.CG=- FD,2.四边形 ABCD是正方形，Z DCF=90 :在RFCD中，;G为DF的中点,同理.在 RDEF中，EG=- FD, . . CG=EG.2(2)

3、 (1)中结论仍然成立，即 EG=CG.证法一：连接 AG,过G点作MNLAD于M,与EF的延长线交于 N点.在 4DAG 与 4DCG 中，AD=CD, Z ADG=Z CDG, DG=DG, .1. ADAGADCG (SA0 , .AG=CG;在4DMG 与 4FNG 中，/ Z DGM=Z FGN, FG=DG, Z MDG=Z NFG, .1.DMGAFNG (ASA) ,MG=NG. / EAM=/AEN=/AMN=90 ；，四边形 AENM 是矩形，在矩形 AENM 中，AM=EN.在 AMG 与 4ENG 中，/ AM=EN, ZAMG=Z ENG, MG=NG, .1. AA

4、MGAENG (SAS , .AG=EG, EG=CG.证法二：延长 CG至M,使 MG=CG,连接 MF, ME, EC.在ADCG与AFIMG中，. FG=DG, /MGF=/CGD MG=CG, .DC®"MG, . MF=CD, Z FMG=Z DCG, .MF/CD/ AB,EF± MF.在 RtMFE与 RtCBE中，/ MF=CB, Z MFE=Z EBC=90°, EF=BE, .1.AMFEACBE Z MEF=Z CEB,Z MEC=Z MEF+Z FEC=Z CE3/CEF=90； . . MEC为直角三角形.-. MG=CG,EG

5、=-MC, . EG=CG.2(3) (1)中的结论仍然成立.理由如下：过F作CD的平行线并延长 CG交于M点，连接EM、EG过F作FN垂直于AB于N. 由于G为FD中点，易证 CD84MFG,得到 CD=FM,又因为 BE=EF,易证 /EFM=/EBC,贝必£5“0飞3弓 Z FEM=Z BEC EM=EC / FEG/ BEC=90 ；ZFEC+Z FEM=90 ；即 / MEC=90 ； .MEC 是等腰直角三角形. G 为 CM 中点，EG=CG, EG± CG图（一】图（二上图®【点睛】本题是四边形的综合题.（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜

6、边的一半解答； （2）关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答.2.（探索发现）如图， ABC是等边三角形，点 D为BC边上一个动点，将 ACD绕点A逆时针旋转 60得到 AEF ,连接CE.小明在探索这个问题时发现四边形ABCE是菱形.小明是这样想的：I> 一纽-BC CE - Ji l > 囊珊-ISCL(1)请参考小明的思路写出证明过程;(2)直接写出线段 CD, CF , AC之间的数量关系： ； (理解运用)如图，在 ABC中，AD BC于点DM ABD绕点A逆时针旋转90得到 AEF ,延 长FE与BC ,交于点G .(3)判断

7、四边形 ADGF的形状，并说明理由；(拓展迁移)(4)在(3)的前提下，如图，将AFE沿AE折叠得到 AME ,连接MB ,若AD 6, BD 2,求 MB 的长.8D C B aC G 8 DC G图1BB2图3【答案】(1)详见解析；(2) CD CF AC; (3)四边形ADGF是正方形；(4)2 13【解析】【分析】(1)根据旋转得： 4ACE是等边三角形，可得：AB=BC=CE=AE则四边形 ABCE是菱形;(2)先证明 C、F、E在同一直线上，再证明 BADCAF (SAS ,则/ADB=/AFC,BD=CF 可得 AC=CF+CD(3)先根据/ADC=/ DAF=Z F=90。，

8、证明得四边形 ADGF是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF是正方形；(4)证明BAMEAD ( SA§ ,卞据BM=DE及勾股定理可得结论.【详解】(1)证明： ABC是等边三角形，AB BC AC.ACD绕点A逆时针旋转60得到 AEF , CAE 60 , AC AE.ACE是等边三角形.AC AE CE.AB BC CE AE.，四边形ABCE是菱形.(2)线段DC , CF , AC之间的数量关系： CD CF AC.(3)四边形 ADGF是正方形.理由如下： Rt ABD绕点A逆时针旋转90得到 AEF , AF AD , DAF 90 .AD BC ,ADC DAF F

9、90 .四边形ADGF是矩形. AF AD ,四边形ADGF是正方形.(4)如图，连接DE .2 .四边形ADGF是正方形，3 DG FG AD AF 6.ABD绕点A逆时针旋转90得到 AEF ,4.BAD EAF , BD EF 2, EG FG EF 6 2 ;将 AFE沿AE折叠得到 AME ,MAEFAE , AF AM .BADEAM .4 BAD DAM EAM DAM ,即 BAM DAE.5 AF AD ,AM AD. AM AD 在 BAM 和 EAD 中， BAM DAE ,AB AE6 BAM EAD SAS .BM DE . EG2 DG2- 42 6 22.13.【

10、点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形 的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边 三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解.3.如图1,在锐角 4ABC中，/ABC=45°,高线AD、BE相交于点F.(1)判断BF与AC的数量关系并说明理由；(2)如图2,将4ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点 M, AM与BE相交于点N, 当DE/ AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由.BD C 3D C图1邸【答案】(1) BF=AQ理由见解析；(2) NE=AC,理由见解析.2【解析】试题

11、分析：(1)如图1,证明AADCABDF (AAS),可得BF=AQ(2)如图2,由折叠得：MD=DC,先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC由线段垂直平分线的性质得： AB=BQ 则/ABE=/ CBE，结合(1)得：BDFADM,则1/DBF=/ MAD,最后证明 /ANE=/ NAE=45 ,彳# AE=EN,所以 EN=- AC.2试题解析：(1) BF=AG理由是：如图 1,AD± BC, BEX AC, ./ADB=/ AEF=90,° / ABC=45 ；.ABD是等腰直角三角形，叫. AD=BD, / AFE=Z BFD, / DAC=Z EBG在 ADC

12、和4BDF中，DAC DBFADC BDF, AD BD .ADCABDF (AAS), BF=AQ(2) NE=1AC,理由是：2如图2,由折叠得： MD=DC,1. DE/AM, .AE=EC ,.BEAC, .AB=BC,/ ABE=Z CBE, J由(1)得：AADCABDF7,.ADCAADM,.,.BDFAADM,/ DBF=Z MAD , / dba=/ bad=45 ； / DBA- / DBF=Z BAD- / MAD, 即 / ABE=Z BAN, / ANE=Z ABE+Z BAN=2/ ABE,/ NAE=2/ NAD=2/ CBE/ ANE=Z NAE=45 ； .A

13、E=EN,1.EN=-AC.24.在 RtACB和 AAEF中，/ ACB= / AEF= 90°,若点 P 是 BF 的中点，连接 PC, PE. 特殊发现：如图1,若点E、F分别落在边AB, AC上，则结论：PC= PE成立(不要求证明). 问题探究：把图1中的4AEF绕点A顺时针旋转.(1)如图2,若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若 不成立，请说明理由；(2)如图3,若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成 立，请说明理由；(3)记殷 =k,当k为何值时，4CPE总是等边三角形？(请直接写出后的值，不必说)BC【

14、答案】1 PC PE成立 2 , PC PE成立 3当k为W3时，VCPE总是等边三3角形【解析】【分析】(1)过点 P 作 PMLCE 于点 M,由 EF，AE, BC± AC,得到 EF/ MP/CB,从而有EM FP ，再根据点P是BF的中点，可得 EM=MC,MC PB(2)过点F作FD±AC于点D,过点P作PMLAC于点 DAF0 EAF,即可得出 AD=AE;再证 DAP EAP,据此得到M,连接即可得出PC=PEPD,先证PD=PE最后根据/ CBA=30 ；。最后根据 处 kBCFD)± AC, BC± AC, PMAC,可得 FD/ B

15、C/ PM,再根据点 P是 BF 的中点，推得 PC=PR再根据PD=PE即可得到结论.可得 ZCEP=60, /CAB=60;由 / ACB=90 ,求出(3)因为4CPE总是等边三角形,AC =tan30 求出当CPE总是等边三角形时，k的值是BC多少即可.【详解】解：(1) PC=PE成立，理由如下：如图 2,过点 P 作 PMLCE于点 M ,EF± AE, BC± AC, . . EF/ MP / CB, . EM=MC,又. PMCE, .1.PC=PE(2) PC=PEI立，理由如下：如图3,过点F作FD, AC于点D,过点P作PMLAC于点M,连接PD, /

16、 Z DAF=Z EAF,/ FDA=Z FEA=90在 DAF 和 EAF中, Z DAF=Z EAF, Z FDA=Z FEA, AF=AF, .DAFAEAF(AA), .AD=AE,在 ADAP 和 AEAP 中， . AD=AE, Z DAP=Z EAP, AP=AP, ADAPAEAP (SA$ ,，PD=PE,. FD1AC, BC± AC, PM1AC, .FD/ BC/ PM,DM FP"MC PB ' 点P是BF的中点，.DM=MC,又 PMXAC, PC=PD,又. PD=PE，PC=PESJ(3)如图4,CPE总是等边三角形,Z CEP=60

17、,Z CAB=60 , Z ACB=90 ,Z CBA=90 - Z ACB=90 - 60 =30 ,，当k为上时，ACPE总是等边三角形.3图4【点睛】考点：1.几何变换综合题；2.探究型；3.压轴题；4.三角形综合题；5.全等三角形的 判定与性质；6.平行线分线段成比例.5.如图2,边长为2的等边 ABC内接于。O, 4ABC绕圆心O顺时针方向旋转得到AHf,A'分别与AB、AC交于E、D点，设旋转角度为虱比 36阴.图图2(1)当口 =_,8'北色ABC出现旋转过程中的第一次完全重合；(2)当口=60°时(如图1),该图()A.是中心对称图形但不是轴对称图形B

18、.是轴对称图形但不是中心对称图形C.既是轴对称图形又是中心对称图形D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形(3)如图2,当优120、4ADE的周长是否会发生变化，如会变化，说明理由，如 不会变化，求出它的周长.【答案】(1) 120° (2) C; (3) 八。7?的周长不变.【解析】【分析】(1)根据等边三角形的中心角为120。可直接求解；(2)根据题意可知，当 仃=60°时，点A、4、B、甘、C：为。的六等分点，所有的三 角形都是正三角形，由此可得到所有图形即是轴对称图形，又是中心对称图形；(3)得到结论：周长不发生变化，连接A41,根据弦相等，则它们所对的弧相等的性质可

19、J 11因田,即川，再根据等弧所对的圆周角相等，得BAA' = LAA'C ,由等角对等边的性质可得以="4,同理= 因此可求力口卸的周长=EA + ED + DA=EA+ED + DC = AC = i【详解】 解：(1) 120°.如图，可根据等边三角形的性质直接根据三角形的内角和求得/ 0=120 ;(2) C(3) 的周长不变；理由如下：连接AA',M = A'CT?1111 ? ? ? .” 二府同理，DA = DC：*的周长产+ ED”力 即阳；如+“=3=2考点：正多边形与圆，圆周角定理6.在4ABC中,AB=6,AC=BC=各

20、4ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到4ADE旋转角为 a (0°< av 180。)，点B的对应点为点D,点C的对应点为点E连接BD, BE.（1）如图，当a =60时，延长BE交AD于点F. 求证：ABD是等边三角形；求证：BF± AD, AF=DF;请直接写出BE的长；（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线 AB,垂足为点G,连接CE当/ DAG=/ ACB且线 段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+C印勺值.【答案】（1） 详见解析；3招-4； （2） 13.【解析】试题分析：（1）由旋转性质知 AB=AD, /BAD=60即可得证；由BA=BD EA

21、=ED根 据中垂线性质即可得证；分别求出BF、EF的长即可得；（2）由/ ACB+/ BAC+Z ABC=180、° / DAG+Z DAE+Z BAE=180、° / DAG=Z ACB / DAE=Z BAM/ BAE=/BAC且 AE=AQ,根据三线合一可得 CE! AB、 AC=& AH=3,继而知 CE=2CH=8BE=5,即可得答案.试题解析：（1）:ABC绕点A顺时针方向旋转 60°得到AADE,.AB=AD, /BAD=60；.ABD是等边三角形； 由得ABD是等边三角形，.AB=BD, ABC绕点A顺时针方向旋转 60得到 ADE,，AC

22、=AE BC=DE又 AC=BCEA=EQ 点B、E在AD的中垂线上，.BE是AD的中垂线， 点F在BE的延长线上， BFXAD, AF=DF; 由 知BFXAD, AF=DF,.AF=DF=3,.AE=AC=5,EF=4,.在等边三角形 ABD 中，BF=AB?sinZ BAF=6=3“写,BE=BF- EF=3右-4;(2)如图所示, / DAG=Z ACB, / DAE=Z BAC, / ACB+Z BAC+Z ABC=Z DAG+Z DAE+Z ABC=180 , 又 / DAG+/ DAE+Z BAE=180 ,Z BAE=/ ABC, .AC=BC=AEZ BAC=Z ABC,Z

23、BAE=Z BAC,1ABXCEL,且 CH=HE=- CE,.AC=BC,1.AH=BH=- AB=3,贝U CE=2CH=8 BE=5,.BE+CE=13考点：三角形综合题.7. (1)观察猜想如图，在ABC中，/BAC=90, AB=AC点D是BC的中点.以点 D为顶点作正方形DEFG使点A, C分别在DG和DE上，连接AE, BG,则线段BG和AE的数量关系是,(2)拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0°,小于或等于 360。)，如图2,则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请 说明理由.解决问题若BC=DE=2在(

24、2)的旋转过程中，当 AE为最大值时，直接写出 AF的值.D【答案】(1) BG= AE.(2)成立.如图，连接AD. ABC是等腰三直角角形,Z BAC= 90°,点D是BC的中点./ ADB=90 ；且 BD= AD. / BDG= / ADB- / ADG= 90 - / ADG= / ADE, DG= DE.,.BDGAADE, . BG= AE. 分7(3)由(2)知，BG= AE,故当BG最大时，AE也最大.正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转 270。时，BG最大，如图.若 BC= DE= 2,贝U AD= 1 , EF= 2.在 RtMEF中,AF2=AE2+EF2=(

25、AD+DE)2+EF2=(1 + 2)2+22= 13.AF =-【解析】解：(1) BG= AE.(2)成立.如图，连接AD.ABC是等腰三直角角形，Z BAC= 90。，点D是BC的中点./ ADB=90 ；且 BD= AD. / BDG= / ADB- / ADG= 90 - / ADG= / ADE, DG= DE.,.BDGAADE, . BG= AE.(3)由(2)知，BG= AE,故当BG最大时，AE也最大.Z+X+X+K因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点 D为圆心，DG为半径的 圆，故当正方形 DEFG旋转到G点位于BC的延长线上(即正方形 DEFG绕

26、点D逆时针方向 旋转270°)时，BG最大，如图 .若 BC= DE= 2,贝U AD= 1 , EF= 2.在 RtAEF中，AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1 + 2)2+22= 13.AF= JiT.即在正方形DEFG旋转过程中，当 AE为最大值时，AF=JN .8.边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形 EFGH的两边DE、DG上(如图 1),现将正方形 ABCD绕D点顺时针旋转，当 A点第一次落在 DF上时停止旋转，旋转过程 中，AB边交DF于点M, BC边交DG于点N.(1)求边DA在旋转过程中所扫过的面积；(2)旋转过程中，当 MN和AC

27、平行时(如图2),求正方形ABCD旋转的度数；(3)如图3,设4MBN的周长为p,在旋转正方形 ABCD的过程中，p值是否有变化？请 证明你白结论.图3【答案】(1) 2； (2) 22早；(3)不变化，证明见解析【解析】 试题分析：(1)将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当 A点第一次落在 DF上时停止旋 转，旋转过程中，DA旋转了 450|,从而根据扇形面积公式可求 DA在旋转过程中所扫过的 面积.(2)旋转过程中，当 MN和AC平行时，根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求 正方形ABCD旋转的度数为22R.(3)延长BA交DE轴于H点，通过证明 3D小正金分匚M和式zWMAT可得结

28、论.(1)二力点第一次落在DF上时停止旋转，DA旋转了 450|.45邛 x 22 nDA在旋转过程中所扫过的面积为 3602. MN/AC, /阿%二£订然二付呼肝二£月。/1=4/.刖=刖一二EN又.BA 二方。.= ON.又.DA = DCDAM =三仪”“所”.=10【田)=22取 .，旋转过程中，当 MN和AC平行时，正方形 ABCD旋转的度数为4T - 22.50 = 22" . 不变化，证明如下：如图，延长BA交DE轴于H点，则£ADE - 450 -£ADM lCDN = 9。-45° - MDM = 45°

29、 -"。可Ek"v = DCtDAU = 1HO0 - 900 = 90° = U)CN . ADAU=ADCN , I. * ,17：""淞. ="飞励."LN乂 I, , p = MiN + /?M = /iM + CN +存M =加+ " = 4，在旋转正方形 ABCD的过程中，P值无变化.考点：1.面动旋转问题；2.正方形的性质;质.3.扇形面积的计算；4.全等三角形的判定和性9. (1)问题发现如图1.4ACB和4DCE均为等腰直角三角形，/ACB=90,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的

30、关系为.(2)拓展探究如图2QACB和4DCE均为等腰直角三角形，/ACB=/ DCE=90，请判断AD,BE的关系，并说明 理由.解决问题如图3,线段PA=3点B是线段PA外一点，PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线 段AC,随着点B的位置的变化，直接写出PC的范围.【答案】(1) AD=BE, AD± BE. (2) AD=BE> ADXBE. (3) 5-3 72 < PC< 5+32 -【分析】(1)根据等腰三角形性质证 AC*4BCE (SAS ,得AD=BE, / EBC=Z CAD,延长BE 交AD于点F,由垂直定义得 AD

31、± BE.(2)根据等腰三角形性质证 AC*4BCE (SA。，AD=BE, / CAD=/ CB耳由垂直定义得/OHB=90 , AD± BE;(3)作 AE±AP,使得 AE=PA 则易证APEACP, PC=BE 当 P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE;当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE故5-3 J2 w BEW 5+32 .【详解】(1)结论：AD=BE AD± BE.理由：如图1中， ACB与 DCE均为等腰直角三角形, .AC=BC, CE=CD/ ACB=Z ACD=90 ；在 RtACD和 RtBCE 中AC=B

32、CACD= BCECD=CE .ACDABCE (SA§ ,.AD=BE, /EBC4 CAD延长BE交AD于点F,BC± AD, / EBC-+Z CEB=90,° / CEB=AEF / EAD+Z AEF=90 , ° ./AFE=90即 AD± BE.AD=BE, AD± BE.故答案为AD=BE, ADXBE.(2)结论：AD=BE, AD± BE.理由：如图2中，设 AD交BE于H, AD交BC于O. ACB与 DCE均为等腰直角三角形，.AC=BC, CE=CD /ACB=/ ECD=90 , .ACD=Z B

33、CE,在 RtACD和 RtBCE 中AC=BCACD= BCE , CD=CE .ACDABCEE (SAS , .AD=BE, /CAD=/ CBE / CAO+/ AOC=90 ； A AOC=Z BOH, / BOH+Z OBH=90 ；/ OHB=90 ；ADXBE,.AD=BE, AD± BE.(3)如图3中，作AE±AP»,使得 AE=PA则易证 APEAC .PC=BE图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-3/2 , 图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+3/2 , .5-3 拒 WBEW 5

34、短，即 5-3 亚 v PCW 5+32 -13-1本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定 和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三 角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.10.如图1,矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形 EFG的两边EF, EG分别过点 B, C, /F= 30°.(1)求证：BE= CE(2)将 EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF, EG分别与AB, BC相交于点 M, N.(如图2) 求证：BEMCEN;若A

35、B=2,求4BMN面积的最大值； 当旋转停止时，点 B恰好在FG上(如图3),求sin/EBG的值.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；2 ;任佟【解析】【分析】（1）只要证明 BA®4CDE即可；（2） 利用（1）可知4EBC是等腰直角三角形，根据 ASA即可证明；构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；如图 3 中，作 EHI± BG于 H.设 NG=m,贝U BG=2m, BN=EN=J3 m , EB=J6 m.利用面积法求出EH,根据三角函数的定义即可解决问题.【详解】四边形ABCD是矩形，AB=DC, /A=/D=90； .E是AD中点,，AE=DE

36、.BAEACDE, .BE=CE(2)解：如图2中，由(1)可知，AEBC是等腰直角三角形,Z EBC土 ECB=45 , Z ABC=Z BCD=90 ,Z EBM=Z ECN=45 , Z MEN=Z BEC=90,Z BEM=Z CEN,.EB=EC.BEMACEN；. BEMACEN,.BM=CN,设 BM=CN=x,贝U BN=4-x,1 1-1 Sabmn=?x (4-x) =- (x-2) 2+2,221/ - - < 0,2.x=2时，ABMN的面积最大，最大值为 2.设 NG=m,贝U BG=2m, BN=EN=J5m, EB=V6 m.11 Sabeg= - ?EG?

37、BN=- ?BG?EH).EH=2mm,22在 RtA EBH 中，sinZ EBH=EHEB【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定 和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题,11.已知4ABC是等腰三角形， AB=AC.(1)特殊情形：如图1,当DE/ BC时，有DB_ EC (填 4"，之"或“二)'(2)发现探究：若将图 1中的4ADE绕点A顺时针旋转a ( 0。 “V 180。)到图2位置， 则(1)中的结论还成立吗？若成立，请给予证

38、明；若不成立，请说明理由.(3)拓展运用：如图 3, P是等腰直角三角形 ABC内一点，/ACB=90,且PB=1, PC=2,PA=3,求/BPC的度数.【解析】【分析】试题(1)由 DE/ BC,得至ij DB -EC-,结合 AB=AC,得至I DB=EQ AB AC(2)由旋转得到的结论判断出 DAB0 4EAC,得到DB=CE(3)由旋转构造出 CPg4CEA再用勾股定理计算出 PE,然后用勾股定理逆定理判断 出 PEA是直角三角形，在简单计算即可.【详解】(1) DE/ BC,DB ECAB AC '.AB=AC, .DB=EC故答案为二, (2)成立.证明：由易知AD=A

39、E, 由旋转性质可知 / DAB=Z EAC, y.' AD=AE, AB=AC DABZ EAC, DB=CE(3)如图，B将CPB绕点C旋转90。得ACEA连接P匕 .,.CPBACEA .CE=CP=2 AE=BP=1, /PCE=90/ CEP=/ CPE=45,°在RtA PCE中，由勾股定理可得，PE=2J2 ,在4PEA中，PE= (2yf2)2=8, AE2=12=1, PA2=32=9,.PE2+AE2=AP2, PEA是直角三角形/ PEA=90 ,°/ CEA=135, °又. ACPBACEA/ BPC=Z CEA=135 , &#

40、176;【点睛】考点：几何变换综合题；平行线平行线分线段成比例.12.如图1, O为直线AB上一点，OC为射线，ZAOC= 40。，将一个三角板的直角顶点放/BOC；（2）将三角板绕点 O在直线AB上方顺时针旋转，当 OD落在/BOC内部，且Z COD=1一/ BOE时，求/ AOE的度数：3（3）将图1中的三角板和射线 OC同时绕点O,分别以每秒6°和每秒2°的速度顺时针旋转一周，求第几秒时， OD恰好与OC在同一条直线上？【答案】（1）证明见解析；（2） 142.5。； （3）第10秒或第55秒时.【解析】【分析】(1)由角平分线的性质及同角的余角相等，可得答案;(2)

41、设/COD=a,则ZBOE 3a,由题意得关于 “的方程，求解即可；(3)分两种情况考虑：当 OD与OC重合时；当OD与OC的反向延长线重合时.【详解】解：(1) OD恰好平分/ AOC/ AOD= / COD / DOE= 90 °Z AOD+Z BOE= 90； ZCOD+Z COE= 90 °/ BOE= / COEOE 平分/ BOC(2)设/COD=a,贝 U /BOE= 3 a,当 OD 在/BOC 的内部时，/ AOD= / AOG/ COD= 40 ° + a / AOD+Z BOE= 180 - 90 = 90 ° .40°

42、+“斗3)位°a= 12.5 °/ AOE= 180 13k 142.5 ° /AOE 的度数为 142.5 . °(3)设第t秒时，OD与OC恰好在同一条直线上，则 ZAOD=6t, Z AOC= 2t+40°当OD与OC重合日6t-2t=40°.t = 10 (秒)；当OD与OC的反向延长线重合时，6t- 2t= 180 +40° .t = 55 (秒):第10秒或第55秒时，OD恰好与OC在同一条直线上.【点睛】本题主要考查角平分线的性质、余角的性质，角度的计算，进行分类讨论不漏解是关键13.如图1,直线DE上有一点O

43、,过点O在直线DE上方作射线 OC, Z COE= 140。，将一 直角三角板AOB的直角顶点放在点 O处，一条直角边 OA在射线OD上，另一边OB在直 线DE上方，将直角三角板绕着点 O按每秒10。的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为 t(1)当直角三角板旋转到如图 2的位置时，OA恰好平分/COD,求此时/BOC的度数；(2)若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、OC OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；(3)若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕。点以每秒15。的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长

44、时间，射线 OC平分/BOD.直接写出t的值.(本题中白角均为大于 0。且 小于180°的角)【答案】(1) /BOC= 70° (2)存在，t=2, t=8或32; (3)二或包.22【解析】 【分析】(1)由图可知/BOC=/AOB- /AOC, /AOC可利用角平分线及平角的定义求出.(2)分OA平分/COD, OC平分/AOD, OD平分/ AOC三种情况分别进行讨论，建立关 于t的方程，解方程即可.(3)分别用含t的代数式表示出/COD和/BOD,再根据OC平分/BOD建立方程解方程 即可，注意分情况讨论.【详解】(1)解： / CO9 140°,/ C

45、OD= 180 - / CO940 °,又 OA平分/ COD,1/ AOC= - / COD= 20 , / AOB= 90 °,/ BOC= 90 - / AOC= 70 -(2)存在 当 OA 平分/COD 时，/AOD=/AOQ 即 10°t = 20°,解得：t = 2; 当 OC 平分/AOD 时，/AOC=/DOG 即 10 t - 40 =40 °,解得：t= 8； 当 OD平分/AOC时，/AOD=/COD,即 360 - 10 t=40°,解彳导:t = 32;综上所述：t=2, t=8或32；137(3) 1或37 ,理由如下：22设运动时间为t,则有1 当 90+10t = 2 (40+15t)时，t=-OD337当 270- 10t = 2 (320- 15t)时，t= 一2所以t的值为1或37 .2