2020年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

1、150分4个选项中，只有一项)2020年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷2020.4.2 8 : 0011: 00本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分，共第I卷(选择题共36分)一、 选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的 是符合题目要求的.21 .已知数列 an的通项公式an 丁，则 an 的最大项是(n 4n 5(A) a i (B) a 2 (C ) a 3 (D) a 4POF3.个 若是直角三角形，则这样的点P共有()(A)0 个(B)2 个(C)4 个(D)64.设f (x)是定义在 R上单调递减的奇函数.3)>0 (B)f(x(D)f(x

2、1) + f(X 2)+f(X 3)<O1) + f(X 2)>f(X 3)X1+X2>0, X2+X3>Q X3十 X1>Q则()(A)f(x 1)+f(x 2)+f(x(C)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)=05.过空间一定点P的直线中，与长方体ABCD- ABCDi的12条棱所在直线成等角的直线共有 ()(A)0 条 (B)1 条 (C)4 条 (D)无数多条6.在 ABC中，角A B、C所对的边分别是 a、b、c, tanA 1cosB 310 .若 ABC最长的 210边为1,则最短边的长为()A. 2-1B. UC, 411D,色5555二.填

3、空题：本大题共 6小题，每小题9分，共54分.7 .集合 A=x I x=3n, nCN, 0<n<10, B=y I y=5mT, miC N, OX mfC , 则集合AUB的所有元素之和为8 .设COS由=,则COSe +sin 4 0的值是 39 . (x-3x 2)3的展开式中，x5的系数为 10.已知y >03x ,y>0x 3y 3>则x2+y2的最大值是11.等比数列 an的首项为a1 2020,公比q1 、一 .，一一 .设f (n)表不该数列的前n项的积, 2则当n=时，f(n)有最大值.12 .长方体 ABCD-AB1CQ中，已知 AB=4,

4、 AD=3,则对角线 AC的取值范围为 三、解答题(第13题、14题各12分，15题16分，16题20分)2a . 一13 .设集合 A= x log1 (3 x) 2 , B= x 1 ,若An Bw,求实数a的取值范围。ox a2214.椭圆 匕 1的右焦点为F, P,巴 ，叫为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其 94中Pi是椭圆的右顶点，并且/RFP2=/P2FP3=/RFR=-=/P24FP1.若这24个点到右准线的距离的倒数和为S,求S2的值.15. 4ABC中,AB<AC,AD,AE分别是BC边上的高和中线，且/ BAD=Z EAC,证明/ BAC是直角.16. 设 p

5、是质数，且p2+71 的不同正因数的个数不超过10 个，求 p参考答案1.B 2 . A 3. B 4. B 5. C 6. D7. 225 8.9. 27 10. 9 11. n=12 12. AC1 C (4,5)13 . a (-1,0) U (0,3)14 . 18015 .略16 .质数p为2或36.解:工 _3.10 ，一由cosB 知B为锐角.tanB10故 tanCtan( Atan A tan BB) tan(A B)11 tan A tan B由(1)知故c边最长，即c=1,又tan Atan B ,故b边最短sin B0,sinC10b由正弦定理sin B焉得csin B

6、, 5sin C一，一 、5即最短边的长为 511 .解 an | f(n2002 ( -)n1 ,21)| 2002 ,f(n) 2002n(n 1)?( 1尸2| f(n)|2n当 nW 10 时，1f (n 1)| 2002 , 1 | f(n)|2n | f(11) | >|f(10) | > - > | f(1) | ；当n>11时,| f(n 1)|2002| f (n) |2n| f(11) | >| f(12) | >-f (11) 0 , f (10) 0 , f (9) 0,f(12)f(n)的最大值为f (9)或f(12)中的最大者.f

7、(12) 202012 f 20209空(1)36220203 (1)3022020 3)31，210设 p2+71=24Xn m4.若m有不同于2、3的质因数，则，p2+71的正因数个数A (3+1)(1 + 1)(1+1)>l0;若m中含有质因数3,则，p2+71的正因数个数R (3+1)(2+1)>10 ;若m中仅含有质因数2,则p2+71的正因数个数R (5+1) (1+1)>10；所以， p>3 不满足条件综上所述，所求得的质数p 是 2 或 3.1 当 n=12 时，f(n)有最大值为 f (12) 200212 ()66 .216.解：当 p=2 时，p2+71=75=52X 3,此时共有正因数(2+1)(1+1)=6 个，故 p=2满足要求.当p=3时，p2+71=80=24X 5,此时共有正因数(4+1)(1 + 1)=10 个，故p=3 满足条件.当 p>3