第五章向量代数

1、1课时 2授课人：唐默第五章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算一、内容要点1.向量的定义向量是即有大小、又有方向的量. .向量的几何表示有向线段(与起点无关，称为自由向量)向量的坐标表示：a =他耳)，其中a%、ay、az为向量a在三 个坐标轴上的投影. .以M0(Xo,yo,Z0)为起点、M(x,y,z)为终点的向量MoM =(x-Xo，y - y,z-z。). .向量的分解表示a = axi ayj azk，其 中i =(1,0,0),j =(0,1,0),k =(0,0,1)2.向量的模与方向余弦设a= (ax,ay,az)则向量的模a= Ja：+a：+a；方向余弦为z轴正向的

2、夹角(称为a的方向角)，cos2二 cos2 :cos2= 13.向量的加法与数乘运算向量的加法有平行四边形法则和三角形法则cos：axa,ayacosaza其中:、分别为a与x轴、y轴、2运算的代数表示：设a二(ax,ay,az), ,b二(bx,by,bz),则 (1)(1)a b = (axbx，aybyQ bz)； (2)(2)a = (Q, ay,盘).线性运算律为a b = b a,(a b) c = a (b e), ( 2)=C；丄)a基本定理：设a = 0,则a b u R，使得b = a;或 设a= (ax,ay,az)= 0b = (bx,by,bz)，贝S a利用数乘，

3、任何向量a可表示为 a a = =aea，其中ea表示与a同方向的 单位向量. .空间直角坐标系中，三个坐轴上正向的单位向量分别记为i, j, k， 则a=(ax,ay,az)的分解表达式为 : :a= axi + ayj+azk. .二、数学要求和学习注意点理解空间直角坐标系，理解(自由)向量的概念及其几何表示 和坐标表示；掌握向量的线性运算，了解两个向量平行的条件；理解单位向量、方向角与方向余弦，向量的坐标表达式，掌握 用坐标表达式进行线性运算的方法。在学习这部分时，要注意掌握向量的几何表示与坐标表示之间的 联系； (a b)= a亠axavaz3会用向量及其运算(引进坐标、或不引进坐标、

4、或两者结合) 来解某些几何问题三、释疑解难41设a、b为非零向量，指出它们具有什么几何特征，才能使下列各式成立?(1) a+b=|ab；a+bca ba -b = a + b答 由向量加、减法的平行四边形法则知，当(a, b)，即a_b2时，式成立，(图 5 5 -1 1(a),当(a, b) 时，式成立(图25 5 - 1 1 (b). .般有a-b兰|a + b，当且仅当(a；b)=n时，式成立(图 5 5 - 1 1 (c)2 2、下列说法是否正确，为什么？与x、y、z三坐标轴的正向夹角相等的向量，其方向角为(-，-，-)；2i j;如图 5 5 - 2 2 所示，则力F在向量S上的分力

5、为F cos二.S答图 5-25-2与三坐标轴的正向夹角相同的向量，其方向角不是二. .因为任3由三角形法则知,(c)图 5-15-15向量的三个方向角、1 1、应满足关系式COS2爲cos2 : cos2=1=1，当：二：二 时，有3cos? ：=1= cos：二1/ , 3，即：二arccos( 1/ . 3) = - /3. . 故的说法 是错误的. .又因cos订cos订cos，所以，还可看出，三个3334方向角均为】的向量根本不存在3不正确. .不等号是用来比较两个实数的大小的，而向量是既有大 小、又有方向的量， 方向无所谓大小之分， 故在向量之间， 没有“大 于”“小于”这样的次序

6、关系，正如复数之间没有大小次序关系一样如 果是比较两个向量的模的大小，贝 S 当然是可以的，比如|2ij. .不正确. .F在S上的分力是一个方向和S平行的力(向量)，而F cosr仍是一个与F同方向的力，F在S上分力的正确表示应是F cos%s = F cos日各,其中es = g表示分力的方向，是S方向的单位向网网S量. .四、例题增补例 1 1已知三点A(-1,2,3) , ,B(1,1,1),C(0,0,5). .求 AB, BC, AC；AB AC在x轴上的投影及y轴上的分向量；三角形ABC是什么三角形. .解 AB二1 -(-1) i (1 -2)j (1 -3)k二2i - j

7、- 2k；BC =(0 -1)i (0 -1)j (5 -1)k = -i - j 4k；6AC二0 - (-1) i (0 - 2) j (5 - 3) k二i - 2 j 2k. .因为AB AC =3i-3k，所以AB AC在x轴的投影为 3 3，在y轴 上的分向量为-3j. .7因为AB22(一1)2(一2)2=3AC| = J12十22十22= 3BC| = Ji2十12十42=尿所以AB|2+ AC|2= BC|2, ,故三角形ABC为等腰直角三角形. .例2证明空间四边形相邻各边中点的连线构成平行四边形证 如图 5 5 - 3 3，设空间四边形的四个顶点依次为A、B、C、Q分别为

8、 ABAB , BCBC , CDCD , DADA 四边的中点，因此 1一 一 一1 .AM =BM AB, BN =NC BC,2 2DB二PC DC, AQ二QD AD.2 2由于MN二MB BN,QP二QD DP,故 11 i1 -MN = AB BC二(AB BC)二AC, 2 222_ 1 1一1 1 QP AD DC (AD DC) AC, 2 2 2 2所以MN二QP, 这就是说，四边形M NPQ的一双对边平行且相等， 所以M NPQ是平行四边形. .五、习题解析D;M、N、P图81 1、已知点A (2,1,4),B(4,3,10),(1) 写出线段AE的中点坐标；(2) 写出

9、以线段 ABAB 为直径的球面方程. .解记线段AE中点的坐标为(X0,yo,z。)，贝 S2+41+3门4+10Xo3, yo2, Zo7,2 2 2半径r二.(3匚2)2(2匚1)2(7匚4)211,由(x xo)2(y-yo)2(z zo)2=r2，得所求球面方程为(X -3)2(y -2)2(Z-7)2=11. .注 一般定比分点坐标的求法. .设点M(x, y,z)是线段MW?的分点，且MW -MM2,O, ,内分点；一：O，外分点，=-1)，则分点M的坐标为x .x2y;-y2z-z2x,y,z,1 + k1+ 九1 +九当一1时，M为MM的中点. .5、已知点A(3,-1,2),

10、B(1,2厂4),C(-1,1,2)，试求点D,使得以A、C、D、B为顶点的四边形为平行四边形. .解 设平行四边形的 4 4 个顶点依次为A、B、C、D，则由于AB二DC,设D(x, y, z)，于是(2,3,-6) = (-1- X，1-y,2-z),所以x =1,y = -2,z =8,即D(1,-2,8). .同理，若平行四边形的 4 4 个顶点分别别依次为A、C、B、D和A、C、D、B，则由AB二DB与AC二BD可得D(5,0,-4)与9D(-3,4,-4). .本题有且仅有这三解，而且三种情况下分别以ABC的三条边为平行四边形的对角线，不妨画图试验证之101010、设a二ijk,b

11、二i 2j k,c二-2i j 2k, 试用单位向量ea,eb,ec表示向量i,j,k. .解 用消元法解由题设等式组成的方程组，易得j二-(a b),k = -(a b c), i34于是得51,1a b c, ,121245,3、一6ebec，12ea411第二节 向量的乘法运算一、内容要点1.数量积（点积、内积）定义性质夹角b在a上的投影。2.向量的向量积（叉积，外积）定义：，其中是冋时垂直于是冋时垂直于a,b的单位向量，并且a,b,符合右手法则。坐标表达式 设，则性质几何意义：等于以a,b为边的平行四边形面积;123.混合积定义。坐标表达式，设 ，性质a、b、c共面或存在一组不全为 0

12、 0 的数 ，使得几何意义等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积。二、数学要求和学习注意点 掌握向量的数量积、向量积、混合积运算以及两个向量垂直、 平行的条件，了解三个向量共面的条件。 掌握用坐标表达式进行向量运算的方法，了解向量的向量积、 混合积的几何意义。学习本章节时，必须掌握向量的三种乘积的定义及其在直角坐标 系中的计算公式， 注意归纳三种乘积的主要应用， 特别是这三种乘积 的几何意义在空间解析几何中有应用。三、释疑解难1.下列命题是否成立？为什么？13 不成立。可用反例说明。取，则注 由知，叉积不满足结合律。当时，等式两端分别与c作数量积，得即故a、b、c共面，命题成立。2请归纳一下向

13、量的数量积、向量积和混合积在几何中的主要 用途。答 数量积按定义，可知数量积与向量的长度和夹角都有关。因此反过来可以利用数量积确定向量的长度及两向量的夹角。 又，在直角 坐标系中， 数量积的计算公式也比较简单， 这就更增加了数量积在应用上的方便， 特别值得指出的是， 由数量积的这个计算公 式，可以很容易地将向量积推广到到高维向量空间中去（详见线性代数教材）。这里仅列举数量积的几何应用的要点：若，则a,b,c共面;14(i)求向量的模：；(ii)求两向量的夹角：当时，(iii)求一个向量在另一个向量上的投影;特别地，向量 a a 在直角坐标系中的坐标为(iv)向量 a a 和 b b 垂直的充分

14、必要条件是 a a b b=0 0,或以下再举一例说明数量积的应用。设，已知向量 ，令 ，求 。求解本题时，首先注意到，且，即垂直的单位向量。在等式两端与 作数量积，即得类似可得于是顺便指出，上式称为从坐标系I(以为基本单位向量的坐标 系)到坐为两两15标系H(以 、 为基本单位向量的坐标系)的坐标变 换公式。由于 、 是两两垂直的单位向量，因此坐标系H也是 空间直角坐标系。 两个直角坐标系之间的坐标变换通过数量积很容易 计算出来。 向量积按定义其中单位向量 同时垂直于a和b,且abc符合右手规则，在直角坐标系中，aXb的计算公式是以下列出向量积的几何应用要点：(i)求与两个非共线向量ab同时

15、垂直的向量s,可取s = aXb或s = -aXb(ii)求由两个非共线向量ab所确定的平面的法向量n,可 取n = aXb(iii)求以向量ab为邻边的平行四边形的面积(iv)给定不共线的三点A、E、C，则点C到直线AE的距离（V）向量a与b共线的充分必要条件是aXb = O 混合积=（aXb）c c 在直角坐标系中，的计算公式是16混合积的主要几何应用是：（i）向量a、b、c共面的充分必要条件是=0 ;（ii）以a、b、c为棱的平行六面体积。3.已知向量a,b,c,d，从几何上说明：若a,b不平行且a,b,d共面时，则存在使得若a,b,c不共面，则存在，使得答由于a, b不平行，故aM0,

16、bM0，因此当da或d b时， 易知结论成立。否则设=a， =b ，=d过点D分别作，的平行线，与直线OE,OA分别交于，（如图5 -4），贝 S由于 ， ，故存在 ， ，使得 ， ，从 当d与a、b或与b、c或与c、a共面时，由可知结论成立，否则设=a,=b,=c,=d,过点D分别作平面平行平面OAE,OEC,OCA，如图 5 5-5 5 得到一个平行六面体，则17由于 ， ， ， 故 存在 ， ， 使得 ，从而有注 本题的结论说明：在分解向量时，并不一定要分解成相互正交的分向量之和，也可分解成两 （在平面情形）或三个（在空间情 形）相互斜交的分向量之和，这是建立斜坐标系的理论依据。四、例题

17、增补例 1 1 设（aXb）c = 2,求（a+ +b）X（ b+ +c ）（ c+ +a ）解（a+ +b）X（b+ +c）（c+ +a ）=（a+ +b ）X b （ c+ +a ）+（ a+ +b ）X c(aXb) c+ +( bXc) a=( aXb) (+ +( aXb ） c = 4o例2设a、b是两个非零向量，且=l,a,b=求例3证明向量（=是表示向量a与b夹角平分线方向的向量（aMO,bMO）。18证 设， 分别表示与a,b同方向的单位向量，则由以 、 为边所构成的平行四边形为菱形，知其对角线平分顶 角，于是这是与a、b夹角平行线平行之向量。又其中0,故c是表示a与b夹角平

18、分线方向的向量。=0 0=0 019五、习题解析（习题5-2，教材下册第22页）1.设a = 3,，求 a b :aXb; b;a;。解 a，b = 3Xl卡一1)X2+ + (一2 )X(1 )=3 aXb =7.用向量法证明 直径对的圆周角是直角; 三角形的三条高交于一点。证如图56,ABAB 是OO的直径，c是半圆周上 ABAB 所对 的任意一点，记=a,=b,=d,=c，贝卩a = c+ +d,b=d+ +c,因为所以ab=0,由工0,工0，知=0,所以ab，即直径所对的圆周角是直角如图5 7，在ABCABC 中，记=c,=b,=a，贝卩a = b+ +c,设高线 BEBE 与 C C

19、F F相交于 o o，连 AOAO,于是将上二式最后的等式相加，得20=0 0,即=0 0,丄a,得证。9.9.证明三个向量共面的充要条件是其中一个向量可表示为另两个向量的线性组合。证充分性设。=，则=0 0,故abc共面。必要性 参阅本节释疑解难问题 3 3 第 1 1 小题。第三节 平面与直线一、内容要点1.平面点法式方程：A ()+ E() + C()=0，平面的法向量口=(ABC)。一般方程：=0，平面的法向量口=(ABC)。两平面间的关系：设=0,则1 )2)3)与的夹角由下式确定点与平面间的距离：设平面H=0及H外一点p，则p到H的距离为2.直线21一般方程其中直线方向向量为点向式

20、(对称式)方程其中s= (m,n,p)为直线的方向向量。参数方程其中s= (m,n,p)。两直线的关系：设，则；=0;两直线夹角，由下式确定：与共面=0,其中点，点。直线与平面有关系：设=0，则(1)=0;；22直线与平面的夹角，由下式确定:3.平面束方程过直线L:的平面束方程为=0,其中为参数。二、 数学要求和学习注意点 掌握平面方程和直线方程及其求法,会利用平面与平面、平面与直线、直线与直线的相互关系解决有关关问题。学习本节内容时,要注意掌握平面和直线方程中各常数的几何意 义,会根据所给的几何条件来选择恰当的方程并确定方程中的常数。 确定平面的法向量和直线的方向向量是确定平面和直线方程的关

21、健, 要尽可能地把所给的几何条件归结到这上面去。 此外,解题时要注意 形数结合,尽可能作出示意图形以帮助思考。三、 释疑解难1.平面的一般方程=0中含4个常数A、E、C、D，为了确定平面方程所给的几何条件必须足够列出4个方程,这种说法对吗？答 不对。事实上，由于常数A、E、C不能为零，比如说AM0,这时=0与=0表示的是同一平面。记,则方程=0只含3个待定常数，故只需要3个几何条件即可确定方程了。比如说, 给出不23在同一直线的三个点，就能把平面方程确定下来。以上说明还适合于平面法向量口=(A,E,C)和直线方向向 量$= (m, n, p)的确定。为了求得平面法向量n,只需列出A、E、C满足

22、的 2 2 个方程就足够；为了求得直线方向向量s,只需列出 满足m、n、p的 2 2 个方程也就足够。2.在利用平面束方程来求通过直线，且与平面n：=0垂直的平面方程时，设所求平面的方程为即=0此为矛盾方程,即无解。因此所求平面不存在。上述解答对吗？答 得出无解，不能断言所求平面不存在。因为平面束方程并 没有包含通过直线的所有平面,而是缺了一个平面；=0。因此得出 无解时,应再去验证平面 是否符合要求。若不符合,则问题无解； 若符合，贝y即为所求之平面。对于本题，由(1,1, -1),(1, -2, -1)=0知=0恰为所求之平面。四、例题增补例1求过原点及点(6, -3,2)且与平面=8垂直

23、的平面 方程。分析 求平面方程的问题,要根据题设条件选取适当形式的平面 方程,进而计算方程中的待定系数, 最基本的方法是尽量归结到点法 式方程讨论, 若题设条件给出平面通过某一直线, 贝可利用平面束方24程处理解原点与点(6,-3,2 )连线的方向向量为s二3,2),平面=8的法向量为(4,-1,2)。 求平面的法向量可取为或取=(2, 2, -3)，故所求平面方程为2()+2(=0,即=0。例2设直线过点A (-3,5,- 9)且与两直线和相交,求此直线方程。解先求由点A及所确定的平面方向向量为s= (1,3,2 ),过点(0,5,-设的法向量为,则故为=0即=0同理，可求得由A及所确定的平

24、面为=0故所求直线为(6, -由题设,所-3()。25例3判断下列两直线 面上， 在同一平面上求直线间的距离。分析 判断两直线是否异面， 最方便的方法是在两直线上各取一点与，检查向量（）是否为0。两直线之间的距离是指两直线的点之间的最短距离， 也就是 在两直线的公垂线方向上的投影线段的 长度，即有解直线上、的方向向量分别为=（1, 1, 2）,=（ 1, 3,4 ）,两直线分别通过（-1,0,1）,（0,-1,2）=（1,-1,1 ）,因为所以,两直线, 为异面直线。又因为五、习题解析（习题53教材下册第33页）7.求下列投影点的坐标点（-1,2,0）在平面=0上的投影点;点（2,3,1 ）在直线=上的投影点。分析先求过该点与平面垂直的直线，再求垂线与平面的交点，即为所求投影；先求过该点与已知直线垂直的平面，再求此平 面与直线的交点，即为所求投影。=是否在同一平26解平面的法向量口=（1,2,-1）,即为平面的垂线的方向向量s,于是过题设点的垂线方程为为了便于求垂线与