第2章 平面力系

1、第二章平面力系 平面任意力系向作用面内一点的简化 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 物体系统的平衡静定和超静定问题2.1工程中的平面任意力系问题工程中的平面任意力系问题2.2 力线平移定理FdFMMBB)( 可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。力线平移定理的另一个用法，可把一个力和一个力偶合成一个力。正步骤逆步骤主矢和主矩2.3 平面任意力系向作用面内一点简化)(20222FMMFF)(10111FMMFF)(0nnnnFMMFF1212nRni FFFFFFFF平面汇交力系力，FR(主矢，作用在简化中心)平面力

2、 偶 系力偶，MO (主矩，作用在该平面上)平面任意力系平面汇交力系+平面力偶系向一点简化其中平面汇交力系的合力为平面力偶系的合成结果为1212()()()()OnOOOnOiMMMMMMMM FFFF大小22)()(iyixRFFF方向cos( , )ixRRFFiFcos( , )iyRRFFjF作用点作用于简化中心上主矩)(iOOFMM 平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶。 这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O 。 这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩和简化中心的位置有关。平面固定端约束平面固定端约束=(1)平面任意力系简化为

3、一个力偶原平面一般力系等效为一个平面力偶系。合力偶矩M等于原力系对简化中心的主矩。由于力偶在同一平面内可移转，所以此时的简化结果与简化中心无关()OOMM F FR0，MO0 2.4 平面任意力系的简化结果分析(2)平面任意力系简化为一个合力的情形合力矩定理如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。如果主矢和主矩均不等于零，此时还可进一步简化为一合力。如图OOFRdFRFRFRMOFROOdOOORMdF()ORROMF dMF()OOiMM F结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。这就是平面任意力系的合力矩定理

4、。FRdOO从图中可以看出所以由主矩的定义知：()()OROiMM FF0RF主矢主矢主矩主矩最后结果最后结果说明说明合力合力合力合力合力作用线过简化中心合力作用线过简化中心0RF合力作用线距简化中心合力作用线距简化中心合力偶合力偶平衡平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关结论： 1、合力的大小等于线载荷所组成几何图形的面积。2、合力的方向与线载荷的方向相同。3、合力的作用线通过载荷图的形心。1、均布载荷、均布载荷qlQ 2、三角形载荷、三角形载荷qlQ213、梯形载荷、梯形载荷l/2l/2qQlq2q1可以看作一个三角形荷载和一可以看作一个三角形

5、荷载和一个均布载荷的叠加个均布载荷的叠加 面的形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。 v 判断形心的位置： v 当截面具有两个对称轴时，二者的交点就是该截面的形心。据此，可以很方便的确定圆形、圆环形、正方形的形心； v 只有一个对称轴的截面，其形心一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定。 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零即 00oRMF2.5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程)()()(22iOOyxRFMMFFF因为平面任意力系的平衡方程)54(000oyx

6、MFF 平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。平面任意力系平衡方程的三种形式1) 一般式000AyxMFF2)二矩式000BAxMMF两个取矩点连线，不得与投影轴垂直BA,由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件，若AB连线不垂直于x 轴 (投影轴），则力系必平衡。3)三矩式000CBAMMM三个取矩点，不得共线CBA, 由前面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡，再加第三条件，力系只能简化为过A、B、C三点的一合力或处

7、于平衡，若三点不在同一直线上，则力系必平衡。注意：注意：以上格式分别有三个独立方程，最多只能求出三个未知数以上格式分别有三个独立方程，最多只能求出三个未知数。例4-2已知：, , ,;P q a Mqa求：支座A、B处的约束力.解：取AB梁，画受力图. 0 xF0AM 0yF0AxF解得0AxF4220BFaMPaqa a解得3142BFPqa20AyBFqaPF解得342AyPFqa2.6平面平行力系的平衡方程 0 xF0000 0 xF0coscoscos321FFF 0yF0sinsinsin321FFF平面平行力系的方程只有两个，有两种形式00AyMF各力不得与投影轴垂直00BAMMA

8、,B两点连线不得与各力平行2.7 刚体系统的平衡问题 由多个物体通过约束所组成的系统称为刚体系统。 外界物体作用于系统的力称该系统的外力。系统内各刚体间相互作用的力称该系统的内力。 当整个系统平衡时，系统内每个刚体都平衡。反之，系统中每个刚体都平衡，则系统必然平衡。因此，当研究刚体系统的平衡时，研究对象可以是整体，也可以是局部，也可以是单个刚体。 1 刚体系统静定的判断 在静力学中求解刚体系统的平衡问题时，若未知量的数目(m)不超过独立平衡方程数目(3n)。则由刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这类问题称为静定问题。 若未知量的数目多于独立平衡方程数目，则全部未知量用刚体静力学理论无法求出，

9、这类问题称为静不定问题或超静定问题。而总未知量数与总独立平衡方程数之差称为静不定次数(k=m-3n)。 静不定问题在强度力学静不定问题在强度力学（材力材力, ,结力结力, ,弹力）中用位移弹力）中用位移协调条件来求解协调条件来求解。静定（未知数三个）静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）静不定（未知数四个）例4-6 已知:F F=20kN,q=10kN/m,20mkNML=1m;求:A,B处的约束力.解:1)取CD梁,画受力图.0CMsin60cos30202BlFlqlFl 解得 F FB B=45.77kN=45.77kN解得kN89.32AxF 0iyFsin602cos300AyBF

10、FqlF解得kN32. 2AyF 0AM22sin60 3cos3040ABMMqllFlFl解得kN37.10AM2)取整体,画受力图. . 0ixFcos60sin300AxBFFF2.8 工程中的摩擦工程中的摩擦干摩擦固体对固体的摩擦。流体摩擦流体相邻层之间由于流速的不同而引起的切向力。滑动摩擦由于物体间相对滑动或有相对滑动趋势引起的摩擦。滚动摩擦由于物体间相对滚动或有相对滚动趋势引起的摩擦。 当两个相互接触的物体具有相对滑动或相对滑动趋势时，彼此间产生的阻碍相对滑动或相对滑动趋势的力，称为滑动摩擦力。 摩擦力作用于相互接触处，其方向与相对滑动的趋势或相对滑动的方向相反，它的大小根据主动

11、力作用的不同，可以分为三种情况，即静滑动摩擦力，最大静滑动摩擦力和动滑动摩擦力。若仅有滑动趋势而没有滑动时产生的摩擦力称为静滑动摩擦力；若存在相对滑动时产生的摩擦力称为动滑动摩擦力。2.9 滑动摩擦在粗糙的水平面上放置一重为P的物体，该物体在重力P和法向力FN的作用下处于静止状态。今在该物体上作用一大小可变化的水平拉力F，当拉力F由零值逐渐增加但不很大时，物体仍保持静止。可见支承面对物体除法向约束力FN外，还有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向力，此力即静滑动摩擦力，简称静摩擦力，常以FS表示，方向向左，如图。1 静滑动摩擦力和最大静滑动摩擦力静摩擦力的大小随水平力F的增大而增大，这是静摩擦力

12、和一般约束力共同的性质。静摩擦力又与一般约束力不同，它并不随力F的增大而无限度地增大。当力F的大小达到一定数值时，物块处于将要滑动、但尚未开始滑动的临界状态。这时，只要力F再增大一点，物块即开始滑动。当物块处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值，即为最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力，以Fmax表示。此后，如果F再继续增大，但静摩擦力不能再随之增大，物体将失去平衡而滑动。0:0 xSSFFFFFmax0sFF综上所述可知，静摩擦力的大小随主动力的情况而改变，但介于零与最大值之间，即 由实验证明：最大静滑动摩擦力的大小与两物体间的法向力的大小成正比，即：maxsNFf F这就是静滑动摩擦定律。

13、式中fs称为静滑动摩擦因数。静摩擦因数的大小需由实验测定。它与接触物体的材料和表面情况(如粗糙度、温度和湿度等)有关，而与接触面积的大小无关。当滑动摩擦力已达到最大值时，若主动力F F再继续加大，接触面之间将出现相对滑动。此时，接触物体之间仍作用有阻碍相对滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，以F Fd表示。实验表明：动摩擦力的大小与接触体间的正压力成正比，即式中f d是动摩擦因数，它与接触物体的材料和表面情况有关。动摩擦力与静摩擦力不同，没有变化范围。一般情况下，动摩擦系数小于静摩擦系数，即 f d fs。2 2 动滑动摩擦力动滑动摩擦力NddFfF 实际上动摩擦系数还与接触物

14、体间相对滑动的速度大小有关。对于不同材料的物体，动摩擦系数随相对滑动的速度变化规律也不同。多数情况下，动摩擦系数随相对滑动速度的增大而稍减小，但当相对滑动速度不大时，动摩擦因数可近似地认为是个常数。两种摩擦力的比较两种摩擦力的比较1. 静滑动摩擦力静滑动摩擦力l 方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；l 大小：max0FFsl NFfFsmax（库仑摩擦定律）l 大小：NFfFdd2. 动滑动摩擦力动滑动摩擦力l 方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；sdff（对多数材料，通常情况下）l 1 摩擦角SNRAFFF全约束力全约束力物体处于临界平衡状态时，全约束力和法线间的夹角。2.1

15、02.10 摩擦角和自锁现象摩擦角和自锁现象摩擦角摩擦角ftansfNFFmaxNNsFFf摩擦锥摩擦锥f02 自锁现象 如果作用于物块的全部主动力的合力FR的作用线在摩擦角f之内，则无论这个力怎样大，物块必保持静止。这种现象称为自锁现象。因为在这种情况下，主动力的合力FR与法线间的夹角 f，因此， FR和全约束反力FRA必能满足二力平衡条件，且 f，而 f ，支承面的全约束反力FRA和主动力的合力FR不能满足二力平衡条件。应用这个道理，可以设法避免发生自锁现象。 斜面与螺纹自锁条件sfftantan斜面自锁条件f斜面的自锁条件是斜面的倾角小于或等于摩擦角。斜面的自锁条件就是螺纹的自锁条件。因为螺纹可以看成为绕在一圆柱体上的斜面，螺纹升角a就是斜面的倾角。螺母相当于斜面上的