定积分的微元法ppt课件

1、14.74.7 定积分的应用定积分的应用一、一、 微元法微元法二、二、 平面图形的面积平面图形的面积三、三、 旋转体的体积旋转体的体积2复习复习: : 1 1、定积分的概念、定积分的概念 2 2、微积分基本公式、微积分基本公式3 3、定积分的计算、定积分的计算3曲边梯形面积曲边梯形面积变速直线运动路程变速直线运动路程定积分概念定积分概念badxxf)(0limni 1nixi321 ，maxiixf)(极极限限和和式式4微积分基本公式微积分基本公式)()(| )()(aFbFxFdxxfbaba定积分的计算定积分的计算奇偶性积分法分部第二类换元法第一类换元法换元法直接法 51.学习目标学习目标

2、:用定积分表示可以无限累加的量用定积分表示可以无限累加的量例如例如:平面图形的平面图形的面积面积,旋转体的旋转体的体积体积;变力变力做做功功,液体的液体的压力压力等等2.思想方法思想方法:微元法微元法6一、一、 微元法微元法7 求曲边梯形面积的四步骤求曲边梯形面积的四步骤 ：（1）分割）分割: 把区间把区间a，b分成个分成个n小区间；小区间；（2）近似代替：）近似代替：（3）求和：）求和：（4）取极限）取极限：iiixfA)(niiixfA1)(badxxf)(0limni 1iixf)(nixi321 ，maxabxyoi ix1x1 ix1 nx128badxxf)(只与积分区间和被积函数

3、有关1.积分区间积分区间 -关键关键:2.积分表达式积分表达式 -dxxf)(iixf)(iix令iixxf)(去下标xxf)(?小区间上的近似值,1iixxiiixxx1,11iiixxx去下标,xxx,dxxx,ba?变量的范围dxxf)(9ab xyo)(xfy xdxx dA面积微元面积微元任意小区间badxxfA)(10微元法的步骤：微元法的步骤：1、确定积分变量，并求出相应的积分区间、确定积分变量，并求出相应的积分区间,ba 2、在区间、在区间 上任取一小区间上任取一小区间 ，并，并,ba,dxxx在该小区间上找出所求量在该小区间上找出所求量 的近似值的近似值UdxxAdU)(3、

4、写出所求量、写出所求量 的积分表达式的积分表达式 ，UbadxxAU)(然后计算它的值然后计算它的值.11二、二、 平面图形的面积平面图形的面积12例例1. 计算两条抛物线计算两条抛物线22,xyxy在第一象限在第一象限所围图形的面积所围图形的面积 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由xy 22xy 得交点) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A13dxxgxf)()(),()(xgyxfy与计算由区间计算由区间a, b上的两条连续曲线上的两条连续曲线 以及两条直线以及两条直线x= a与与x= b所围成的平面图形的面积。所围成的

5、平面图形的面积。 由微元法，取由微元法，取x为积分变量，为积分变量，其变化范围为区间其变化范围为区间a, b ，任意，任意一个小区间一个小区间x, x+dx上，面积上，面积 近似值近似值ayxbOxy = f (x)x+dxy = g(x)Ad.)()(xxgxfAbad14计算抛物线22xy 和直线所围图形的面积 . 1 xy学生练习学生练习: 15xxy22oy4 xy例例2. 计算抛物线计算抛物线xy22与直线与直线的面积的面积 . 解解: 由xy224 xy得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形所围图形)2,2(221yy442361y为

6、简便计算, 选取 y 作积分变量,则有yyyd42A16类似地可得，由区间类似地可得，由区间c,d上的两条连续曲线上的两条连续曲线与与 ，（，（ 当当 ） 以及两直线以及两直线 与与 所围成的平面图形的面积为所围成的平面图形的面积为)(yx( )xy , , ( )( )yc dyycy dy dcdyyyA)()( xoycdyy+dy( )xy( )xy17计算抛物线xy22和直线所围图形的面积 . 22 xy学生练习学生练习: 18 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱

7、圆柱圆锥圆锥圆台圆台旋转体的体积旋转体的体积19,bax dxxfdV2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy 取积分变量为取积分变量为 x20例例3. 求由曲线求由曲线 ,直线直线x = 1及及x轴所围成的轴所围成的平面图形平面图形 xy 解解120()xVxdx 绕绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积轴旋转一周所生成的旋转体的体积. 10 xdx1022x xy oyx由旋转体的体积公式由旋转体的体积公式,得得如图如图, 选选x为积分变量为积分变量2 21xyo)(yx cddyy2)( dcV22小结小结: 1. 微元法微元法2. 平面图形的面积平面图形