求极限方法总结

1、极限求解总结1极限运算法则设dHi-x J 1山* 1,贝y(1) I 二 -.- 二 -二，(2) :丄一二一 11 皿口 -*DOJTB2、函数极限与数列极限的关系如果极限.存在，KJ；为函数汽熾的定义域内任收敛于-的数列，且满足：“ m *心厂(，那么相应的函数 值数列炉貂必收敛，且上纠一 ：: I7 Ji门3、定理(1) 有限个无穷小的和也是无穷小；(2) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小；4、推论(1) 常数与无穷小的乘积是无穷小；(2) 有限个无穷小的乘积也是无穷小；(3) 如果比厂屮工存在，而c为常数，则limc/(jEj = dim f(x)(4) 如果li忙"存在，而

2、n是正整数，则5、复合函数的极限运算法则设函数訂曲；|是由函数I 与函数肿复合而成的，.-在点二的某去心领域内有定义，若朮一二心=5二(厂 ， 且 存在一 -丨， 当皿山花烷) 时 ， 有 煮庁壬论 ， 则= limUo f(u) = A6、夹逼准则如果当吐工兀用5(或：M)时，也爲£筒斗:述(2) 金口W -止匕匸欽厂-八那么用血存在，且等于A7、两个重要极限(1) 一 JL(2)心耳拭J. 一泾8求解极限的方法(1)提取因式法例题1、求极限丄一一解：血L 一 .宀(严-“切=皿”工(宁丫 = 1例题2、求极限lj；L：心。農為式乩氐b>°1 =j,2drh = l

3、im 旷25 一 加二M 唏)la&例题3、求极限门也1.心尸(加> 0,fl * 1)解:liningxpoS+i I cp年 1= liiiVr十卫XP 丄jJJ-3 丄lim hi a = lim a+i In a =X-* + » X(A：+1)JTT+OD 1 性J III" "co>P > 2，111 ftP = 2亠0j一,p < 2(2)变量替换法(将不一般的变化趋势转化为普通的变化趋势)例题1、limsin(77ir sinGix.X3n(mx)=(-1)mnsin mylimm sR?iy例题2、：二-1解：令x

4、=y+1?cm例题 3、- 解：令y=-y Xlimx_+OTxz pQ + 尤/x3 H-Jt2=lim Y-菲+*(3) 等价无穷小替换法x 0 sinxxsinx&x 一 lnCl-HJax 一 lxIna(1 + x)a lax注：若原函数与x互为等价无穷小，则反函数也与 x互为等价无穷小例题 1、|.|；|.-_ !' ： . -解:例题 2、-.匸 i 1 - . ; s "-解:linq* Jn(l 十严)In (1lim尸1口严(严工Xlimx+QC - ax + ln(eX+ -) = limlnCl 十严)-=XrX+ 1) = lim +co -

5、 lne + lnCe-CPf + 1)=X-axv blraGr_flaf+l) -I- lj = aft + InnJf-#+OQ=ab例题3、】inizln(?in x) 2 jcln.(x2 4-s2jr解:lintsln(Csin x)=+)xIn+ flEXJ2xInG sin 黑尸 +)xIn tr2-Ks31t- Zxlim例题4、：jpsin x解：.:,n-ac-rfn x=呱*心宀7）x-sin xlim泸叫心)=jX sin x例题5、二二解：H _ = limrr1,ln_ix-1,. In Jflimje-*l Ll令 y=x-1原式=L亠-(y+1) Ln(y-H

6、)沖:=1i;:-（况 0°） 心一（sinsinii 宠厲）1 (sinx)n+lirn _vCl - (sinx)ff)(l (sin1-(1- y)fl+解：令 丁 =-：.：.=lim= lini- Ci - yMi - (i - y)p 严屮 阿两 住+/?例题 1、by :'-解：解法一（等价无穷小）2 tan 比lir(tan x)tAfl 2* 二li m(tan ZarXtan x-1) 陀_益打 x-1 左厂！=lim=护记-2 t" X1 +tan x1解法二（重要极限）：lim(tan x)tm 2x=liml + (tanx-训丄i聞臥逐z

7、l)JTt 4Z tan 曲1+tan xn ZxKta口 x-1)Hr旺希誥和(tan jc1)=e_1（5）夹逼定理（主要适用于数列） 例题1、心:.羔广+- 丁 + -八）；解：. 匚 -._ ：.所以.":-推广：铎H 一 . 一二 .二lim (rij + a2n+肛母用+ 口弃/1）匚max aj例题2、R丄1”沙|1)2)x>解limHim"El-X - X a X込巴3tt-l例题3、- -2n+l3n-l?i +1 /2 例题4、l】m_一 -所以土:*，、心=：；所以; -（；皿u算日=1所以:-35°2X57 2n + lX8X &qu

8、ot;X3n-13682(n-bl)-2X6X X" X=n + 1 /2"-22 (3)所以也斗is2n -I- 22nd- 2&i+i)211 1 1li m . 4.- + ,=-TiT* R申+ 1节(肌十 1 )例题5、川务、_丄；_ *广：解:/ 丄二 丄n << n +1士三汕十irU寸所以r： -« - I ='-n+lJinlim 丫(汕 + 1飞=1J1TQQfc= 1(6)单调有界定理例题1、】门,、_：2583111解：一 -：仗曲单调递减让二吩极限存在，记为A由（*）：;工求极限得：A=A所以A=0例题2、1J

9、2 一求血遙:.解：、一_ _- - x± = V2 1 > 0.单调递增1所以.j厂心m鼻厂心极限存在，记为L例题3、比 s 口（1十莎71）(«>1) a+xnatl+Wn-L)(a3 -o)fen解：，_ ： =°n+1 n a.+xn口+Xm(a +xhn)(a-hxn_1)ar> r.=伍+ K当矗.泸.所以：匚_ 7极限存在L _ 41+L)cn-£注：单调性有时依赖于-一的选取例题 4、j i -： 求极限山:L2n+J 2n-l1 11 + x2n 1+厘知-2x2n-2(1 + 也(1 + 2n-2)*2n1 2n3(

10、1 +)(1 + 極(1 +兀轴1)(11jta jti 二< 0l+x2 1所以单调递减，同理，溉爲单调递增 有因为-一3住粉 故心匚：_一和讥”：.均存在，分别记为 A,BB =1+A2n+.l解得Y'-lA=B=-2所以V佰一1lim兄xn 卫（7）泰勒公式法即丄例题1、设f有n阶连续导数严(环)=0 (A = 1A f僦）工。Vnefi证明：&】：.、；芒 2' - - 1 - 证明:f co + £h)= f (%0)+ f aa ay +Gi2)!(6h)n2即，-H 用：,；，"f(u)f (為 + A) / %) = hn 梵© < /z < x0 + ftf " 3 护=hn-lAg»-l n!(n 1)1h->0JU-lHni0(ft) 1lim 6(h) = Tii二5Fi-rO(8)洛必达法则例题1、求e “*ra-3Jir+2 ”S#3 2解：lim例题2、求口工解:-tan % xlim+aD 2_5=lim歳十晋s例题 3、求】 一 / : I'解:u1TLX11-1Tl&l-Um左 t+o內=limT+00= lun 忙t+r n!例题 4、求二【