勾股定理平方根专题知识点整理

1、勾股定理、平方根专题知识点整理第一节勾股定理、勾股定理：1勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a, b，斜边长为c,那么勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a, b, c有下面关系：a2+ b2= c2,那么这个三角形是直角三角形。2. 勾股数：满足a2+ b2= c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a, b, c、为勾股数，那么ka, kb, kc同样也是勾股数组。）* 附：常见勾股数：3,4,5 ; 6,8,10 ; 9,12,15 ; 5,12,132 2 23. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a +

2、b =c，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为 c ）；(2) 若c2= a2+，则厶ABC是以/ C为直角的三角形；若a2 + b2v c2,则此三角形为钝角三角形(其中c为最大边);若a2 + b2> c2,则此三角形为锐角三角形(其中c为最大边)4. 注意：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(2) 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的

3、 一半。(3) 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角 等于30°。5. 勾股定理的作用：(1) 已知直角三角形的两边求第三边。(2) 已知直角三角形的一边，求另两边的关系。(3) 用于证明线段平方关系的问题。(4) 利用勾股定理，作出长为、n的线段二、平方根：(1119的平方)1、 平方根定义：如果一个数的平方等于 a,那么这个数就叫做 a的平方根。(也称为二次方2根)，也就是说如果x =a，那么x就叫做a的平方根。2、平方根的性质： 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；一个正数a的正的平方根，记作“ a ”又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“一a

4、 ”i这两个平方根合起来记作 “土 '-a ”( a叫被开方数，“”是二次根号，这里“，”2厂亦可写成“'” 0只有一个平方根，就是 0本身。算术平方根是 0。 负数没有平方根。3、开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。4、(1)平方根是它本身的数是零。(2) 算术平方根是它本身的数是 0和1。(3) a 二aa_0,、a2 二 a a _ 0 , . a2 =-a a ： 0 .(4) 一个数的两个平方根之和为0三、立方根：(1 9的立方)1、 立方根的定义：如果一个数的立方等于 a,那么这个数就叫做 a的立方根。(也称为二次方根)，也就是说如

5、果x3=a,那么x就叫做a的立方根。记作“ 3 a ”。2、立方根的性质： 任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 互为相反数的数的立方根也互为相反数，即3 - a = - 3 a (3 a)3 =3 a3 = a3、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算为互逆运算，开立方的运算结果是立方根。4、立方根是它本身的数是 1, 0，-1。5、平方根和立方根的区别：（1 ）被开方数的取值范围不同：在 -:a中，a _ 0,在3 a中，a可以为任意数值。（2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一个

6、立方根。6、立方根和平方根：不同点：（1） 任何数都有立方根，正数和 0有平方根，负数没有平方根；即被开方数的取值范围 不同：土 .a中的被开方数a是非负数；3 a中的被开方数可以是任何数 .（2）正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根；（3） 立方根等于本身的数有 0、1、一 1，平方根等于本身的数只有 0.共同点：0的立方根和平方根都是 0.四、实数：1、定义：有理数和无理数统称为实数无理数：无限不循环小数称（包括所有开方开不尽的数，口）。有理数：有限小数或无限循环小数注意：分数都是有理数，因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式2、实数的分类：”正有理数有理数f零负有理数

7、无理数正无理数I负无理数，有限小数或无限循环小数无限不循环小数实数的性质：实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是一样的。 实数同有理数一样，可用数轴上的点表示，且实数和数轴上的点对应。 两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。 实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。3、近似数：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。取近似值的方法一一四舍五入法4、 有效数字：对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数都称为这个近似数的有效数字5、科学记数法：把一个数记为a 10n（其

8、中1 < a ：10,n是整数）的形式，就叫 做科学记数法。6、实数和数轴：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。实数与数轴上的点是 对应的。勾股定理:（一）结合三角形:2 21已知.ABC的三边a、b、c满足（a-b） ，（b-c） =0,则厶ABC为三角形2. 在 ABC 中，若 a2=（ b+c）（ b-c），则 A ABC 是三角形，且 N90°3. 在 AABC 中，AB=13，AC=15，高 AD=12，贝U BC 的长为 1已知x12+|x+y 25与Z210z+25互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三 角形的形状。2.已知

9、：在匚ABC中，三条边长分别为 a、b、c , a = n2 -1, b=2 n , c = n2 1 （ n>1） 试说明： C=90 。3.若 ABC的三边a、b、c满足条件a2 b2 c2 338 =10a - 24b - 26c，试判断厶ABC的形状。4.已知J a 6+2b 8+（c 10）2 =0,则以a、b、c为边的三角形是 2. 折叠问题：1. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6 , BC=8，将 ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（）c. 7D.（三）求边长：1. （ 1）在 Rt .ABC 中，a、b、c 分别是.A、. B、. C 的对边

10、，.C=90 已知：a =6， c=io，求b ；已知：a =40，b =9，求c；2. 如图所示，在四边形 ABCD中，/ BAD= 90，/ DBC= 90 ，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。一、平方根:（一）文字类题目：一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方根等于它本身，这个数是 ；一个数的算术平方根等于它本身，这个数是 一个数的立方根等于它本身，这个数是 ；一个正数的两个平方根的和是 .一个正数的两个平方根的商是 .(二).定义:1. (1)81的平方根是-9的数学表达式是()A. 81 =9B.二,81 =9C.、81 二 9D. - , 81=9.81的平方根是(

11、: )A. 9B.、9C. _ 9D. _3二9表示，士 49 =。16的数是，将16开平方得，因此平方与互为逆运算。14的平方根是 ;的平方根是 。 的平方根是 0.81。49(2 )数有平方根吗？若有，求出它们的平方根；若没有，请说明理由。(1)-64；( 2)( -4)2 ；( 3)-5 2( 4)81(3) 若3a+1没有算术平方根，则 a的取值范围是 若3x-6总有平方根，则x的取值范围是 。1若式子x丄的平方根只有一个，则x的值是。3(4) 已知x -1 <J1 -x = y 4，那么 x- y =已知a为实数，那么 -a2等于()A. aB. -aC. -1D. 02(5)

12、 若(x _3). y - 4 =0，则 x+ y =已知 a2 9 +Ub2 4 = 0，那么 a+ b=已知x、y满足：.x - 2y - 3 (2x - 3y -5)0，那么x -8 y的立方根为 (6) 代数式-3 -.a b的最大值是 ，这时a、b之间的关系是 (7) 若.m = 10，则m =；若3、m = 4，则m的平方根是 (8) 若 具=3，贝V x=，空(一x f =3，贝U x=(9) 下列个数中：T00 I。，- 6 ,3、8,-2 - - 5 6没有平方根的有个22.已知 ABC的三边分别是a、b、c,且满足 a -1 b - 4b 0，求c的取值范围。已知a、b为实

13、数，且 J2a + 6 + b 2=0，解关于x的方程：（a+2） x + b2 = a-l。已知 4a2-49=0,求-.39 -10a 的值。3. 列方程求值：2(2) 5X -10=0 ；2(3)36( X-3)-25=02（1）x =196；4. （ 1）已知一个正数的平方根是2X-1和3-X，求这个数（2）已知.x-y，3与、.x，y-1是一个数的两个平方根，求x-y 的平方根。5估算：（1）比较大小：2.5-13. 5与与524（2）a、b为两个连续的整数，且 a ：._ 7 : b，则a b=满足- .2 <x< $3的整数是；实数的绝对值是47 - <3。A.

14、 1 m 26计算：B.2 m ： ： 3(1) JO3-223 -（2）、下列计算正确的是（)f 951 1A、 、 1 B、4=216 42 27.平方根的性质：.0.01 =；(V52 . ?（3）若m = . 40 - 4，则估计m的值所在的范围是（）C. 3 m ： 4D. 4 m ： 5C、0.25 =0.05D25 = 5丁162 =；-16 2 =二、立方根1. 定义：(1)如果a是x的立方根，那么下列说法正确的是()A. -a也是x的立方根B. -a是-x的立方根C. a是-x的立方根D.和a都是-x的立方根(2)下列各式：3 9 =3；3 0.001 =0.1； 3 _0.

15、1 二-0.1； 3 0.8 二 0.2，其中错误的有个2. 根据定义求值:(1)求值：3125x =216(2)方程：3x-3 一 13. 估算：(1) 估计68的立方根大小在()A. 2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间(2 )通过估算-420的整数部分为()A. 6B. 7C. 8D. 9(3) 3 100估算到个位=4. 平方根与立方根相结合：(1 )若2x+1的平方根是_5，那么5x+4的立方根是 (2) 已知iX =8，求3 一 1 x的值。V 8(3) 已知 m 满足 2m 一1 = 3 , k、n 满足 k - 3 2 91 7n = 0,求 k m2 - 3n

16、 的值3三、实数：1. 实数的定义：1. 判断下列说法是否正确，为什么?(1) 无限小数是无理数；(2) 有理数都是是有限小数；(3)(4)(5)无理数都是无限小数；(6)在实数范围内，若(7)(8)(9)0是最小的实数；0是绝对值最小的实数； 数轴上的点与有理数是-（10 ）数轴上的点与实数是一2. 下列说法正确的是A.不存在最小的实数C.无限小数都是无理数3. 下列说法正确的是（A.无限小数是无理数C.无理数的相反数还是无理数4. 把下列各数填入相应的集合内:对应的 对应的B.有理数是有限小数D.带根号的数都是无理数B.不循环小数是无理数D.两个无理数的和还是无理数-曉,-3.14，-3,

17、 1732,0，0.3，18, 25，21，, 7, - 16V3631（1）（2）（3）（4）3-、 3 -8、2有理数集合 无理数集合 正实数集合 负实数集合0、27、0.5、3.14159、-0.0200200020.12121121112带根号的数都是无理数 任何实数的偶次幕都是正实数;2. 有效数字、科学记数法、近似数： 注意：2000有4个有效数字，精确到个位2 103有1个有效数字，精确到千位1. 有几个有效数字，保留几个有效数字： 用四舍五入法，按要求取近似值： 地球上七大洲的面积约为149480000 （保留2个有效数字） 25.8万（保留2个有效数字） 小明身高1.595m

18、 （保留3个有效数字） 0.0608，0.0608002. 精确到哪一位：由四舍五入法得到的近似数，分别精确到哪一位？各有几个有效数字? 小明身高1.59m; 地球的半径约为 6.4为03; 组成云的小水滴很小，最大的直径约为0.2mm ; 某种电子显微镜的分辨率为1.4为0-8; 70万 9.03万 1.8亿5 6.40 10 0.0900803.精确到0.1, 0.01等:精确到个位（或精确到 1 ）是n精确到十分位（或精确到n精确到百分位（或精确到n精确到千分位（或精确到0.1） 是0.01）是0.001 ）是小亮用天平称得罐头的质量为2.026kg,按下列要求取近似数，并指出每个近似数的有效数:精确到0.01kg;精确到0.1kg;精确到1kg. 某人一天饮水 1890ml （