第2章离散时间信号

1、离散时间信号(discrete-time signal)是离散时间变量n的函数，它只在规定的离散时间点上才有函数值，在其他点无定义。在离散信号处理过程中，离散时间信号表现为在时间上按一定次序排列的不连续的一组数的集合，故称为时间序列(time series or sequence)。 ( )xnn0 x(0)x(1)x(2)x(3)单位采样序列单位采样序列10( )00nnn)(0)(1)(nknkkn( )nn10( )nn10k单位阶跃序列单位阶跃序列0)()(mmnnu0001)(nnnu1 -1 0 1 2 ( )u nnNnnNnnRN及00101)(1N-1N( )NRnn0( )

2、NRn和 的关系：( )( )u nn、 1110NnnnknNnununRNkN)()(nuanxn0123n( )x n( )x n0123n( )x n4n0123n( )x n401231a 01a1a 10a ( )sin()x nAnnnsinAn22/sssTfTff 对 信号 进行采样， 模拟角频率， rad/s sin() t数字角频率 rad)()(NnxnxN为整数F 对正弦序列来说)sin()sin(Nnn2m令)22sin(2)sin()2sin(mNmnmNnmn等式成立的条件为 ：KmN22KmN 二、序列的运算v序列加减乘序列加减乘设序列设序列与与( )y n)

3、()()(nynxnz( )x n( )( )( )z nx ny n( )( )( )z nx n y nG注意： 时刻对齐v序列移位序列移位( )()z nx nmv序列翻转序列翻转)()(nxnz)()(Mnxny)/()(Lnxny0 1 2 3 n( )x n4 5 6 0 1 2 3 n(2 )xn4 5 6 2 3 4 5 6 10 11 12 0 1 n( /2)x n7 8 9 v序列的离散卷积序列的离散卷积 mmnymxnynxnz)()()(*)()(翻褶、移位、相乘、相加231x(n)54n0N1=523h(n)n0N2=3（1）翻褶231x(k)54k0N1=5231

4、h(-k)k（2）平移（3）相乘x(k)h(-k)=51=5x(k)h(1-k)=5*2+4*1=14x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20 x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14x(k)h(5-k)=2*3+1*2=8x(k)h(6-k)=1*3=3231x(k)54k023h(1-k)k01(4)相加14265ny(n)2014830信号转换过程信号转换过程 一、采样过程1. 模拟信号采样器离散的脉冲信号( )x tt0()sx nTtsT()sx nT( )x t( )sTt2. 数学描述数学描述)()()()()

5、(STSSnTttxttxnTx（2.2.1)假设采样脉冲为理想脉冲（2.2.2)只考虑正值时间0nSSSS)nTt ()nT( x)nT(x)()()(SSSSnTtnTxnTx(2.2.3)二、采样定理二、采样定理(Sampling theory)离散信号X(nTs)连续信号 X(t)Nyquist（Shannon)采样定理：要想采样后不失真地还原原信号，采样频率必须大于原信号频谱中最高频率的两倍，即ms2mtTjmmTecnTtt2)()(2/2/2)(1TTntTjmmdtenTtTcTdtetTTTtTjm1)(12/2/2mtTjmTeTt21)(采样的脉冲序列时域采样信号是原始信

6、号x(t)与脉冲序列的乘积X(t)的频谱：dtetxjXtj)()(（2.2.4)脉冲序列频谱：mtjtjmtjTdteeTdtetjT21)()( msmtmjmTdteTs)(21)(2.2.5)(*)(21)(jjXjX将（2.2.4)和(2.2.5)代入上式： )(*)(221)(msjXmTjX msdmjXT)()(1mTmsmjXTjmjXT)(1)(12（1）频谱的幅度受 加权（2）频谱产生了周期延拓，以 为间隔重复T1T2T1ssms2ms2sst)( jX1mm高频与低频的混叠高频与低频的混叠 频率混叠现象？如频率混叠现象？如何解决？何解决？1.提高采样率提高采样率2.抗混

7、叠滤波器抗混叠滤波器工程上：D/A转换器理论上：)( jX2/s2/s2/s2/sT)( jH2/s2/s)( jY222/)2/sin(21)(ssttdTethsstjnssnTtnTtnTxthnTxty2/ )(2/ )(sin)()()()(插值函数三、采样方式三、采样方式单次波形 实时显示实时显示 等效时间显示等效时间显示重复波形重复波形离散时间信号的自相关函数离散时间信号的自相关函数( )( ) ()xxnRmx n x nmF对功率信号，其自相关函数应定义为对功率信号，其自相关函数应定义为NNnNxmnxnxNmR)()(121lim)(F对对周期周期信号，其自相关函数应定义为

8、信号，其自相关函数应定义为NnNxmnxnxNmR0)()(1lim)(NnNmNnxnxN0)()(1lim()xR mNF对对复值复值信号，其自相关函数应定义为信号，其自相关函数应定义为10*)()(1)(NnxmnxnxNmRv性质性质 若若 是实信号，则是实信号，则 若若 是实信号，则是实信号，则 当当 时时, ,若 是能量信号)(nx)(nx)()(mRmRxx)(nx)()(*mRmRxx)()0(mRRxx)()0(mRRxx)(nx0)(limmRxm)(nx)(nx( )xR m0m )sin()(nnx1, 1 , 0,2 NnN10120101( )sin()sin()1

9、cos()sin ()1sin()sin()cos()1cos()2NxnNnNnR mnnmNmnNmnnNm同频率余弦例例: 离散时间信号的互相关函数离散时间信号的互相关函数F对功率信号，其对功率信号，其互互相关函数应定义为相关函数应定义为nxymnynxmR)()()(nyxmnxnymR)()()( ) ()()xynx n y nmRmnNnNxymnynxNmR)()(121lim)(v性质性质 若 是能量信号)(nx)()0(mRRxx)(nxlim( )0 xymRm( )y n( )()xyyxRmRm)0()0()(yxxyRRmR( )( )( )x ns nu n例：信

10、号的检测（白噪声）( ) ( ) () ( ) () ( ) () ( ) () ( )sxsRmE s n x nmE s n u nmE s n s nmE s n s nmR m拉氏变换Z变换nssssnTtnTxnTx)()()(拉氏变换拉氏变换dtenTtnTxenTxsXstnssstss )()()()(nsnTsstsnssenTxdtenTtnTx)()()(ssTez nnznxzX)()(一、一、Z Z变换及其收敛域变换及其收敛域Z变换的定义nnZnxZX)()(vZ变换的收敛域对任意给定序列x(n),使其Z变换收敛的所有Z值的集合级数收敛Mznxnn)(|z|=RX-|

11、z|=RX+jImzRe z 讨论以下四种序列讨论以下四种序列( )x nn1n2n00RezImz1nn( )xn0 xRRe zIm z0n( )x n02nRe zIm zxzR0( )x nn0Re zIm zxzRxzR0二、二、Z Z反变换反变换 围线积分法（留数法）围线积分法（留数法）(Contour Integral Method) 幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法）(Power Series Expansion Method) 部分分式展开法部分分式展开法(Partial-Fraction Expansion Method) 围线积分法（留数法）围线积分法（留数法）

12、cndzzzXjzXZnx11)(21)()( 1nzzXF若 在积分围线C内的有限个极点集合为 iz izzncnizzXsdzzzXjnx11Re21F若 在 处有 阶极点 1nzzXizz r iizznrirrzznzzXzzdzdrzzXs1111!11Re幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法）一般情况下，一般情况下， 是一个有理分式，分子分是一个有理分式，分子分母都是母都是z z的多项式，则可直接用分子多项式的多项式，则可直接用分子多项式除以分母多项式（长除法），得到幂级数除以分母多项式（长除法），得到幂级数展开式，从而得到展开式，从而得到 。 zX nx类似于拉氏变换中部分

13、分式展开法，我们可以将 展成一些简单而常见的部分分式之和，然后分别求出各部分分式的反变换，把各反变换相加即可得到 。 zX nx常用序列z变换（可直接使用）|)(|011)(|11)(1zaazznuazzznRzzznunNNz变换的性质变换的性质vz变换的许多重要性质在数字信号处理中常常要用到。z变换主要的性质参见附录4。v一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列，输出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成本质是将输入序列转变成输出序列的一个运算。输出序列的一个运算。 y (n)= T x (n)v对T加以种种约束,可定

14、义出各类离散时间系统。离散时间系统中最重要、最常用的是“线性、时不变系统”。系统满足齐次性和叠加性系统满足齐次性和叠加性 nxTny11 nxTny22 nyanyanxTanxTanxanxaT221122112211输入 nxanxa2211一、离散系统特点一、离散系统特点时不变离散系统的特点时不变离散系统的特点在同样起始状态之下，系统响应与激励施加在同样起始状态之下，系统响应与激励施加于系统的时刻无关。于系统的时刻无关。 nynxTmnymnxT线性时不变离散系统的输出恰恰可以表示线性时不变离散系统的输出恰恰可以表示成输入与单位采样响应的卷积和。成输入与单位采样响应的卷积和。 nhnxn

15、y二、差分方程的描述二、差分方程的描述一个线性的连续时间系统总可以用线性微分方程来表达。而对于离散时间系统，由于其变量n是离散整型变量，故只能用差分方程来反映其输入输出序列之间的运算关系。NiNiiiinybinxany01)()()(v离散系统差分方程表示法有两个主要用离散系统差分方程表示法有两个主要用途：途： 由差分方程得到系统结构；由差分方程得到系统结构； 求解系统的瞬态响应；求解系统的瞬态响应；三、离散卷积三、离散卷积&任何一个输入序列都可以表示为加权延时单位采任何一个输入序列都可以表示为加权延时单位采样序列的线性组合。样序列的线性组合。 kknkxnx将此任意序列加入到线性时

16、不变系统时，系统的输出为将此任意序列加入到线性时不变系统时，系统的输出为 kknkxTnxTny kkx k Tnkx k h nk线性系统的均匀性迭加性时不变性单位采样响应单位采样响应线性时不变离散系统， 为单位采样响应 两边取z变换 ( )h n( )( )( )y nx nh n( )( )( )Y zX z H z)()()(zXzYzH定义为系统函数它是单位采样响应的z变换。所以可以用单位采样响应的z变换来描述线性时不变离散系统。单位圆上的系统函数就是系统的频率响应 )()()(jjjeXeYeHjez 可以证明，它是单位采样响应的DTFT。2.6 物理可实现系统物理可实现系统v因果

17、系统因果系统因果系统就是指某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前时刻的输入的系统。 0nn 0ny0nn 0nnnx的输出只取决于的输入 1即1线性时不变系统是因果系统的充分且必线性时不变系统是因果系统的充分且必要条件是要条件是 0, 0h nnv稳定系统稳定系统稳定系统就是指输入信号序列有界，并能保证输出信号序列也有界的系统。 nh绝对可和绝对可和 1线性时不变系统稳定的充分且必要条件线性时不变系统稳定的充分且必要条件是系统的单位取样响应是系统的单位取样响应 nnhS)(Nrandu (,)或urand M Nlrandnlresidue),(hxconvy lzplanelconvlxco

18、rrlrand),(pzzplane( , )或zplane b a),(,abresiduezkpr rxy= xcorr (x, y) rxy= xcorr (x, y, Mlag, option) rxy, lags= xcorr (x, y, Mlag , option)例例 1 产生一个叠加白噪声的正弦信号产生一个叠加白噪声的正弦信号clear allclose allclc fs=1500; N=512; n=0:N-1;dt=1/fs;x=sin(2*pi*60*n*dt)+randn(1,N); plot(n,x); xlabel(n); ylabel(x(n);title(sin+randn signal); grid x1=1,2,3; x2=2,4,3,5; n1=-1:1;