考研数学重要公式定理

1、高等数学重要定理及公式作者：电子科技大学 通信学院 张宗卫说明： 本文档是笔者在考研过程中花费将近一个月的时间，总结得出的数学 (一)重要 公式及一些推论，并使用 word 及 MathType 输入成文，覆盖了微积分、线性代数、概率论 这些课程。因为时间有限，难免存在一些输入错误，请读者仔细对照所学知识，认真查阅。 线性代数重要公式1.矩阵与其转置矩阵关系： AA* AE0,r(A) n 12. 矩阵行列式： A 1 1 A* A* An 1 (kA)* kn 1A* r(A*) 1,r(A) n 1 A n,r(A) nr(AB) min r(A),r(B)r(A B) r(A) r(B)

2、3.矩阵与其秩： r(A,B) r(A) r(B) r(A,B) max( r ( A) r(B)4.齐次方程组 Ax 0：非 0 解 线性相关 R(A) n5.非齐次方程组 Ax b：有解 R(A) R(A) 线性表出6.相似与合同：相似 n阶可逆矩阵 A,B 如果存在可逆矩阵 P使得 P 1AP B则 A 与 B 相 似，记作： A B；合同 A,B 为 n阶矩阵，如果存在可逆矩阵 C使得 B CTAC 则称 A 与 B 合同。(等价， A 与 B 等价 A 与 B 能相互线性表出。 )7，特征值与特征向量： A ，求解过程：求行列式 E A 0 中参数 即为特征 值，再求解 ( iE A

3、)x 0即可求出对应的特征向量。矩阵 A 的特征值与 A 的主对角元及 nniaiin行列式之间有以下关系： 1 1 。上式中 tra(A) aii 称为矩阵的迹。1 2. n A i 18. 特征值特征向量、 相似之间的一些定理及推论： 实对称矩阵 A 的互异特征值对应的特征向 量线性无关；若 n 阶矩阵的特征值都是单特征根，则 A 能与对角矩阵相似； n 阶矩阵 A 与 对角矩阵相似的充分必要条件是对于A 的每一个 ki 重特征根，齐次方程组 ( iE A)x 0 的基础解析由 ki 个解向量组成即对应每一个 ki 重特征根 i R( iE A) n ki 。9. 实对称矩阵的特征值都是实

4、数，如果A 为一个实对称矩阵，那么对应于 A 的不同特征值的特征向量彼此正交。任意 n 阶实对称矩阵 A 都存在一个 n 阶正交矩阵 C ，使得T1CTAC C 1AC 为对称矩阵。10. 施密特正交矩阵化方法：一般地，把线性无关向量组化为与之等价的标准正( s,1)( s,2)( 1,1) 1( 2,2) 2ss( s, s 1)( s 1, s 1)交向量组的施密特正交过程如下：11(2,1)2212(1,1)(3,1)( 3, 2)33123(1,1)( 2, 2)再令：则 1, 2. s 是一组与等价的标准正交向量组。11. 正交矩阵的定义：如果实矩阵 A 满足： ATA AAT E则

5、称 A 为正交矩阵。12. 设A ，B为 n阶方阵，如果存在可逆矩阵 C，使得 B CT AC ，则称 A与B合同。13. 用正交变换化二次型为标准型步骤：a）写出二次型对应的对称矩阵 A ；b）求 A 的特征值 i和特征向量， （ E A 0） i ；c）将特征向量 i 正交化（实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量彼此正交，多重特征根在取特征向量时尽量取正交向量，方便计算） 、单位化得 ix1x2X2d) 令 . ， Cxn, ,.， Y1 2 ny1则 X CY ，是正交变换，且yn2nyn 。22f (x1,x2,.,xn)1y12y214.如果任一非零向量X 都使得二次型 X T AX

6、 0 ，则称之为正定二次型，对应的矩阵A 为正定矩阵。二次型为正定矩阵的充要条件是矩阵 A 的特征值全部为正实数、正惯性指 数是 n、矩阵 A 与 E 合同、矩阵 A 的顺序主子式全大于零，且以上条件等价。概率论与数理统计重要知识点及公式： 1.条件概率： P(A|B) P(AB)如果 P(A|B) P(A)P(B),则 A 与 B独立。P(A B) P(A) P(B) P(A B)2.常用概率公式： P(A B) P(AB) P(A) P(AB) (对于给定如： A B 这样的条 p(AB) P(A|B)P(B)件，常常通过画图(如p(AB) p(B)p(AB) p(A) p(AB)3.全概

7、率公式：nP(A)P(Ai)P(Ai |B)i14.贝叶斯公式：p(Bi |A) p( ABi ) n p(Bi)p(BiA) (结合条件概率公式和全概率公 p(Bi)p(Bj )p(A|Bj)j1式推导而出)5.几个重要分布：a) 二项分布( n 次重复，伯努利类型) ： p(A) Cmn pn (1 p)m nb) 泊 松 分 布 ： 二 项 分 布 当 m, 很 大 ， p 很 小 且 np 时 ， kX p( ), p x k e ,k 0,1,2.k!1,a x bc) 均匀分布： X U (a, b), f(x) b a0, otherelsee x,x 0d) 指数分布： f (

8、x)0,x 0e) 正态分布：X N(u, 2), f (x;u, )6.随机变量的数字特征：nA )数学期望：存在前提xi pi ， x f (x)dx 要绝对可积，那么i1nE(x)xipi ，i1E(x) xf (x)dx；2D(X) E (x E(x)2B)方差：D(X) E(x2) E2(x)E(C) CC)期望性质： E(cX) cE(X)，X，Y独立则 E(XY)E(X Y) E(X) E(Y)D(C) 02D)方 差 性 质 ： D(cX) c2D(x),若 XE(X)E(Y)Y 相 互 独立 则D(X Y) D(X) D(Y) 2cov( X,Y)D(X Y) D(X ) D

9、(Y).。7. 常用分布数字特征：a)(0,1)分布 E(z) p;D(z)p(1 p)b)b( n， p)二项分布 E(z)np;D(z) np(1 p)c)k 泊松分布 e k!,E(z),D(z)d)均匀分布：a,b ,E(z)aba2b,D(z)(b a)212e)指数分布：xe ,x 00, otherelse1 ,E(z) ,D(z)1;2;f)正态分布：2N( , 2), E(z),D(z)8.协方差： 定义式 cov(X , Y) E x E(x) y E(y)计算式 cov( X , Y) E(xy) E(x)E(y)cov( X , Y1 Y2) cov( X , Y1)

10、cov( X,Y2) 性 质 ： cov(aX ,bY ) ab cov( X ,Y)cov(Z,Z) D(Z)9.相关系数：xycov( X , Y) , D(X)D(Y),1;10.几种特殊函数的分布问题：a)极值分布 Z1max(X,Y),Z2 min( X,Y)b)ZXc)FZ1(z)P(XFZ2(z)1和的分布：P(max(X,Y)z)P(Y z)P(min( X,Y)z) P(X z,Y z)Fx(z)Fy(z)z)1 P(min( X,Y) z)P(X z)P(Y z) 1 px z1 pyZ=X+Y 分分布函数是Fz(z)fz(z)fz(z)的X与Y N( 1f(z;商的分布z

11、 1 1 Fx ( z)1 Fy(z)P X YFz(z)f (x,zzxf(zx)dxf ( x, y) dxdy;y, y)dy独 立 ， 且 X N(222) ，其概率密度公式为：12) 21 e 2( 12 12)e(x (12),Y N( 2, 22) ， 则2)212 ) 。X Y 分布函数是：Fz(z) P(Z z)f (x, y) dxdyx/ y z0fz(z) 0 yf ( zy, y)dyyf (zy,y)dyy f ( zy, y)dy11.参数估计：a) 矩估计方法：构造关于参数组成的 k 阶原地矩与样本 k 阶原点矩之间的等式关系：k ( 1, 2,. n)nnxi

12、k ，解此方程组解为 k k(x1,x2,.xn) 就作为 k 的矩估 i1计。b) 极大似然估计方法：基本思想是按照最大可能性的准则进行推断， 把已经发生的事件，看成最可能出现的事件，即认为它具有最大的可能性。求法，写出最大似然函数 ,并求最大似然函数的最大值点，一般取最大似然函数的对数方便运算，即求解如下的似然方程组 ln L 0,k 1,2,3., m ，似然方程组 k则称 $是 的无偏估计量，若 1,2 是 的无偏估计量，的解可能不唯一， 这时需要微积分知识进一步的判定哪一个是最大值点， 若似然函 数关于参数的导数不存在时， 就无法得到似然方程组， 因此必须回到极大似然股及 的定义式直

13、接求解。且 D(1) D(2) 则称1 为 的最小无偏估计量。1n14.数理统计概念： XXi (样本均值) ni1S21 n 21(Xi X)2 (样本方差)n 1 i 1Ak1nXik (样本 k 阶原点矩) ni1Mk1n(Xi X)k (样本 k 阶中心矩) ni 1 i13.矩估计的优良性：若 E($)15.三个重要分布：a) 设n个相互独立并且都服从正态分布N (0,1)的随机变量 X1, X2,., Xn记ni1Xi则称随机变量 2 服从自由度为 n 的 2分布。对于给定的正数 a(0<a<1),称满足关 系式 P( 22(n)2(n) f 2(x)dx a的数 a2

14、(n)为 2(n)的上侧临界值或上a (n)侧分位数。性质： E( 2) n,D( 2) 2n设Y1,Y2 相互独立，且 Y1 2(n1),Y2 2(n2)则有 Y1 Y2 2(n1n2)2b) 设随机变量 X 与 Y 相互独立， X N (0,1), Y 2(n)，记XY n 则随机变量 T 服从自由度为n的 t分布。c) 设随机变量 X,Y 相互独立，X 2(n1),Y 2(n2)记 FYX nn21则随机变量 F服从第一自由度为 n1第二自由度为 n2的 F分布。2216设 X1, X 2 ,., X n是正太总体 N( , 2) 的样本， X,S2 分别是样本均值和样本方差， 则有2X

15、 与 S2 相互独立，则有2X N( , )n上式中，n122 S22(n 1)XS/ n t(n1)1E(X) E(ni1D(X) D(ni1nXi)1nXi)nE(Xi)i112 D(Xi )nG22N( 1, 12),N( 2, 22) 的样本，并A)F S12 / 12F S22 / 22 F(n1 1,n2 1);B)22当 12222 时， T(X Y) ( 1 2) t(n1 n2112) 其中，n1n217.设 X1, X2,., Xn1 和Y1,Y2 ,.,Yn2分别是来自正态总体且它们相互独立， X,S12,Y,S22 分别是这两组样本的均值和样本方差，则有：22(n1 1

16、)S12 (n2 1)S22n1 n2 218. 已 知 随 机 变 量函数F(x), 分 布函 数 在 x=a 处 不 连 续 ， 则PX a F(x a)lim F(x) 。xaPxa F(a)F(a 0) )19.概率密度函数满足：f (x)dx 1 ，通常用此条件求概率密度函数中的参数值。20.多重概率密度函数同样满足：f (x, y)d 1 G 为积分空间微积分部分：1 ， 无 穷 小 与 无 穷 大 ：当x0时，有下列等价无穷小sin x x,tan x x,arcsin x x,arctan x x, n1 x 1 x,1 cosx 1 x2,tan x sinx n2ln(x

17、1) x,log a(13xarcsin x x ,x613tanx sinx x2221 x x x) x,e 1 x,a lna3 arctanx ,tanx3132x3,1 xln3xx3a;2，若 limx x03.导数概念：f(x) 0,lim g(x) 0 则 lim1x x0 x x0f (x0 x) f(x0)f '(x0)limx微分概念：y f (x0x)线性主部。切线方程：y04，极限存在的两个准则：5.导数的四则运算法则：f(x)g(x)lim f (x)g(x) ex x0f (x0) A x o( x) 称 f(x) 在 x0 可微，f '(x0)(

18、x x0) 法线方程： y y0单调有界准则，夹逼准则，两个重要极限。(u v) (x) u (x) v (x)(uv)(x)u ( x)v( x) u(x)v(x)dy Af'(1x0)(xx为 y 的x0)(u)'(x)vu (x)v(x) u(x)v(x)v2(x)1'( )'(x)vv (x)v2(x)(C)' 0(xn)' nxn 1(ax)' ax lna(a 0, a 1)x ' x (e ) e6，常用导数和不定积分：(log ax)' xl1n a1 ' 1(ln1x)' 1x(sin x

19、) cosx(cos x) sin x'2(tan x) sec x'2(cot x) csc x(sec x ) secxgtan x(csc x) cscxgtan x(arcsinx)' 11x2(arccos x)1'1(arctan x) 21 x21x(arccot x)11 x2(shx) chx对数求导法： ysinx 'x (x 0), 求 y 。解： ln y sin xgln x 1'y cos xln x yy ' y(cos x ln x1sin xx1 sin x)x1.两边同时取对数2.两边同时求导x参数求导

20、法：yx(t) y(t)确定的 yy(x) 求 dy dxdy y(t) dy ' ,(dx x(t) dxdy dt dt dxdy 1dx dxy'(t) 二阶导数： x'(t)d2y ddx2 dtdt反函数求导： (f1'1)'(x)1， f '(y) ，1'(f 1)'(y)|y y.01f '(x)|x x0高阶导数：sin(n) x sin(x n )2cos(n) x cos(x n2) ln(1 x)(n)n 1 (n 1)! ( 1)n 1 n (1 x)x (n) n x (a ) (ln a) a(

21、x )(n)( 1)(2).(n 1)x n(1x)(n)x( 1)nn!(xn)(n) n!xn 1基本积分公式：0dx C11x dx x C11dx ln x Cxx axdxa Clnaexdx ex Ccos xdx sin x Csin xdx cosx C2sec xdx tanx Ccsc2 xdxCsecx tanxdx cotxsecx Ccsc x cot xdx cscx CdxC2 dx arctan x1 x2Ctan xdx ln cosx Ccot xdx ln sinx Csecxdxln secx tanx Ccscxdxln cscx cotx C122a

22、xdxx arcsinadxCdxln x x2 a2 C1.将复杂部分求导2.主要处理根式部分3. 将复杂部分用新变量 t 替换4. 分部积分主要处理两类函数乘积的积分5. 有理公式处理真分式积分。6. 万能代换。7.罗尔定理： f (x) Ca,b D(a,b)且 f (a) f (b) 则 (a,b) 使得 f '( ) 08.看到函数值差， 联想单拉格朗日定理 f(b) f (a) f '( )(b a),b a 用于求极限证明不 等式。9.柯西定理： 若 f (x), g(x) Ca,b D(a,b)且， x (a,b),g(x) 0则(a,b)使得f(b) f (a

23、) f'( )g(b) g(a) g'( )10.驻点 x0， f (x0) 0的点；极值点 f (x0 ) ，根据实际情况判断，通常看在x0 两侧的一阶导数的正负性有次判断是极大值或极小值；拐点(x0, f ( x0 ) ，拐点二阶导数 f ''(x0) 0，且在 x0 两侧二阶导数异号。11.幂指数函数极限的一般处理方法： lim uvlimvlnu eelim vln u对于 1 未定式，一般v1v lim v1)lim uv lim(1)v elim v,(u12.可分离变量微分方程：dyf (x)g(y)解法dyf (x)dxdxg(y)13.f(tx

24、,ty) tkf(tx,ty)令t 1有 f(x,y) f(tx,ty) f(1,y)( y )称之为其次方程，xx引入变量 u y 则 dy u xdu 带入方程 dy(y)得ux dx dx dx xxduxdx(u) 两边同时积分求解。dy14.一阶线性非齐次方程：P(x)y Q(x) 通解为：dx15.伯 努 利 方 程 ： dy P(x)y Q(x)yn ，令z dx1 dz 带入原式得 dz (1 n)P(x)z (11 n dx dxyep( x)dx1ny1 n 则dzdxp(x)dxQ(x)e c(1 n)yndy ， 即dxn dy y dxn)Q(x) 。16. yf(x

25、, y') 型高阶微分方程求解：令 p y' 则原式化为 dp dxf(x,p) 用上述方法求解可得 y(x,C1) ，于是再积分可得 y( x,C1 )dx C217. yf ( y, y )型高阶微分方程求解： 可令 y p(y)，则 ydy dp dp dydpdy dxdxdx dx于是 yf (y, y')变为 p dp f (y, p) 求得通解为 p dy(y,C1)即 dx(y,C1) ，分离变dy量积分得 (y,C1) x C2 。pyqyp，q 为常 数) 即(D2pD q)y 0(D 为微分算子)，可得特征方程为 r1,2p p2 4q ，分三种情

26、况2a)2当 p2 4q 0 解为 y C1er1x C2e r2 xb)2当 p 4q 0 解为 y (C1rxC2x)e rxc)2当 p2 4q 0 ，特征方程有一队共轭复根xy e (C1 cos x C2 sinx)18.二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 解 法 ： yr12 rpr0 ，特征方程的两个根i ，则通解为19.二阶线性非齐次线性方程的解法 :一般形式 y py qy f (x)(p、q 为常数)f(x)x是 m 次多项式1.不是对应的齐次方程的特征方程的根，pm(x)e x ，p(x)则*x y* Qm (x)e x2.是单根，则对应的特解为* y*x

27、Qm(x)e x3.是重根，则对应的特解为* y*x2Qm ( x)e xf(x)e xPl(x)cos xPn sin x* y*xke x Rm(1) cos xRm(2) sinx ，其中Rm(1) (x), Rm(2) 是系数待定的 m 次多项式，mmaxl,n 而 k 按i 不是或是特征方程的根分别取 0 或 1.20.多元函数微分： z f(x,y) 在点 ( x0 , y0 )处的全微分 dz A(x0,y0)dx B(x0,y0)dy ，其中 A(x0,y0)zx |(x0,y0)， B(x0,y0)yz |(x0,y0)。21.F(x,y) 0，可由 dydxFx 求得导函数

28、，对于 F(x,y,z) 0偏导数可由 z FyxFxFy 求得。Fz22.空间曲线 L 的参数方程L:x x(t), y y(t),z z(t),a t b;曲线上一点 M (x0,y0,z0) ，则向量 s(x'(t0),y'(t0),z'(t0) 就是曲线L 在点 M 处切线的方向向量，也称为切向量，于是在M 点的切线方程为x x0x'(t0)y y0y'(t0)z z0z'(t0)法平面方程为 x' (t0 )( x x0) y'(t0)(y y0) z'(t0)(z z0) 0。23.空间曲线由两平面方程确定 F

29、(x, y,z) 0 ，则可确定曲线 L： y y(x) 于是在点G( x, y, z) 0 z z(x)24.方向导数 : 设函数 zM0处的切向量为 s (1,y(x),z(x)|M0 。f (x,y) 在点 p(x0,y0)处可微，则函数在此点处存在沿任一方向的l的方向导数，则方向导数dfdldfdf( cos cos ) |( x0 ,y0 ) ，其中 cos ,cos 为l 方向上 dxdy0 0(x0 ,y0 )的方向余弦。25.梯度： gradfixj ，它是一个向量，可将二元函数 yf (x,y) 沿任一方向 l 的方向导数写成向量内积的形式：gradf gl o gradf

30、cos ，是 lo与 grad f 之间的夹角。方向导数的最大值为gradf ( fx) ( fy) ，当 0 ，即l 的方向就是 gradf 的方向时， f 最大，也就是沿着梯度方向，函数的变化率最大，函数值增长最快。 l时， l 取负梯度方向 -grad f 时， 方向导数达到最小值 gradf ( f )2 ( f )2 也就是沿负梯度 xy方向函数值减少最快。26.极值的充分条件：设函数f (x,y) 在点 (x0,y0) 额某一邻域内具有二阶连续偏导数且有fx(x0,y0) 0, fy(x0,y0) 0，令 fxx(x0,y0) A, fxy(x0,y0 )fyx(x0, y0) B

31、, fyy(x0, y0) C ，函数在点 (x0,y0) 的黑塞矩阵为：Hf (x0,y0)fxxfyxyy(x0 ,y0 )ABBC(x0 ,y0 )1)若 ACB22)若 ACB23)若 ACB2，则有一下结论：0,A 0,则Hf 为正定矩阵，故 f(x0,y0) 为极小值。0,A 0,则Hf 为负定矩阵，故 f (x0, y0)为极大值。0,则Hf 为不定矩阵，故 f (x0, y0)为不是极值。27.有界区域上的最大值与最小值：求出f (x, y) 在 D 内所有的驻点和驻点处的函数值，求f(x,y) 在出 f (x,y) 在边界上的最大(小)值，对比上面求出的函数值，其中最大的就是

32、D 上的最大值，最小的就是最小值。28.条 件 极 值 和 拉 格 朗 日 数 乘 法 ： u f (x1,x2,., xn) 在 m 个 条 件i ( x1, x2 ,., xn) 0(i 1,2,., n)下的极值。求解步骤如下：a) 构造拉格朗日函数： F(x,y,z, 1, 2) f (x,y,z) 1 1(x,y,z) 2 2(x,y,z)b) 对 F 求 x, y,z, 1, 2 的偏导数并令其为零，即Fx 0Fy 0Fz 0F 11(x,y,z) 0F 22 (x,y,z) 0c) 求解 (x0,y0,z0), 1, 2。d)根据问题性质判断 (x0, y0,z0) 是否为极值点

33、。29.二重积分的计算，熟悉 x 型 y 型积分区域的计算，以及改变积分顺序。30.极坐标 x r cos 则 d rdrd y r sin，那么f (x,y)df (r cos ,r sin )rdrd ， D使用时注意积分上下限的变换。31.柱 坐 标 下 的 极 坐 标 变换：r cos r sin， dV rdrd dz 那 么f (x, y, z)dV Vf (r cosV,rsin)rdrddz。32.球坐标下计算三重积分： 0,0,0sin cossin sin ，dV2 sincos则球坐标下三种积分的计算公式为：f(x,y,z)dVVf( sin cos2sin sin ,

34、cos ) sin d d d33.曲线的弧长：曲线 L ： yy(x),( a x b) 弧微分 ds 1 y'(x)dx ，则曲线弧段的长为 s 1 y'2(x)dx； 曲 线参数方程 x x(t),y y(t),( t )， 弧微元 为dsx'2(t) y'2(t)dt ， sx'2(t)'2y'2(t)dt理，三元函数有dsx'2 (t) y'2 (t) z'2 (t)dt 。'2平面曲线由x r( )cosy r( )sin 确 定 ， 则x'2( ) y'2( )dr 2( )

35、r'2( )d长度为 s'2r2 ( ) r'2 ( )d 。34.第一类曲线积分的计算：设函数 f(x,y) 平面弧线L 上 连续， L 的参数方程 为yx xy(tt)( t )，则L f(x,y)ds fx(t),y(t) x'2(t) y'2(t)dt()。35.曲面 S的方程为 z z(x,y)在 xoy上的投影为 Dxy ，函数 z z(x,y)在 Dxy上具有连续的偏导数，则 S为光滑曲面，则 sD xy( z)2x( z)2dxdy ，同理在 yoz面上的投影为 Dyz ， y则有sDyzx2 x 21 ( )2 ( )2dzdyzy，在

36、zox 上 的 投 影 为 Dzx ， 则 有sDzx( y)2 ( y ) 2 dxdz 。 zx36.第一类曲面积分的计算 :设函数 f (x,y,z)在曲面 S上连续， S的方程为 z z(x,y)，S在xoy面上的投影区域为 Dxy ，函数 z z(x,y)在 Dxy上具有一阶连续偏导数，则：22D xyf(x,y,z)dS fx,y,z(x,y) 1 zx(x,y) zy(x, y)dxdy。 S37.第二类曲线积分：uv vP(x, y)dx Q(x,y)dy F(x,y)dsLLPx(t), y(t)x(t) Qx(t),y(t)y (t)dtLL38.对于 y y(x) 计算公

37、式可为Q x, y( x) y '( x) dt 。应用质点沿着曲线 L运动，bP(x, y)dx Q(x,y)dy Px, y(x) Luv uv uv uv在场力 F(x,y,z) P(x,y,z)i Q(x,y,z)j R(x,y,z)k 的作用下所做的功为W F(x,y,z)ds P(x,y,z)dx Q(x, y, z)dy R( x, y, z)dz 。uv uuv39. 第 二 类 曲 面 积 分 ： 曲 面 S ， 曲 面 面 积 微 元 向 量 dS n0ds ， uv uv uv uvF(x,y,z) P(x,y,z)i Q(x,y,z)j R(x,y,z)k 则：

38、uv uvF(x,y,z)dSP(x, y, z) dydz Q( x, y,z)dxdz R( x, y, z) dxdy 。SS40. 第二类曲面积分的计算分面投影法：将P( x, y, z)dydz Q(x,y,z)dxdz R(x, y, z) dxdy的三项分别化在坐标平面Syoz, zox, xoy上的二重积分， 其中函数 P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在 S上连续，求解步 骤：1)将被积函数 R(x,y,z) 中的变量 z换为表示曲面的函数 z z(x, y)确定正负号，曲面 S 取上侧，即单位法向量n0与 z 轴的正向夹角为锐角，则取正号，若曲面 S 取下

39、侧，即单位法向量n0 与 z 轴的正向夹角为钝角，则取负号。2)对函数Rx,y,z(x,y) 在曲面S的投影区域Dxy 上计算二重积分。3)同理：R( x, y, z)dxdyRx, y,z(x,y)dxdyDxyP(x,y,z)dydzP x( y, z), y, zdydz DyzQ(x, y,z)dzdxQx,y(x,z),zdzdx。Dzx41. 第二类曲面积分的计算合一投影法：将第二类曲面积分P( x, y,z)dydz Q(x, y, z) dxdz R( x, y , z)dxdy中的三项都化为某一坐标平面上的S二重积分。计算步骤：1. 计算法向量 n 并确定正负号，若曲面 S

40、取上侧，即法向量 n 与 z 轴的正向夹角为锐 角时，则取正号； 若曲面 S取下侧，即单位法向量 n与 z轴的正向夹角为钝角时，则 取负号。2.将被积函数 F(x,y,z) 中的变量在 z换为表示曲面的函数 z(x,y)，并与向量 n或 n做点积。3.对点积 Fgn或 Fg( n)在曲面 S的投影区域 Dxy上计算二重积分。n ( zx, zy ,1)F(x, y,z)dS sFx,y,z(x,y)g n(x,y)dxdy DxyF(x,y,z)dSs( yx,1, yz)同理，投影到其他平面上有：Fx,y(z,x),zg n( z, x ) dxdz ， n DzxF(x,y,z)dS Fx

41、(y,z),y,zg n(y,z)dydz， n (1, xy, xz) sDzx42.微积分基本定理的推广：格林公式：设 D 是由分段光滑的曲线 L 围成 的平面单连通区域，函数 P(x, y),Q(x,y)在1. ( DQ xP)dxdy y? PdxQdyD 上具有一阶连续偏导。则有 1 式。其中 LQP? PdxQdy是 D 的取正向的边界曲线。(2. Dx)dxdy y设 D 是由分段光滑的曲线 L1与 L2围成的平?LL2PdxQdy面复联通区域， 函数 P(x,y),Q(x,y)在 D上具有一阶连续偏导数，则有 2 式。其中 L1 是D 的取正方向的外边界曲线， L2 是 D 的

42、取正向的内边界的曲线。高斯公式：设空间区域 V 是由分片光滑的闭(PQRPdydzQdxdz曲 面 S 所 围 成 ， 函 数)dVRdxdyVxyzSP(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 在 V 上具有一阶连续偏导数则有右式成立，其中 S 是 V 的边界曲面的外侧。斯托克斯公式：设 L 为分段光滑的空间有向RQPRQP闭曲线， S 为以 L 为边界额分片光滑的有向(R Syz)dydz (z)dzdx x(Qx)dxdy y曲面，函数 P(x,y,z),Q(x, y, z), R( x, y, z)?Pdx Qdy RdzL在包含曲面 S 在内的一个空间区域内有一阶连续偏导数

43、，则有右式成立，其中， L 的方 向与 S 的侧符合右手规则，即用右手四指表 示 L 的方向，大拇指的防线与曲面 S 的侧同 向。通常写为：?Pdx Qdy RdzLdydzSxPcosSxPdxdz dxdyzQR cos cosQyRz dSQR43.曲线积分与路径的无关性：a) 设D 为平面上的单连通区域， 函数 P(x,y),Q(x,y) 在 D上具有一阶连续偏导数，则以下四个命题等价：i. 对于 D 内任一分段光滑的简单闭曲线 L 有：?P(x,y)dx Q(x,y)dy 0Lii.曲线积分 ?P(x,y)dx Q(x,y)dy的值在 D 内与路径无关。iii.被积表达式 P(x,y

44、)dx Q(x,y)dy 在 D内是某个二元函数 u(x,y) 的全微分，即du P(x,y)dx Q(x, y)dyiv.在 D 内每一点都满足b)设 G为空间一维单连通区域，函数 P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)，在 G 内有一阶 连续偏导，则以下四个命题等价：i.对于 G 内的任一分段光滑的简单闭曲线L，有?Pdx Qdy Rdz 0Lii.曲线积分 ?Pdx Qdy Rdz 的值在 G 内与路径无关。Liii.被积表达式 Pdx Qdy Rdz在G 内是某个三元函数 u(x,y,z) 的全微分，即du Pdx Qdy RdzijkxyzPQRiv 。在 G 内每一点

45、满足(x,y,z)( x0 ,y0 ,z0 )0，即满 RQ, P R, QP ，yz zx xy称函数 u(x, y,z)Pdx Qdy Rdz ，其积分路径可选取平行于xu(x, y, z) x P(x,y0,z0)dx 坐标轴的折线，则x0yQ(x,y,z0 )dy y0zR(x, y, z)dzz044.全微分方程： du(x,y) P(x,y)dxQ(x, y)dy ，求解方法：先积 x，将 y 看做 x 的常数函数，或者使用积分路径无关性来求解。45.场 论 初 步 个与时间无关 的 向 量 场可以用一个向量值函数A(x,y,z) P(x,y,z)i Q(x, y,z) jR(x,

46、y,z)k ， 那么 函 数 u(x,y,z) 的 梯 度Gradu uixu j uk ，它也是一个向量场，也称为 yz梯度场 。46.通量与散度：给定向量场 A(x, y, z) P(x,y,z)i Q(x,y,z) j R( x, y, z)k ，S为场内某有向曲面，上值顶一侧的单位法向量为n ，向量场 A 沿曲面 S 的第二类曲面积分，A dS的闭曲面，n0为外法向量，V为 S 所包围的空 间区域，由高斯公 式A dSSn0dSòPdydzSQdzdx RdxdyVQ R)dV yzPQxy称为 A(x,y,z)的散度，记divA P QxyR于是高 斯公式可以写成 z称为向

47、量场 A 通过有向曲面 S 制定一侧的通量。如果 S 是一分片光 n0dS如下的向量形式：divAdVVòA dSS47. 级 数unn1的部分和数列 Sn ，有极限 S，即 lnim Sn S，则称级数un收敛并称n1S为级数un 的和， 记做： Sun ，如果部分和数列 Sn 没有级数， 则称级数un 发n 1 n 1 n1散。48.常数项级数的性质：若un 收敛，收敛值n1S 若 un 和 vn 收敛，且收敛值分别为和n 1 n 1S，则：kun 收敛，收敛值为 kS。n1S则， unvn 收敛，其和为。另n1 n 1外在级数的前面部分去掉或者加上有限项，不改变级数的敛散性，

48、然而在级数收敛的条件下，n1级数的和一般要改变。49.级数收敛的必要条件：设级数unn1收敛，则 lnim un 0 。un 050.正项级数的判敛法： 若 n 则称级数un u1 u2n1un .是正项级数。 设unn1是正项级数则级数 un 收敛的充分必要条件为它的部分和数列Snn1有界。un1)比较判敛法 :正项级数un 和vn 且有 nn1 n 1vnn ，则有结论：1.如果级数un 发散则1n1n1级数 vn 发散。 2.如果级数vn 收敛，则级数un 收敛。n1正项级数un 和n1vn，如果 lnim uvnn l,(0) ，则级数un1和vnn1同时收敛或者发散。2)比值判敛法：设级数正项级数unn1是正项级数，如果limnun 1un(0) 则当1时级数正项级数un 收敛；当1时，级数发散；当1时，级数可能收敛也可能发散。3)根值判敛法： 设级数un 是正项级数， 如果 lnim un(0n1) ，则当1 时1级数 un 收敛，当时，级数发散。当n11时级数可能发散也可能收敛。级数。莱布尼茨判别法：若交错级数 ( 1)n 1un 满足如下条件(1).un un 1(n 1,2,3.) ； n150.交错级数的判敛法： 设un 0(n 0,1,2.)则称级数( 1)n 1un 或者 ( 1)nun是交