三年高考2015-2017高考数学试题分项版解析专题06导数的几何意义理

1、专题06导数的几何意义1.12016高考山东理数】若函数 y = f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y = f (x)具有T性质.下列函数中具有 T性质的是()x.3(A) y=sinx(B) y=lnx(C) y =e(D) y=x【答案】A【解析】试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函 数值的乘积为负一.当y =sin x时，y' = cosx ,有cos0 cosn =-1 ,所以在函数 y =sin x图象存在两点x =0,x =冗使条件成立，故 A正确；函数y = ln x, y =ex,y =

2、x3的导数值均非负，不符合题意，故选A.考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.K名师点.晴】本IS主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位覆关系，本题给出常见的三角函数、 指数的数、对数邺8、幕函数，突出了高者命题注重基觥的摩则.解答本题，关毯在于将直线的位置关系马 直线的斜率.切点处的导射值相融系，使问俄加以转化，利用特殊彳上思想解题,隆低难度本题能梗好的考 克考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等. -ln x.0 : x ： 12.【2016年高考四川理数】设直线 1i,匕分别是函数f(x)= n ,图象上点R,ln x, x 1,P2处的切线，11与

3、12垂直相交于点 P,且11, 12分别与y轴相交于点A, B则4 PAB的面积的 取值范围是()(A)(0,1)(B) (0,2) (Q (0,+ 8)(D) (1,+ 8)【答案】A【解析】试题分析：设P(x1 ,lnx1 ), F2(x2 , lnx2 )(不妨设x1 > 1 , 0 < x2 < 1),则由导数的几何意11义勿信切线11 , 12的斜率分别为k1 = , k2 = -.由已知得Xix211k1k2 = -1，, x1x2 =1,二 x2 = .二切线的方程分力1J为 y - ln x1 = 一 (x - x1 ),切线 l2 的方程1为 y In x2

4、 = - xX2一1-x2 ),即 y In x1 = x1 x -一1kx1.分别令x = 0得A(0, 1+lnx1 ), B(0,1 +lnx1 %又与 l2的交点为2x12J +x),In x1d 2、1 -x1721x12c 12x11 x1故选A.，S8AB = 21yA - yB 'xp I = 12 12 =1，0 < SAB < 121 x11 x1考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，算;欠考查最值间题，解题时可设出切点坐标，利用切h垂直 求出这两点的关系，同时得

5、出切线方程，从而得点/上坐标，由两直线相交得出P点、坐标，从而求得面积, 题中把面积用均表示后,可得它的取值范围,解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论.这也 期11们!跺问题的一利些本方法，朴实而基础,简单而实用.3.12016高考新课标3理数】已知f(x)为偶函数，当x<0时，f (x) = ln(x)+3x ,则曲线y = f x在点(1,-3)处的切线方程是 .【答案】y -2x -1【解析】试题分析：当x > 0时，x < 0 ,则f (一 x) = ln x - 3x.又因为f (x)为偶函数，所以一 .1 .f (x) = f (x) =lnx3x，所以

6、f (x) = - -3,则切线斜率为 f (1)=一2 ,所以切线方程为 xy +3 = -2(x-1),即 y = 2x1 .考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义.【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当 x>0时，函数y= f(x),则当x<0时，求函数的 解析式”.有如下结论：若函数 f(x)为偶函数，则当x父0时，函数的解析式为 y = -f(x)； 若f(x)为奇函数，则函数的解析式为 y = -f(-x).4.12014广东理10】曲线y=e,x+2在点(0,3%的切线方程为 .【答案】y = 5x +3或 5x +y 3=0.【解析】. y' =

7、-5e"x,所求切线的斜率为 y = -5e = -5 ,故所求切线的方程为 y3 = 5x,即y =-5x+3或5x+y 3=0.【考点定位】本题考查利用导数求函数图象的切线问题，属于容易题【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和直线的方程，属于容易题.解题时一定要抓 住重要字眼“在点(0,3 )处”，否则很容易出现错误.解导数的几何意义问题时一定要抓住切点 的三重作用：切点在曲线上；切点在切线上；切点处的导数值等于切线的斜率.2 b . _5.12014江办理11】在平面直角坐标系 xoy中，右曲线y = ax + ( a,b为常数)过点P(2,-5), x且该曲线在点 P处

8、的切线与直线7x + 2y + 3 = 0平行，则a + b=.【答案】-32 bbb【斛析】曲线y =ax +过点P(2, -5),则4a + = 一5，又y = 2ax ,所以 x2x.b 7 -一 a =4a =，由解得W 所以a + b = 3.42b = -2,【考点定位】导数与切线斜率.【名师点睛】导数的几何意义是捂年高考的重点，求解时应把握导致的几何意义是切息处切线的斜率，利 用这一点可以解决有美导数的几何意义等问题*归纳起来常见的命题角度有：1求切线方程*2求切点坐标.3求参数的值.6.12017 山东，理 20】已知函数 f (x )=x2 +2cosx , g (x )=e

9、x (cosx-sin x+2x-2 ),其中e =2.71828巾是自然对数的底数.(I)求曲线 y = f(x卢点(4f(n )四的切线方程；(n)令h(x )=g x M x( aj R),讨论h(x )的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】(I) y=2nxr2-2.(n)综上所述：当 aW0时，h(x)在(q,0)上单调递减，在(0,收)上单调递增，函数h(x府极小值，极小值是 h(0 )=-2a -1 ;当0<a<1时，函数h(x梃(-,ln a却(0,ln a却(0,七0)上单调递增，在(ln a,0 )上单调递减，函数h(x而极大值，也有极小值，极大值是

10、 h ln a = -a |ln2 a -2ln a sin ln acos ln a 2极小值是h(0)=-2a-1;当a =1时，函数h(xg,拈c)上单调递增，无极值；当a >1时，函数h(x港(-oo,0)和(ln a, -He )±单调递增，在(0,ln a)±单调递减，函数h(x)有极大值，也有极小值，极大值是h(0 )=Na -1 ;极小值是 h ln a =白.ln2 a-2ln a sin ln acos ln a2 .【解析】试题分析：(I )求导数得斜率 (兀)=2几，由点斜式写出直线方程.(11 )Afjr) -r'(cosx - si

11、n2jc 2)cfx3 4-2cosx) f求导致得到为"3由于/的正负与0的取值有关，故可令府(工)工-411、逋过 应用导额研究乩(工)在其上的里调性，明确其正负'然后分以下情况讨论可工)极值情况：当时。)当 >0 时*试题解析：(I )由题意f (n )=n2 -2又 f '(x )=2x 2sin x ,所以f (人尸2见，因此 曲线y = f (x W点(工f (n )班的切线方程为2y (n2 )=2元(x n),即 y=2：x-M2.(n)由题意得 h(x) =ex(cosx-sin x+2x 2)a(x2+2cos x),因为 h x =ex c

12、osx -sin x 2x -2 厂ex：；：-sin x -cosx 2)-a 2x -2sin x=2ex (x -sin x)_2a(x sin x ) = 2(ex -a * -sinx),令m(x )=x _sin x则m，(x )=1 _cosx至0所以m(xmR上单调递增.因为m(0) = 0,所以 当 x>0 时，m(x) >0,当 x <0时，m(x)<0当 aE0 时，exa>0 当 x<0 时，hx)<0 , h(x 洋调递减，当 x>0 时，h1x)>0, h(x)单调递增，所以 当x =0时h(x )取得极小值，极

13、小值是h(0 ) = 2a -1 ;(2)当 a：>0时，h'(x )=2(ex elna *x sinx )由 h'(x) = 0 得 x=lna, x2=0当 0 <a <1 时，In a <0 ,当 x w(-0o,ln a )时，exelna <0"(x )>0 , h(x )单调递增；当 xw(lna,0 "，ex -ena >0,hx )<0 , h(x)单调递减；当 x(0,依)时,ex -elna >0,h*(x)>0 , h(x )单调递增.所以 当x =ln a时h(x )取得极

14、大值.极大值为a + 珞2 ?当工0时M工)取到极小值，极小值是A(0)-2fl-lj当 4 IB寸？ In d v o t所以当工«收)时，始之o,为数M工)在(一例)上单调递地，无捌前当a >1时，ln a >0所以当 xW(-«,0)时，exelna<0, h'(x)>0,h(x )单调递增；当 x10,lna 对，exelna<0, h'(x )<0,h(x )单调递减；当 xw(lna,F)时，ex_elna>0, h1r(x )>0,h(x )单调递增;所以 当x=0时h(x)取得极大值，极大值是

15、h(0)=Na1;当x =ln a时h (x声(得极小值.极小值是综上所述:-2ln a sin In a cos Ina ;： 2 .当aW0时，h(x声(-0o,0 )上单调递减，在(0,七c)上单调递增,酗有横小值，极小值是当。4时，的数疗在(*刘。)和(强)和色*2)上里调递显 在8/o)上星调递漏，的敷帅)有极大值，也有极小值，极大值是匕(】强卜-a】nJ-llna + u(hid)+cos(lfifl)-«- 2粮小值是右(0)=U-1 >当a=1时，函数h(x施(心,收)上单调递增，无极值；当a >1时，函数h(x堆(q,0 )和(lna,依 比单调递增，在

16、(0,ln a )±单调递减，函数h(x )有极大值，也有极小值，极大值是h(0)=-2a-1;极小值是 h ln a - -a |ln2 a -2ln a sin In a r cos Ina 2 .【考点】1.导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值 .3.分类讨论思想.【名师点酷】1将射在点处的导数，5)的几何意义是理戈产/在点取，曲处的切线的斜率.相 应地，切名昉程为 共可国2-孙 注意:求雄翎绑寸，要分清在点尸处的锲总过点.尸的切线的不同.2-本题王要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本颠覆选面广，对考 生计算能力要求较高，是一道难

17、题,解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错盘是分类讨 论不全面、不彻底，不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出本题筋较好的考查考生的逻瑁思维能 力、基本计算能力、分类讨论思想等一7.12017北京，理19】已知函数f (x) =excosxx.(I)求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程；.一一,.、TT -一一.一一一 一(n)求函数f(x)在区间0,上的最大值和最小值.JT【答案】(I ) y =1 ； ( n)最大值1;最小值二.2【解析】试题分析：(I)根据导数的几何意义，求斜率再代入切线方程公式y-f (0)= f'(0；(x-0)；(n)设h(

18、x)= f '(x ),求h'(x),根据h'(x)<0确定函数h(x)的单调性，根据单调减求函数的最大值h(0)=0,可以知道h(x)=f'(x)M0恒成立，所以函数 f(x )是单调递减函数，根据单调性求最值.试题解析：(I)因为 f (x) =excosxx ,所以 f'(x) =ex(cosxsin x)-1, f'(0) =0 .又因为f (0) =1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y=1.(n )设 h(x) =ex(cosx -sin x) -1 ,则 h '(x) =ex(cosx -sin

19、x - sin x-cosx) = -2exsin x .当 xW(0,)时，h(x) <0, 2 TT所以h(x)在区间0,-上单调递减.2所以对任意 xW(0,-有4*)<卜(0) =0,即 f'(x)<0. 2-.、.TT所以函数f (x)在区间0,-上单调递减.2因此f (x)在区间0,-上的最大值为f (0) = 1 ,最小值为f (工)=-.222【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为f'(x )不能判断函数的单调性，所以需要再求一次

20、导数，设h(x)=f'(x),再求hx), 一般这时就可求得函数 h'(x)的零点，或是h'(x X亘成立，这样就能知道函数 h(x)的单调性，根据单调性求最值，从而判断 y= f(x)的单调性，求得最值.8.【2016年高考北京理数】(本小题13分)设函数f(x)=xea'+bx,曲线y=f(x)在点(2, f (2)处的切线方程为y = (e 1)x + 4,(1)求，的值；(2)求f (x)的单调区间.【答案】(I) a=2, b=e； (2) f (x)的单调递增区间为 S*) .【解析】试题分析ED根据题意求出了'(力，根据/(2) = %+2

21、,八2)="1,求n, 8的值手由题意知为惭八力浮岸蜥双冷=1-工+产1的单调性，知仪工)>0,即八力>0,由此求得了3的单调区间.试题解析：(1)因为 f (x) =xea'+bx ,所以 f'(x) =(1x)eaj + b.依题设,'f =2e+2；2ea'+2b = 2e + 2,、f (2)=e-1,、 -ea +b=e-1,解得 a =2,b =e. (2)由(I)知 f (x) =xe2/ +ex.由 f (x) =e2"(1 x+ex)即 e2'A0 知，f'(x)与 1 x+ex同号.令 g(x)

22、 =1 x +ex二，则 g '(x) = -1 +ex.所以，当xW(°o,1)时，g'(x)<0, g(x)在区间(一笛,1)上单调递减;当xW(1,依c)时，g'(x)>0, g(x)在区间(1,y)上单调递增.故g=1是g(x)在区间(-°°,依)上的最小值，从而 g(x) 0,x (y 二).综上可知，f'(x)A0, xW (，收)，故f(x)的单调递增区间为(-«,口).考点：导数的应用.【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内, 通过讨论导数的符号，来判

23、断函数的单调区间.在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点.9.12014福建，理20(本小题满分14分)已知函数f(x)=ex_ax (为常数)的图象与 y轴交于点A ,曲线y=f(x)在点A处 的切线斜率为-1.(I)求的值及函数 f (x )的极值；(II )证明：当 x >0时，x2 cex ;(III )证明：对任意给定的正数，总存在x0,使得当xw(x0, +),恒有x2 <cex.【答案】(I) a =2,极值参考解析；(II )参考解析；(III )参考解析【解析】试题分析： 由函数f(x) = exax (为常数)的图象与

24、 y轴交于点A,曲线y= f(x)在点A处的切线斜率为-1.所以求函数f(x)的导数，即可求出的值.再根据函数f(x)的导数地正负，即可得函数f(x)的极值.<U>当时,恒成立.等价存换为函数的最值问匾令乐力=，一/通过求的数虱#>的导致求 出最值即可得到结论.<ni)对任意给定的正数一总存在出,使得当，e Go.十)，恒有V“工,由(id得到困数的单调性 当。之1时却可找到! :0符合题意.当。< c < 1时通过等价转化，等价于不等式恒成立问题，再对通过估算 得到&的值即可得到结论.试题解析：解法一 ：(I)由 f (x) =ex ax ,得 f

25、 '(x) =ex a .又 f '(0) =1 -a = -1，得 a = 2.所以 f (x) =ex -2x, f '(x) =ex -2 .令 f '(x) = 0，得 x = In 2 .当 x < In 2 时，f '(x) <0, f (x)单调递减；当x >ln2时，f '(x) >0, f (x)单调递增.所以当x = ln 2时， f(x)取得极小值，且极小值为f(ln2) =eln2 21n 2=2 ln4, f(x)无极大值.(II )令 g(x) =ex x2，贝 U g'(x) = ex

26、 2x.由(I )得 g'(x) = f (x) f (1n2) X)，故 g(x)在R上单调递增，又 g(0) =1 >0,因此，当 x>0时，g(x)>g(0) >0,即 x2 <ex.(III )若 c 之1,则 ex <cex.又由(II)知，当 x>0 时，x2 <ex.所以当 x>0 时，x2<cex.取 x0 = 0，当 x w (x0,)时，恒有 x2 < cx2.9若0<c<1,令k = - >1,要使不等式x2 < cex成立，只要ex > kx2成立.而要使ex >

27、; kx2成 c2立，则只要 x >ln（kx ）,只要 x>2ln x + ln k 成立.令 h（x） = x2ln x In k ,则2 x-2h'（x）=1 =.所以当x>2时，h'（x） >0, h（x）在（2,十无）内单倜递增.取x xxo=16k>16,所以h（x）在（x。，）内单调递增.又h(x0) =16k -2ln(16k) -In k =8(k -In 2) +3(k -In k)+5k .易知 k a In k,k >ln 2,5k >0.所以 h（x。）>0 .即存在 x0 =,当 x w （x。，g）时

28、，恒有 x2 < cex. c综上，对任意给定的正数c,总存在 ,当x w （x0,十整）时，恒有x2 < cex.解法二：（I ）同解法（II ）同解法一.（III ）对任意给定的正数II ）知，当x>0时，ex>x2,所以x xx xx o o x 2 x 2x 55 x2 x2 4x212xxe =e e >(-)(一)，当 x>x0时，e =e e >(一) (一)>- (-) = x，因此，对任 2222 c 2 c意给定的正数，总存在x0,当xw (x0, e)时，恒有x2 <cex.解法三：（I ）同解法一.（II）同解法一（

29、）苜先证明当#E （0,蚀）时.恒有!? </证明如下令力=gX3 -。、则心外=/一/由。【）知,当XA0时，/<。工从而必"）<:<）,根力在（0,例）单调通港商以长0）以0）=-140.即；/4/取玉=2 .当天>不时而！ / V?因此对任意给定的正数c总存在%,当xE（”）城恒有CC 3注：对c的分类不同有不同的方式，只要解法正确，均相应给分考点：1.函数的极值.2.构建新函数证明不等式.3.开放f题.4.导数的综合应用.5.运算能力.6.分类讨论的数学思想.【名师点睛】本题把导数的几何意义、极值、不等式证明结合在一起考查，综合性强，难度大，后两

30、问涉及到不等式证明，利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点，解决此类问题的基本思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性和极值破解.10.12014高考重庆理第20题】（本小题满分12分，（I）小问4分，（II）小问3分，（出）2x2x已知函数f(x)=ae -be- cx(a,b,c w R)的导函数f (x)为偶函数，且曲线y= f (x)在点(0, f (0)处的切线的斜率为4-c.(i)确定a,b的值；(n)若c = 3,判断f(x)的单调性；(出)若f (x)有极值，求的取值范围.【答案】(I) a =1,b=1 ； (n)增函数；(出)(4,一 ).【解析】iS®分

31、析工(> S /(x) =be-lx -cx(jatc .R) /(x)=-c因为，(幻是睢数，所以又曲线y =在点(QJ(Q处的明戈的斜率为4-g所以有/，(0)=4-e,利用以上两条件列方程组可解的值j(n)由(i) , f'(x) = 2ex+2e-c,当c=3时，利用f'(x)的符号判断f(x)的单调性；(出)要使函数f(x)有极值，必须f'(x)有零点，由于2ex + 2e4之4,所以可以对的取值分类讨论，得到时满足条件的的取值范围.试题解析：解：(i)对 f (x )求导得 f'(x )=2ae2x+2bex-c,由 f'(x )为偶函

32、数，知 f'(-x)= f'(x),即 2(a -b Xe2x +e/x )=o ,因 e2x+e'x >0 ,所以 a=b又 f '(0)=2a+2bc,故 a=1,b=1.(n)当 c=3 时，f (x )=e2xe'x3x,那么f x =2e2x 2e'x -3一2、.2e2x e'x -3=1 0故f (x)在R上为增函数.(出)由(I)知 f'(x)=2e2x+2e”xc,而 2e2x +2e”x 之 2 J2e2x e1x = 4 ,当 x=0 时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当c <4时，对任意xw

33、R, f'(x)=2e2x+2ex-c>0 ,此时f(x)无极值；当 c=4时，对任意 x¥0, f'(x) = 2e2x+2e"x-4>0 ,此时 f(x)无极值；2 7T当c：>4时，令e =t 注意到方程2t十-c = 0有两根，t12 = > 0,t41 1即f (x )=0有两个根x1 = m%或*2 =lnt2.2 2当Xi <x <X2时，f '(x )<0 ；又当x>x时，f '( x)>0从而f (x )在x = X2处取得极小值综上，若f (x)有极值，则的取值范围为

34、(4,+oc).考点：1、导数的几何意义及导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想【名师点睛】本题考查利用导射求函数的的单调性、切线、函数的值域，等价转化，琮含性强，属于较难 覆 第二间，需用基本不等式判断导数的符号，再利用导嬖研究酬的单调性即可,第三问，要注意分类 计论，要求学生育较强的推理能力,时算彻.f x =ln11.12015北京理18】(本小题13分)已知函数(i)求曲线y = f (x声点(0, f(0力处的切线方程;(n)求证：当 x(0 , 1 )时,f (x)>2 x+ f;'I 3J(m)设实数使得对x(0, 1 )恒成立，求的最大值.17【答案】(i

35、) 2x -y =0, (n)证明见解析，(出)的最大值为 2.【解析】试题分析：利用导数的几何意义， 求出函数在x = 0处的函数值及导数值， 再用直线方程的点3斜式写出直线方程；第二步要证明不等式f(x)>2,x+' |在xW(0, 1)成立，可用作差法构造1 x x 函数F(x) = In2；x + )，利用导数研究函数 F(x)在区间(0, 1)上的单调性，1 - x3k作讨论，首先k乏0,2符合题由于F(x) > 0, F(x)在(0, 1)上为增函数，则F(x) > F(0) = 0,问题得证；第三步与第二步方法类似，构造函数研究函数单调性，但需要对参数意

36、，其次当k > 2时，不满足题意舍去，得出的最大值为2.2 一 一 一 一Ff(0) = 2,f(0) = 0'一.、.1 x试题解析：(I) f (x) = In , x 匚(-1,1), f (x)1 一 x3x+ )> 0 ,对 Vx u (01) 3曲线y =f (x底点(0, f (0 )处的切线方程为2x - y = 0 ；(n)当 xw(0, 1)时,33,f (x)>2 x+:即不等式 f(x) 4x I 31 x成立，设 F(x) = ln - 2(x1 xx3x3+ )=ln(1 + x) _ ln(1 - x) -2(x + ),则33F(x)

37、> 0,故F(x)在(0,1)上为增函数，则2xr cF (x) = 2 ,当 xw(0, 1)时,1 _ x3_.xF(x) > F(0) = 0,因此对 yx e (0,1) , f(x) > 2：x 十一)成立;3(111)使义工)>工+1)成立，工近0,1),等价于产A) = In旨彳+y) > 0,Mx) = -+ jt3)=1- x31 - -当k w 0,2时，F(x)至0,函数在(0, 1)上位增函数，F(x) > F(0) = 0,符合题意;/ k - 2当 k >2时令 F(x)=0，x。二”1)'x(0, x°)

38、x0(Xo,1)F(x)-0+F(x)n极小值F(x) < F(0),显然不成立，综上所述可知：的最大值为2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.【名师点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数性质问题，本题第一步为基础，第二、三步属于中等略偏难问题，首先利用导数的几何意义求出切线斜率和切点坐标，写出切线方程，其次用作差法构造函数，利用导数研究函数的单调性，证明不等式，最后一步对参数k进行分类讨论研究.12.12015课标1理21】(本小题满分12分)1已知函数 f (x) =x +ax+，g(x) = Tn x.4(I)当a为何值时

39、，x轴为曲线y = f(x)的切线；(n)用 min <m,n表示 m,n 中的最小值，设函数 h(x) = min( f (x),g(x)(x>0)，讨 论h (x)零点的个数.3.3 .5 .3 .5【答案】(i) a=；(n)当a >一一或a <一一时，h(x)由一个零点； 当2=一一或a=一一4444453时，h(x)有两个零点；当5<a<3时，h(x)有三个零点.44【解析】试题分析：(I)先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；(n)根据对数函数的图像与性质将分为x >1, x =1,0 < x <1研

40、究h(x)的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.试题解析：(I)设曲线 y=f(x)与轴相切于点(x0,0),则f(x0) = 0, f'(x0)=0,即a% 1=04,解得- 2-3x0 +a =03因此，当a=时，轴是曲线y=f(x)的切线.5分( II)当时，爪川= -1d工<0,从而以工> =向口/(力.飘冷献力<0,，林力在(b 3)无零点.当工二1时，若。之-则之0,=向ntf(。款= 故工=1是M泪蹲点北44若则/(D=o+?<0,双)=向乂7(1),乐故XX不是武力蹒点. 44当xe(0J)时，氟x) = -lnx>。，所以只需考虑

41、/6在(0U)的零点个数.(i )若a E3或a20,则f '(x)=3x2 +a在(0,1 )无零点，故f (x)在(0,1 )单调，而15f(0)= 一 , f (1) = a+一,所以当 aE3 时，f(x)在(0, 1)有一个零点；当 a 至0 时，f (x) 44在(0, 1)无零点.(五)若一3 < a < 0 ,则f (x)在(0, J-3 )单调递减，在(J3,1)单调递增，故当=-3时，f (x)取的最小值，最小值为a、 一 3右 f(J) >0，即 一<< 0, f (x)在(0,1 )无手点.，34若f (Ja) =0，即a = -3

42、 ,则f (x)在(0,1 )有唯一零点； 34a31553右 f(J) v 0,即 一3< a<- 一 ,由于 f (0) =一 , f (1) = a 十一，所以当 一一 < a < 一一 时,，3444445,f (x)在(0,1 )有两个零点；当 一3 <a W -一时，f (x)在(0,1 )有一个零点.10分 43 .5 .3 .5综上，当a >一一或a M-一时，h(x)由一个零点；当2 = -一或2 = -一时，h(x)有两个零点;4444.53当ca<时，h(x)有三个零点.12分44【考点定位】利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想r名师点睹】本题壬要考查函额的切线、利用导数姗究函数的图像与性质.利用图像明究分段为数的零点, 试题新颖对函数的切线问题，主要在某一点的切线与过某一点点的切线不同，在某点的切线该点是切点， 过某点的切该点不一定是切点,对过某点的建知何题，设切点，利用导数求切线，将已知点代入切线方 程j解出切案坐标，即可求出切线方程.13.12015天津理20(本小题满分14分)已知函数f(x) = nx - xn,xw R,其中nW N ,n ±2.(I