(精品)小学奥数1-2-2-1分数裂项.专项练习及答案解析

1、分数裂项计算1-2-2-1.分数裂项.题库教师版page 35 of 19用忙教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当 的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。且M匹 知识点拨分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分， 使拆分后的项可前后抵消， 这种拆项计算称为裂项法.裂项分为 分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或

2、多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算， 一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即,形式的，这里我们把较小的数写在a b前面，即a <b ,那么有 1 = 1 (1 _1) a b b-a a b(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 111, 1形式的，我们有：n (n 1) (n 2) n (n 1) (n 2) (n 3)11 r 11 n (n 1) (n 2)

3、2 n (n 1) (n 1)(n 2)11r 11=-n (n 1) (n 2) (n 3) 3 n (n 1) (n 2) (n 1) (n 2) (n 3)裂差型裂项的三大关键特征：(1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是 x(x为任意自然数)的, 但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。(2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”(3)分母上几个因数间的差是一个定值。、“裂和”型运算:22a b +常见的裂和型运算主要有以下两种形式:a b a b 11(1) =+=+ a b a b a b b a裂和型运算与裂差型运算的对

4、比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有 “两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。例题精讲例i 【题型】计算【考点】分数裂项【关键词】美国长岛，小学数学竞赛【解析】原式二提醒学生注意要乘以（分母差）分之一，如改为:+，计算过程就7 9要变为：1 3 3 5 5 7【巩固】10 11 11 12【考点】分数裂项59 60【难度】2星原式11、一 （而不11()11 12(59一) =一6010【题型】计算11160 1211210 9 9 8【考点】分数裂项111 1 IM 111原式=2 M 十一+ 十一十一 9 10 8 9【题型

5、】计算11 17一 二2一=43 1015例2 7151.1 1 2 12 3【考点】分数裂项1川山1 2 HI 100【难度】3星【题型】计算【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始,行等差数列求和运算公式的代入有1(11)12对分母进2=,1 21121 2 -(12) 2 2 32二2(1101200101=1幽101【答案】1_99101【例3】1 + 1 + 1+川+ =1 3 3 5 5 799 101【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算1015010111131111111【

6、解析】 十+ 十=一父(1 _ 一十一 _一十十一1 3 3 5 5 799 10123 3 599 101【巩固】计算：25M匚L+，+工+|+'一=1 3 3 5 5 723 25【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】迎春杯，初赛，六年级1111.11112524【解析】 原式=25父一父1十 十 +一 =25父一父1 =一父一=1223352325225225【答案】12【巩固】251251251. 2512514 8 8 12 12 162000 2004 2004 2008【考点】分数裂项【关键词】台湾，【解析】原式=12 31 .1 1.用12 3 3 4501

7、 502【难度】2星初赛【题型】计算251 501501 畿21二1516 5023232【答案】152132【巩固】计算：2 5【考点】分数裂项【解析】原式=112 5.卫.上.上二5 7 7 11 11 16 16 22 22 29 29【难度】3星【题型】计算1 11 工.工工工_15 7 7 11 11 16 16 22 22 29 2922【例4】计算：(1+1+1十1+1+1 +1 +1 )x128 = 8 24 48 80 120 168 224 288【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】101中学【解析】原式=(2 4 4 611-+4 411、+| +) X12

8、86 816 18111、一十 + ) X128616 182 18)64= 2849【巩固】428911+T6 12 20 30 42 56 72 90【题型】计算【考点】分数裂项【难度】2星【关键词】走美杯，初赛，六年级【解析】根据裂项性质进行拆分为:121203042111+ + +56 72 9011111一 +8 9 9 102 10 521111111 , 一 , , - - -3 6【考点】分数裂项【关键词】走美杯，10 15 21 28【题型】计算【难度】6星6年级，决赛原式=1 +HI12 3 4 5 6 7= 1-22 3-1811111 二2 I2 2 3 3 41=21

9、 ,8计算:11116 12【考点】分数裂项【关键词】走美杯,6年级,20 30【难度】决赛42 56 723星90【题型】计算【解析】原式=1-(2111 )7 8 8 9 9 101.(1_1 1.1 | 1,A)9 10101011111【巩 固】 + + + +10 40 88 154 238【考点】分数【解析】原二【难度】3星【题型】计算1-2 1-2 5X X.11111+十十2 55 88 1111 1414 171 11 111111-+ 一-+.-+14 一万5 58 811 1114_1 173434【例 51 计算： 十1一 +1一 +HI +11 3 5 3 5 7 5

10、 7 92001 2003 2005【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】华杯赛，总决赛，二试【解析】原式=1 + 111i'14 | 1 3 3 53 5 5 72001 2003 2003 20051. 1004003 41 3 2003 200512048045答案1004003口 12048045例6 7 4.5 0.16 1 1 ±131 -3.75 3.23 15 35363【考点】分数裂项【难度】【关键词】仁华学校7 9 16 -1X r "【解析】原式=18 290 K1133 1.25 4 0.833星【题型】计算1 . 1 1 11

11、3 3 5 5 7 7 97 .1=4 6111.1131T2 23 3 57 9346318 23二一一一一=一24429 3636【例7】 计算：11 +21+3工+4工+HI+20- 261220420【考点】分数裂项【难度】3星【关键词】小数报，初赛【题型】计算1【解析】原式=(1+2+3+IH+20 )+1-111 一 1+_ + +一 + | +6 12 2042011111= 210|卜1 22 33 44 520 2111111.1二 210，1 -2 2 3 3 4202120=210 1 - =210 21【答案】210 20212111111【巩固】计算：2008+200

12、9 +2010+2011 +2012= 1854108180270【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】学而思杯， 6年级，1试11111原式=2008 +2009+2010 42011 +2012 +3 6 6 9 9 12 12 15 15 1811111. 11=2010 591223565 二10050 -5410050554【巩固】计算：1+1+2+工_+土=。2 6 15 35 77【考点】分数裂项【难度】2星【关键词】学而思杯，6年级【解析】原式=1+。+二+金+” 261535771 . 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 122335577 11110=1 -

13、=11 11【题型】计算11【巩固】计算:11111113 15 35 63 99 143 195【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：3=221=1x3,2._.2._._15=42 _1 =3父5,195 =142 _1 =13父15 ,1111111所以原式=- - - - - -1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15J1.1.11一11一121 323 5213 151 117=X - I =2 1 15 -151511192997019899【巩固】计算：一+-+HI+=.26122030970299

14、00【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】四中【解析】原式二 1 -111 -111 - 1 "I 1 -126129900=99 - JH 1 -122399 1001 1 111=99-1-1 1仆 | -2 2 399 1001=99 - 1 -100二981100【巩固】计算:198 -100【例8】1+1+HI+1 2 3 2 3 47 8 9【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】首先分析出 1= +1)-(n T)_ J _1一一1一 1(n-1 尸 n x(n+1 ) 2(n-1 , n *n+1 ) 2 |_(n -1 n nM(n+1)原式 1

15、-1121 2 2 32 3 3 46 7 7 87 8 8 998 99 100【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算11111111【斛析】原式=M ( - + - + +-)21 2 2 3 2 3 3 4 3 498 99 99 1001 49494949-X=2 9900 198001,11=一 ( 一21 2 99 100【答案】494919800【巩固】计算： 十一1一+1一+111+1 135 246 35720 22 24【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解 析 原式= - + +1 3 53 5 719 21 23 2 4 620 22 24= 1(1-1)+1(

16、，-)4 1 321 234 2 422 2440 6528160 10465=+=十48321123400323400323862534003238625340032【巩固】4一+1 3 5 3 5 7+-4- 93 95 9795 97 99【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算97 99【解析】 =(1 -) +( -) +十(一1-1一)十(一1一1 3 3 53 5 5 793 95 95 9795 971132001 3 97 99 960332009603【巩固】9998 +川1-1 2 32 3 43 4 599 100 101【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】

17、99_ 100 -1 _100二-1001一1 2 31 2 31 2 32 31 2 32 398_ 100 -2_1002_10012 3 42 3 42 3 42 3 42 3 43 497_ 100 -3_1003_10013 4 53 4 53 4 53 4 53 4 54 51100 -991009999 100 10199 100 10199 100 10199 100 101110099 100 10111=100 -(22+-0_(，+，+ +1)99 100 1012 3 3 4100 101100 101原式二上以. 100. 1001 2 3 2 3 4 3 4 5，)

18、_(1_J=24包101002 10110110111111【例9】+1234 2345 34566789 789 10【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式=1父1 1- 1+ 1-1+川+- 1 I'3 123 234 234 345 ir 7 8 9 8 9 10111119=X I -31 2 3 8 9 10 2160【答案】2160【巩固】 分别加在一起进行裂项.后面的过程与前面的方法相同.+3+31 2 3 4 2 3 4 517 18 19 20【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式=3M1M(1_1+1_1+1-1)3 123 234 23

19、434517 18 19 18 19 20113 19 20 -1 11391 2 3 18 19 20 18 19 206840【答案】侬6840【例10 计算： 5+7+|十一19-1 2 3 2 3 48 9 10【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目.但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为 2.相比较于2, 4, 6, 这一公差为2的等差数列（该数列的第n个数恰好为n的2倍），原式中分子所成的 等差数列每一项都比其大 3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算.原式;-.3

20、2.川.381 2 3 2 3 48 9 10=31 -1-用 1 2 _1 2川 8-1 2 3 2 3 48 9 101 2 3 2 3 48 9 10=3 1 - 1 川 1 2 1 11 112122323348 9 9 102 3 3 49 102 9 1010/121=7_1 _1=23一项的2n +3 ,所以22 902 104 60 515也可以直接进行通项归纳.根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2n 323= I n n 1 n 2 n 1 n 2 n n 1 n 2【答案】2315【巩固】计算：1155 x( +III+ 17+-一)23434589 10 9 10

21、11【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】迎春杯，初赛，五年级【解析】本题的 重点在于计算括号内 的算式：5+7 十四+ 17+一19一 .这个算式不同于我们常见的分数裂2 3 4 3 4 58 9 10 9 10 11项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况.所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式.观察可知5=2+3, 7=3+4,即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所 以+川十1719+8 9 10 9 10 11III9 10 11J5川10 111 +9 11+ III +10 112 4 3 51=I 3

22、二1 一3112.1.!11_11_11 _111-110 1122 43 54 68 109 11=8128312 10 3 1133 25 33 -55所以原式=1155 3 =651 .55(法二)上面的方法是最直观的转化方法,但不是唯一的转化方法.由于分子成等差数列， 而等差数a与nd分开,列的通项公式为a+nd ,其中d为公差.如果能把分子变成这样的形式，再将 每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了.57 山192 3 4 3 4 58 9 10 9 10 111 2 2 1 3 2 川 18 219 22 3 4 3 4 58 9 10 9 10 11.W 1 . 8 2 1 .

23、 9 22 3 4 2 3 4 3 4 5 3 4 58 9 10 8 9 10 9 10 11 9 10 111 -1 .惘 1 1 -2 - 2 加 222 3 4 3 4 58 9 10 9 10 113 4 4 59 10 10 11=1 _J1-1- th 1_ 2： 1 一1 1|二22 334 34 459 10 10 113 4 4 510 11=1，一2122 3 10 113 11112234131_ ， ， -f- ， ，-，12220311422055所以原式=1155X31=651.55（法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的:57317192 3 4 3 4

24、5 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 3 4 5 610 11 12 13 11 12 13 14 8 9 10 9 10 11=5-7，一，22 3 3 423 4 4 5.吆，.翌二二28 9 9 1029 10 10 11, 7 5223T12惘登上229 10191x2 10 119 1019_x210 11_5_ J 1193112 3 10 220 -55所以原式=1155父31 =651 . 55（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳.先找每一项的通项公式:an9)2n 1(n =2 , 3, n(n 1)(n 2)如果将分子2n+1分成2n和1,就是

25、上面的法二；如果将分子分成n和n+1 ,就是上面 的法一.【答案】651【巩固】计算:3 4 5山12【考点】分数裂项1 2 4 5 2 3 5 6 3 4 6 7【难度】3星10 11 13 14【题型】计算【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是 积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数.即:5个连续自然数的乘原式=1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7+W +21210 11 12 13 14现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆， 考虑到每一项中分子、 分母的对称性，可以用平方差公式：32=1父5+4, 42=2父6+4, 5

26、2=3父7+4原式=3242521 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7+HI十12210 11 12 13山1 2345 2 3456 3 456710 14 410 11 12 13 14二2 3 4 3 4 5 4 5 6十川十111 12 1322 3 12 131 2 3 4 11 12 13 144_ 4_ 4_.川.412345 23456 3456710 11 12 13 141111111=1 : I 1 _ 111|卜-122 334 34 4511 12 12 13111111- 11 -11 | ,111111177 111T

27、= = 一12 2 12 13 24 11 12 13 148 11 12 13 148 2 11 141175一8 一308 -616616【例 11 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 2 +223 +2父3 Jm344M5 训+.9HlM10【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】原式=1+二-+ 2 2 3 2 3 42 -121二1 23-1+2 314 -1+2 3 411十+111 +2 3 4 510 -12 3 4Hl 102 3 4Hl 10一2 3 4 3628799+ 111 +2 3 4Hl 9 2 3 41| 9 102 3 4Hl 9 10 362

28、8800【答案3628799口 3628800【例12】【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】原1 一112 12 123 123123411 _11 2 1 2 1 2 3 4 5 6 71 50395040 504050395040计算:【考点】分数裂项【解析】原式为阶乘的形式, 开朗了.原式2399 二 .100!【难度】4星较难进行分析，【题型】计算但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然+111 +99123Hl 100 100 -1123Hl 10012 3Hl 99 1 2 3 III 10012 3Hl 1002 100!1100!【例13】1 (1 2) (1 2)

29、 (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4)+111 +50(1 2 3 |H 49) (1 2 | 50)【考点】分数裂项【难度】3星【解析】原式=2_ + _ +5 +【题型】计算50= （1）+ （13【答案】127412751 (1 2)【考点】分数裂项1 (1 2)6 1010 15+ 4-110) +1225 1275122512751275+(1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4)【难度】3星100100+“I+(1 2 b 99) (1 - 2 | 100)【题型】计算(1 2) (12 3)1 2 123,(1 2 TH 99) (1 2 IH

30、100)12 l|l 99 1 2 J|l 100原式二1 一1-1 5050答案50495049505050501 x (1 +2)(1 +2)X(1 +2+3)III10(1 2 3 惘 9) (12 3 J|l 10)【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】原式二1一（二-+3 13 3 66 10=1_ 11_1 1.13 3 6 6 10十”45 551 =1 1 -5555【答案】155【例14 22223 -1 5 -1 7 -1 9 -12211 -1 13 -1【考点】分数裂项【关键词】仁华学校【难度】3星【题型】计算【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：a2 _b2

31、 =(a _b)x(a+b),原式111111I I I 4 4 6 6 8 81口) ()()()10 1212 148 10110 121011214,11 、 13()2 142 143_14【巩固】计算:(1【难度】3星山 (1-482)【考点】分数裂项【题型】计算1111 3【解析】1=(1 )x(1 +-) x-,2222 2一 11、24二(1) (1)二3333所以,1324.485015025原式=| 一 _=22334949249492549【巩固】计算：_3_+_5_+_7_+|+_ 12233478【考点】分数裂项【难度】3星一222222_22【解析】原式二+川+84

32、2Q2Q2q2q222o2122 33 47 8【题型】计算82641111,12 -22 III -63一64【巩固】计算:32132 -1222252171 3199321 1995212-211122 二52 -1 7 -119932-1 19952 -1【考点】分数裂项2【解析】原式=1+f【难度】3星【题型】计算11212|132 -1152 -1172 -101101,19932 -1. 19952 -122=9972 4= 997= 9974 61I 121112+IH +1994 19961 111 - 1 JH 4 61994119961996997 = 997 -1996【

33、答案】997竺71996【巩固】计算:22_222213243 522 -1 232 -1 242 -1一 2298 1002992 1【考点】分数裂项【难度】3星【解析】2213102 -1可见原式2,2242:3 -14222 -1也8432-132 5242 -134515【题型】计算104204344出J =2 , =2- , =2,33881515二2 98 41 3+ 111 +4442 一1川营一1198 10011111二 196 1 4 _1-1 _ _ .一1,11一十| +598 10011二196 2： 112 991100199=196 3-2 99004751二 1

34、984950【答案】198竺1495012【巩固】计算：11 3【考点】分数裂项一2 一 2_2.3503 5 5 799 101【难度】3星【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大,【题型】计算但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为22 -1 那么恰好都是分子的 4就得到原式的值了.42 -162 -1? ? ?,1002 -1,可以发现如果分母都加上1,4倍，所以可以先将原式乘以 4后进行计算,得出结果后除以，122原式=1: | J422 -1旦6 -1十川11二一 1-3- 1422 -11421162 -12%, 10022100 17(II 111002 -1+111

35、+99 1011150421-1113 3 5 511=-50 -4 |L 2【答案】12 63 1011-50450101 c 63二12一101【例 15】516.61Z+Z28 5 6 6 77 8【考点】分数裂项【解析】516 617 +718.8 9 9 108 9 9 10【难度】3星899 101I =-566778899 105【题型】计算11 11 1-(，-).(1 )6 6 79 10113=十=5 10 10【答案】10365791113【巩固】 _+_+_+_+一+一+一57612203042【考点】分数裂项【难度】3星【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中【解析】原_

36、3 6 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 3一 _ - - - - -二一5723344556675【答案】4132579101119【巩固】计算： 一+-+-+-+-+ =3457820 212435-【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算6 111111.=4【题型】计算1325711111121【加牛机】 原式=+ +- + + + + + + =1+1+1 +1 +1 = 5 3457845373857【答案】512379111725【巩 固】 -+-+-+一+一+一+一3571220283042【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式J+JB+W - 'J

37、W335734454756671 111 .2.1,2313.1.1.13= _- = 33 3 6 65557 7744 444111112010263827固】 一+ + + + + + + +2330314151119120123124【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算1111 =-+-!. +- +-11+- +-1273549 . 637791105. 31-11- 1 广一|匕612 2030425688【考点】分数裂项 X 旧一 57【解析】原式=45上6 12【难度】3星91113 1520 30 42 - 567 137一18【题型】计算=21 -11【答案】二1010

38、【巩固】计算:11 13 15 17+_ _ 十_ _6 12 20【考点】分数裂项30 42 56【难度】3星7219+ 90【题型】计算【解析】原式=12 3 3 4 +2 3 3 4111=1-(2 3) (3 ；)-(4 5) (5 6)-(6 7)7 8 8 9 9 10+-+7 8 8 9 9 1011111-)-() ()88 99 101十1012 20 15【考点】分数裂项175十 30 12【难度】3星【题型】计算111111112 111I组牢斫】 原式=+ + + + + + + + + + + 4534453556461111c=-2452 =322【例16】1一2-1 2【考点】分数裂项_2_2_22或 192 192 20218 1919 20原式=121936 -20.318【题型】计算.生.四.”二2 17工19 20 19120=36但201 20072 20062006 2