21.3《圆的对称性》课件

1、圆的对称性圆的对称性第一课时第一课时动脑筋动脑筋 在下图的在下图的 O中，中，AB是任一条弦，是任一条弦，CD是是 O的直径，且的直径，且CDAB， 垂足为垂足为E. 试问：试问： AE与与BE， 与与 ， 与与 分别相等吗？分别相等吗？ACBCBDAD 因为圆是轴对称图形，将因为圆是轴对称图形，将 O沿直径沿直径CD对折，对折，如下图，我发现如下图，我发现AE与与BE重合，重合， ， 分别与分别与 重合，即重合，即AE= BE， = ， =ACBCBDADACBCAD.BD从而从而AOC =BOC.下面我们来证明这个结论下面我们来证明这个结论.在下图中，在下图中， 连接连接OA，OB. OA

2、=OB， OAB是等腰三角形是等腰三角形. OEAB， AE = BE， AOD =BOD.AC，BCAD.BD=结论结论 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧. .结论结论由此得到由此得到垂径定理：垂径定理：举举例例如图所示，弦如图所示，弦AB=8cm，CD是是 O的直径，的直径， CDAB，垂足为，垂足为E，DE=2cm，求，求 O的的直径直径CD的长的长.例例1 解解 连接连接OA.设设OA=rcm，则，则OE=r-2(cm). CDAB，由垂径定理得由垂径定理得2ABAE=4(cm).在在RtAEO中，由勾股定理中，由勾股定理

3、得得+ .222OA =OEAE解得解得 r=5. CD = 2r = 10 (cm).即即.22( -2)4r = r+举举例例证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等.已知：已知： 如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB与弦与弦CD平行平行.求证：求证： =例例2 AC.BD证明证明 作直径作直径EFAB，.AEBE 又又 ABCD，EFAB， EFCD.CEDE ，AE CEBE DE因此因此.ACBD即即1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为3

4、7.4m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2m，求桥拱，求桥拱所在圆的半径（结果精确到所在圆的半径（结果精确到0.1m）.例例3 图图21-22解：解：如图如图21-22. .设拱桥设拱桥 的圆心为的圆心为O，半径为，半径为Rm，连，连接接OA，OB，过点，过点O作作OCAB，D为垂足，与为垂足，与 相交相交于点于点C. . AB ABAD=BD， = .ACBCAD，DC，AD AB 37.4 18.7，1212ODOC DCR7.2.在在RtOAD中，由勾股定理，得：中，由勾股定理，得： OA2 AD2OD2.答：桥拱所在圆的半径约为答：桥拱所在圆的半径约为

5、27.9m.解这个方程，得解这个方程，得R27.9(m).即即R2 2(R)2.1、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？夹的弧相等吗？为什么？提示提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况。这两条弦在圆中位置有两种情况。(1)两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧(2)两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧练一练练一练 2、如图，一、如图，一 条公路的转弯处是一段弧条公路的转弯处是一段弧（即（即图中图中 ，点，点O是是 所在圆的圆心）所在圆的圆心）. .其中其中CD 600m，E为为 上一点，且上一点，且OECD，垂足，垂足为为F，EF 9

6、0m. .求这求这段弯路的半径段弯路的半径. CD CD CD则：则：OF （R90）m，OECD，CF CD 600 300（m），），在在RtOCF中，由勾股定理得：中，由勾股定理得：OC2 CF2OF2，R2 3002（R90）2解得：解得：R 545，这段弯路的半径为这段弯路的半径为545m. .1212解：解：连接连接OC，设弯路的半径为，设弯路的半径为Rm，第二课时第二课时知识回顾知识回顾 导入新课导入新课问题问题1：前面我们已经认识了圆，你还记前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？得确定圆的两个元素吗？圆心和半径圆心和半径问题问题2：你还记得知道圆中的哪些概念吗？你还

7、记得知道圆中的哪些概念吗？试一试：试一试：1.弧：圆上弧：圆上_叫做圆弧，简称叫做圆弧，简称弧弧.叫做等圆，叫做等圆，_叫做等弧叫做等弧.任意两点之间的部分任意两点之间的部分能够重合的两个圆能够重合的两个圆在同圆或等圆中，能够重合的两条弧在同圆或等圆中，能够重合的两条弧2.弦：连接弦：连接_叫做弦，经过圆叫做弦，经过圆心的弦叫做心的弦叫做_.圆上任意两点的线段圆上任意两点的线段直径直径探究一：圆的轴对称性探究一：圆的轴对称性(1)圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你能找到多少条对称轴？(2)同伴交流：你是用什么方法解决

8、上述问题？同伴交流：你是用什么方法解决上述问题？探究交流探究交流 获取新知获取新知动手操作：动手操作： 请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？看折痕经不经过圆心？结论：结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图 形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴 ，圆的对称轴有无数条，圆的对称轴有无数条. .探究二：圆的中心对称性探究二：圆的中心对称性 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？还能与原来的图形重合吗？结论结论1：一个圆绕

9、着它的圆心旋转任意一个角一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角 度，都能与原来的图形重合，我们把度，都能与原来的图形重合，我们把 圆的这个特性称之为圆的旋转不变性圆的这个特性称之为圆的旋转不变性. .结论结论2：圆是中心对称图形，对称中心为圆心圆是中心对称图形，对称中心为圆心. .探究三：圆心角、弧、弦之间的关系探究三：圆心角、弧、弦之间的关系 在等圆在等圆O和和O中，分别作相等的圆心中，分别作相等的圆心角角AOB和和A OB ( (如图如图38) )，将两圆重叠，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得个角度，得OA与与OA重合重合. .你能发

10、现哪些等量关系？说一说你的理由？你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？小红认为小红认为 ，AB . .她是这样想的：她是这样想的：半径半径OA重合，重合，AOB ，半径半径OB与与 重合，重合，点点A与点与点 重合，点重合，点B与点与点B重合，重合， 与与 重合，弦重合，弦AB与弦与弦 重合重合. . ，AB . . ABAOB O B A BA结论：结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦相等弧相等，所对的弦相等. . AB BA AB BA BA AB BA 在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相

11、等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？等吗？你是怎么想的？结论：结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所 对应的其余各组量都分别相等对应的其余各组量都分别相等. .想一想：想一想：例例4已知：已知：A，B是是O上的两点，上的两点，AOB120，C是是 的中点的中点. .试判断四边形试判断四边形AOBC的形状，并说的形状，并说明理由明理由. .解：四边形解：四边形AOBC为菱形为菱形. .例题讲解例题讲解 AB四边形四边

12、形AOBC为菱形为菱形. .理由如下：理由如下：如图如图21-26，连接，连接OC. .C是是 的中点，的中点， AB . . AC BCAOB120， 12 AOB60.12又又OAOCOB ，AOC，BOC均为均为等边三角形等边三角形. .ACAOBO BC. .图图21-26随堂练习随堂练习1. .日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试举几例性有关，试举几例. .碗碗硬币硬币2. .利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：条件的图案：( (1) )是轴对称图形但不是中心对称图形；是轴对称图形但不是中心对称图形；( (2) )是中心对称图形但不是轴对称图形；是中心对称图形但不是轴对称图形；( (3) )既是轴对称图形又是中心对称图形既是轴对称图形又是中心对称图形. .第第( (1) )问图问图第第( (2) )问图问图第第( (3) )问图问图 如图，在如图，在ABC中，中，C90，B25，以点以点C为圆心，为圆心，AC为半径的圆交为半径的圆交AB于点于点D，求求 所对的圆心角的度数所对的圆心角的度数. .做一做做一做解：连接解：连接CD， C 90，B 25，A 902565，CA