高三数学一轮复习精品教案3：直线及其方程教学设计

1、高三数学一轮复习教案第1课时直线及其方程考纲点击高考指数121 .理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2 .掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式等），了解斜截式与一次函数的关系.基础知识梳理就"31班战基团盘点系襄阳梳理自测一、直线的倾斜角与斜率1 .（教材改编）直线过点（0, 2）和点（3, 0）,则它的斜率为（）D.2 A.73C.2 .（教材改编）直线gx y+a= 0（a为常数）的倾斜角为（）A. 30° B. 60°C. 150° D. 120答案：1.C 2.B以上题目主要考查了

2、以下内容:（1）直线的倾斜角定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上的方向之间所成的角“叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为约倾斜角的取值范围：0°, 180° .）（2）直线的斜率定义：当a W9时,一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率,斜率通常用小写字母k表示，即k=tan_a,倾斜角是90°的直线，其斜率不存在.经过两点的直线的斜率公式：一、iyi y2经过两点 Pi(xi, yi), P2(X2, y2)(xi金泥)的直线的斜率公式为k=.X1 X2二、直线方程1 .(教材改编)过点(一1, 2

3、)且倾斜角为30 °的直线方程为()A#x 3y+6 + V3=0 B.V3x-3y-6 + V3= 0C.73x + 3y+6+W D#x+ 3y6+,=02 .已知直线l的倾斜角“满足3sin肝cos a且它在x轴上的截距为2,则直线l的方 程是.3 .经过两点 M(1 , 2), N( 3, 4)的直线方程为 .答案：1.A 2.x-3y-2=0 3.3x+2y+1 = 0以上题目主要考查了以下内容：直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y yo = k（x x o）不含垂直于x轴的直线斜截式y= kx + b不含垂直于x轴的直线两点式y y x x1i一（x座，y1w2）y

4、： y：-x2 - x1、，' "不含垂直于坐标轴的直线截距式+ b= 1（ab w。）不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A、B 和时为 零)平面直角坐标系内的直线都适用指点迷津1. 一个关系一一直线的倾斜角和斜率的关系(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率.(2)直线的倾斜角a和斜率k之间的对应a0°0°< a< 90°90°90 °< a< 180°k0k>0不存在k<02.两种方法一一求直线方程(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的

5、直线方程，直接求出方程中系数，写出直 线方程；(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程.再根据已知条件构造关于待定系数的 方程(组)求系数，最后代入求出直线方程.3.三个因素一一确定直线的倾斜角前提：直线l与x轴相交；基准：x轴；方向：x轴正向与l向上的方向.聚焦考向透析聿点最考向一 直线的倾斜角与斜率IS值卜| (1)若直线l： y=kx4与直线2x+3y6=0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是一 兀A 6,一 兀C. 3,_ 兀D. 3,(2)已知点A(2, 3),B( 3, 2),直线l过点P(1, 1)且与线段AB有交点，则直线的斜率k的取值范围为审题视点确定直线过的定

6、点，结合图象，使直线绕定点转动，使之符合题意，找 出边界线所处的位置.典例精讲(1)由题意，可作两直线的图象，如图所示，从图中可以看出，直线TT TT的倾斜角的取值范围为6, 2.1守骂J.! L(2)如图，由斜率公式，得1 - (3)kAP=1_2=4,kBP=1 ( 2)=3,1- (3)4' 3八k号或 k<- 4.4答案(1)B (2)(8,3一 4U4, 十 °0)类题通法直线倾斜角的范围是 0,兀)，但这个区间不是正切函数的单调区间. TT , TT.一 . .-此在考虑倾斜角与斜率的关系时，要分0，2与兀两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当a 0, 2

7、时，斜率k 0, 十 °°)；当a=-2d斜率不存在；当 a 2,兀时，斜 率 kC ( 8, 0).1. (2014贵阳模拟)直线l经过点A(1 , 2),在x轴上的截距的取值范围是 (一3, 3),则 其斜率的取值范围是()A. 1vkJB. k> 1 或 kv；52C. k>1 或 k<1 D. k>1 或 kv1 52解析选D.设直线的斜率为 k,则直线方程为y-2= k(x 1),直线在x轴上的截距 为1 ：,令3v12V3,解不等式可得.也可以利用数形结合.kk考向二求直线方程|iej2i求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3, 2

8、),且在两坐标轴上的截距相等；1(2)过点A(-1, 3),斜率是直线y=3x的斜率的一4；过点A(1 , 1)与已知直线11： 2x + y6=0相交于B点且|AB| = 5. 审题视点选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可.典例精讲(1)设直线1在x, y轴上的截距均为 a,若a=0,即1过点(0, 0)和(3,2),，1的方程为y = 2x,即2x-3y=0. 3若awQ则设1的方程为x + y=1,a a1 过点(3, 2), .-.3 + 2=1, a aa= 5, 1- 1 的方程为 x+y5=0,综上可知，直线1的方程为2x3y = 0或x + y5=0.(2)设所求直线

9、的斜率为k,依题意又直线经过点 A( 1, 3),因此所求直线方程为y+3= 3(x+1),即 3x+4y+ 15=0.过点A(1 , 1)与y轴平行的直线为 x=1.x= 1,解方程组2x + y 6=0,求得B点坐标为(1, 4),此时|AB| = 5,即x = 1为所求.设过A(1 , 1)且与y轴不平行的直线为y+1=k(x1),解方程组2x + y-6=0, y+ 1 = k (x 1)4k- 2k+2k+7 x=k+2 得两直线交点为(k力2,否则与已知直线平行).则B点坐标为k+7 4k2 k + 2' k+2k+7 k+24k-2+ 1 k+22=5233解得 k=4，

10、y+1 = 4(x1),即 3x+4y+ 1 = 0.综上可知，所求直线的方程为x= 1或3x+4y+1 = 0.类题通法在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时， 直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.变式训摩)112. (1)求过点A(1 , 3),斜率是直线y = -4x的斜率的三的直线万程；3(2)求经过点A(-5, 2),且在x轴上的截距等于在 y轴上截距的2倍的直线方程.解

11、析(1)设所求直线的斜率为k,依题意k=4鼻=4.又直线经过点 A(1 , 3),因此所求直线方程为y-3=-4(x-1),即4x333+ 3y 13=0(2)当直线不过原点时,设所求直线方程为2a+a=1,1将(5, 2)代入所设方程，解得 a= -2,此时，直线方程为 x+2y+1 = 0.2当直线过原点时，斜率 k=5 2 一直线方程为y= x,即2x+5y=0,5综上可知，所求直线方程为x+2y+1 = 0或2x+5y = 0.考向三直线方程的应用赋为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪 图)，另外4EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量 AB = 100 BC = 80

12、 m, AE = 30 m, AF = 20 m,应如何设计才能使草坪面积最大?审题视点首先明确题目的要求，借助直线方程解决，需要建立直角坐标系，然后设出参数进行求解.典例精讲如图所示，建立平面直角坐标系，则E(30, 0)、F(0, 20),. .直线EF的方程为 蕊+以=1(0WxW30)30 20易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值，在线段EF上取点P(m, n),作PQ，BC于点Q,PR± CD于点R,设矩形PQCR的面积为S,则 S=|PQ| - |PR|(100-m)(80-n).m,又 m0+2k= 1(0 wm< 30) 30 20 n= 20 1m.

13、3 .S= (100-m) 80-20 + |m 3=-2(m_5)2+5°(0wm< 30) 33当m=5时，S有最大值，这时鬲=5： 1.所以当草坪矩形的两边在 BC、CD上，一个顶点在线段 EF上，且这个顶点分有向线段EF成5 ： 1时，草坪面积最大.类题通法(1)本题考查实际问题，在确定EF的方程时，需要关注已知条件合理选择直线方程的形式，并且要注意0Wm<30在此范围内求最值.(2)在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的面积、距离的最值等问题，一般要结 合函数、不等式或利用对称来加以解决.3.已知直线l过点P(3, 2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于 A,

14、B两点，如图所示，求 那BO的面积的最小值及此时直线l的方程.解析由题意设直线方程为y=1(a>0, b>0), - 1+7=1.a ba b由基本不等式知3+ 2-八甩,一 .一 .3 2 一一一,、即ab>24当且仅当(=b,即a= 6, b = 4时等号成立).八11又 S = 2a bK 24= 12,此时直线方程为6+彳=1,即2x+3y12=0.ABO面积的最小值为12,此时直线方程为 2x+3y12=0.学科能力提升卜二IJ-T-T易错暗示系列18忽视直线的特殊情况致误训勤(2014杭州调研)已知直线l过点P(2, 1),在x轴和y轴上的截距分别为 a, b,且

15、满足a= 3b.则直线l的方程为 .正解 若a= 3b =0,则直线过原点(0, 0),1此时直线斜率k=；直线方程为x+2y = 0.若a=3bwo,设直线方程为x+y- 1,由于点P(2, 1)在直线上， .1所以b= . 3从而直线方程为x3y=1,即 x + 3y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y= 0或x+3y+1 = 0.答案x+ 2y= 0或x+ 3y+ 1= 0易错点本题易忽视直线过原点的情况.警示求直线方程时，要注意斜率是否存在，注意截距是否存在，是否为 0;注意区分截距与距离.:"lEJ慎题体验|真题试做速效提升1. (2013高考辽宁卷)已知点 0(0,

16、 0), A(0, b), B(a, a3).若AOAB为直角三角形， 则必有()A. b= a31B. b=a3+-a331cC. (b a3) b a3 £ =0.31 cD. |b a3|+ ba3一占=。解析选C.根据直角三角形的直角的位置求解.若以0为直角顶点，则 B在x轴上，则a必为0,此时O, B重合，不符合题意；若/ A = 2,则 b= a3w 0.若/ B =根据斜率关系可知 a2 a3* = 1,2a所以 a(a3 b) = 1,即 ba3 1=0.a以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件.2. (2014江门模拟)如果A-CV0,且B-CV 0,那么直线 Ax

17、+By + C=0不通过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析选 C.由题意知A B C舌0 A C直线方程变为 y=Bx B.A - C<0, B- C<0,A- B> 0,，其斜率k = -B<0,又y轴上的截距b=- C>0,B直线过第一、二、四象限.3. (2014 北京海淀一模)已知点 A(-1, 0), B(cos % sin “)且 |AB|=J3,则直线 AB 的方程为()A. y=*x+m或 y=V3x V3一-333. 3b. y= 3 x+ 3 或 y = - 3 x- 3C. y = x+1 或 y = x1D. y=y/2x +小或 y=小x /2解析选 B.|AB| = q （cos 时 1）2+ sin2a= 2T2cos 后 ®所以cos后2, sin 后43,所以kAB=W§,即直线AB的方程为y=H3（x+1）,所以直线