高中数学211平面教案新人教A版

1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系本章教材分析本章将在前一章整体观察、 认识空间几何体的基础上，以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中点、直线、平面之间的位置关系； 通过大量图形的观.察、实验和说理，使学生进一步了解平行、 垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，初步体验公理化 思想，培养逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题本章主要内容：2.1点、直线、平面之间的位置关系，2.2直线、平面平行的判定及其性质，2.3直线、 平面垂直的判定及其性质.2.1节的核心是空间中直线和平面间的位置关系.从知识结构上看，在平面基本性质的基

2、础上，由易到难顺序研究直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系.本章在培养学生的辩证唯物主义观点、公理化的思想、空间想象力和思维能力方面，都具有重要的作用.2.2和2.3节内容的编写是以“平行”和“垂直”的判定及其性质为主线展开，依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的 判定和性质；直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性质“平行”和“垂直”在定义和描述直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系中起着重要作用在本章它集中体现在：空间中平行关系之间的转化、空间中垂直关系之间的转化以及空间中垂直与平行关 系之间的转化.本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）2.1.1平囿约1课时2

3、.1.2空间中直线与直线之间的位置关系约1课时2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系约1课时2.1.4平面与平面之间的位置关系约1课时2.2.1直线与平囿平行的判定约1课时2.2.3直线与平囿平行的性质约1课时2.2.22.2.4平囿与平囿平行的判定平囿与平囿平行的性质约1课时2.3.1直线与平囿垂直的判定约1课时2.3.2平囿与平囿垂直的判定约1课时2.3.3直线与平面唯直的性质约1课时2.3.4平囿与平囿垂直的性质约1课时本章复习约1课时IF§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系§2.1.1 平面一、教材分析平面是最基本的几何概念 ，教科书以课桌面、黑板面、海平面

4、等为例，对它只是加以描述而不定义 .立体几何中的平面又不同于上面的例子，是上面例子的抽象和概括 ，它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面，教材重点介绍了平面的基本性质 ，即教科书中的三个公理，这也是本节的重点.另外，本节还应充分 展现三种数学语言的转换与翻译，特别注意图形语言与符号语言的转换.二、教学目标1 .知识与技能(1)利用生活中的实物对平面进行描述；(2)掌握平面的表示法及水平放置的直观图(3)掌握平面的基本性质及作用；(4)培养学生的空间想象能力.2 .过程与方法(1)通.过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；(2)让学生归纳整理本节所学知识 .3 .情感、态度与价值观使用

5、学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.三、重点难点三种数学语言的转换与翻译 ，利用三个公理证明共点、共线、共面问题.四、课时安排4 课时 五、教学过程(一)导入新课思路1.(情境导入)大家都看过电视剧西游记吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我 的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线， 大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面思路2.(事例导入)观察长方体(图1),你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？图1长方体由上、下、前、后、左、右六

6、个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题(二)推进新课、新知探究、提出问题怎样理解平面这一最基本的几何概念；平面的画法与表示方法；如何描述点与直线、平面的位置关系？直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面 内？根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？自己总结三个公理的有关内容

7、.活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外确定一条直线需要几个点？引导学生观察教室的门由几个点确定.两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性r文字语言、图形语言、符号语言平面的基本性质小结.讨论结果：平面与我们学过，的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念） 只能通过

8、对它描述加以理解，可以用r它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌（吴承恩的立体几何一定不错 ）.我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角2倍.如果一个3.平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母图3a、3、丫的前面加“平面"二字，如平面0C、平形等图形来表示平面，如图 2.平行四边形的锐角通常画成 45。，且横边长等于其邻边长的 平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图面3、平面丫等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内（图4）;

9、 （2）用平行四边形的四个字母表示,AC（图 5）.如平面ABCD（图5）; （3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表:点A在直线a上（或直线 a经过点 AA HAC a点A在直线a外（或直线a不经过点 A）A a点A在平囿a内（或平囿 a经过点A）/ /AC aJ L左 J 集合间 的关系点A在平囿a外（或平囿 a不经过点A）*A/ ,/A a直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内（图7）,直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内公理1:如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这

10、条直线上所有的点都在这个平面内 这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用 一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：若 AC a,B C a,且 AC a ,B e a ,则 a a .请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交若 AC a,B a,且 A a ,B C “，则 a a .

11、如图（图 7）.在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面如图（图8）.图8公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展的 .直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）问：两个平面会不会只有一个公共点？不会

12、，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上 .这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图 9）,用符号语言表示为：PC “，且pc 3a n 3 =1，且 pc i.图9公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过 这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两 个平面的两个公共点，就

13、找出了它们的交线 .由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找 这条交线的方法.描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言：文字语言、图形语言、符号语言 .“平面的基本性质”小结：iiw作用公理i判定直线在平面内的依据公理2确定一个平囿的依据公理3两平囿相交的依据(三)应用示例思路1例1如图10,用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系活动：学生自己思考或讨论，再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案).教师在学生中巡视,发现问题及时纠正并及日评价.解：在(1)中，a n 3 =i,a n “ =A,an 3 =b.在(2)中，a n

14、3 =l,a a ,b 3 ,a n l=P,b n l=P.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A C “，B a,ACl,B Cl;(2)a a ,b 3 ,a H c,b 门 c=P, a A 3 =c.解：如图11. 图115 .根据下列条件，画出图形.(1)平面 a n 平面 3 =l ,直线 AB a , AB/ l , EC AB,直线 EFA 3 =F, F l;(2)平面a n平面 3=a, 4ABC的三个顶点满足条件：ACa, BC a , B a, CC 3 , C a.答案：如图12. 图12点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(

15、1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面图13证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B, b上取一点C,根据公理2经过不在同一直线上的三点A B、C有一个平面 ”，因为A B在平面e内，根据公理1,直线a在平面e内，同理直线b在平面a内，即平面a是经过直线a和直线b的平面.又因为A B在a上，A C在b上，所以经过直线 a和直线b的平面一定经过点 A、B C.于是根据公理2,经过不共线的三点 A、B、C的平面有

16、且只有一个，所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内证明：如图14,直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、DE、F,图14;直线an直线b=A,直线a和直线b确定平面设为 a ,即a,b a., B、CC a, E、FC b, ：.B C E、FC ” .而 B、FC c, C EC d, . .c、d a ,即a、b、c、d在同一平面内.点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理 2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.(2)思路2例1 如图15,已知a A 3

17、=EF,AC a ,C、BC 3 ,BC 与EF相交，在图中分别画出平面ABC与a、3的交线.图15活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路 解：如图16所示，连接CB， .CC 3 -BC 3 ,，直线 CB 3 .图16 直线 CB 平面ABC 1- 3 n平面 ABC直线CB. 设直线CB与直线EF交于D,a n 3 =EF, DC a ,D C 平面 ABC. .AC a,AC 平面 ABG.“n平面 ABC直线 AD.变式训练1 .如图17,ADA平面a=B,AEn平面e=C,请画出直线DE与平面a的交

18、点P,并指出点P与直线BC的八/位置夫系.图17解：AD和AC是相交直线，它们确定一个平面ABG它与平面a的交线为直线BC, DE平面ABG DE与a的交点P在直线BC上.2 .如图18,正方体 ABC+ABCD的棱长为8 cm, M Z P分别是 AR AQ、BB的中点,图18(1)画出过 M M P三点的平面与平面 A1B1C1D1的交线，以及与平面 BBGC的交线.(2)设过M N、P三点的平面与 BC交于点Q,求PQ的长.解：(1)设M N、P三点确定的平面为 a,则a与平面AAB1B的交线为直线 MP设MP1A 1B产R,则 RN是a与平面 ABCDi的交线，设 RNH B1G=Q,

19、连接PQ 则PQ是所要画的平面 a与平面BBCC的交线. 如图18.1(2)正方体梭长为 8 cm, B1R=BM=4 cm 又 AN=4 cm, B1Q A1N,B 1Q= X 4r= (cmj).在PB1Q 中，BiP=4 cm, B1Q卅 cm,3 33224 PQ=. B1PB1Q3 .10 cm.点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3找两平面的交点和交线例2 已知 ABC三边所在直线分别与平面a交于P、Q R三点，求证：P、。R三点共线.解：如图19, 1、B、C是不在同一直线上的三点 ，图19 过A B、C有一个平面 3 .又. ABA a =P,且 AB 3 ,.点P既在3内又在 E内.设a n 3 =1，则PC 1,同理可证：QC 1,R e 1, P、Q R三点共线.变式训练三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点已知平面a、3、丫两两相交于三条直线11、12、13,且11、12、13不平行.求证：1、12、13相交于一点.证明：如图 20, a n 3 =1 1,3 n T =1 2, “ n 丫 =1 3