高中数学竞赛专题讲座---复数

1、复 数专题一复数与数列 复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握.1例1设数列Z1，Z2，A ,Zn，A是首项为48,公比为G6 +>/2i)的等比复数列.4(1 )求 Z4 .(2)将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成a1,a2,A ,an,A ,试求a3 .(3)求无穷级数a1 +a2 +A +an +A的和.1一 一 1二二3斛：(1) r =一(、16+J2i) =(cos+isin). z4 = 48r =12“2i.4,266(2)使r为实数的最小自然数是6,数列a1,a2,A , an ,A是首项为48,公比为r6的等比数列.所以3 a&

2、=4 °(3)481281-(-1)3861这个级数是公比 =r =-的无穷等比级数，从而和 8例 2 今定义复数列 a1，a2，A ,an,A 如下，a1 = 1+i,a2 = 1 + J3i,an书=a1 + kan ( n 之 2) , k 为正 的常数.问复数 an的辐角的正切与哪一个值最接近？(当 nT8时)分析：寻求an的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论.解:(1)an +的辐角记作日，an =a +kan =a1(1+k+A +kn') + kn'a2.n-1 _3当 k =1 时，an+ =(n 1)a +a2 = n +(n 1 十 J3)i

3、,所以 tane =*1(nT 如).(2)当 k#1 时，an +a1(1 -k )1 -kn . 1 ( 3 -1)kn,-、3kn1 -k1 -k1 (-3 -1)kn41 -kn- 3kn q(k 1)/、(nT ).(0 :二 k ： 1)例3 (1)设在复数列Zo,Z1,A , zn,A之间有如下关系：zn+zn=a(znzn)(n=1,2,3,A),其中a(a ¥1)是常复数.当z0 =0,z1 =1时，试将zn的值用0(表示.(2)若(1)中的0 =1十石，求在圆| z|=10 (z是复数)的内部总共含有zn的个数.解：(1)Z2-Z1=口(4zo)=% z3 -z2

4、=s(z2-z1)=Cf2zn -zn7二： (znj - zn_2) ” n"于是，从二二1得,zn =1 一二(2)ot =1 + J3i =2(cos + i sin ),所以 otn = 2n (cos + i sin ),要使 Zn 在圆 | z |= 10 的内 3333部，它的充分必要条件是 |z <10, . | zn |2<100 .即 zn ,与<100,而203=1(12叱85%+22% 33 1(1 -2n+cos +22n) <100 .又 12n+cos吧+22n1-2n*+22n =(1-2n)2,333能适合(1 2n)2 &l

5、t;300的n只是0,1,2,3,4 .在逐个验证这五个点确信都在圆|z |=10的内部，故符合条件的点共有5个.例4设平面上有点P0,p,A ,如图所示，其中，线段 OP0,P0P1,P1P2,A ,的长成首项为1,公比为r的等比数歹U.(1)若0 <r <1,则当nT笛时，Pn与哪一点无限接近?1(2)将(1)中的极限点用 Q表布.若固定r =而日变动时，点 2描述的是怎样的曲线?解:(1) © =r(cose +isinH),此时，若将表示点 Pn的复数记作rn书1就是原点2O .于是 zn =1+0 +A因此，若0 cr <1 ,令 nT s,则 | zn(

6、2)1 , 一1门0, zn所表示的点与所表布的点最靠近.1 - 1 - -1r =一固定，a做变动，点co总在以原点为圆心的圆周上.但因21I z I 一 、1 , .1 4 ,| GO |=一,故有 =2.于当点co在以原点为中心， 一为半径的圆上，点 相应的在以点 一为2 |z -1|21 - 32.,圆心，2为半径的圆上.3例5设在复平面上：(1)原点为O,表示复数Z的点为A,点B由|AB|二k|OA|, AB, OA的交角为日所确定。试求表示点B的复数。这里k是实数。(2)点列A0,A,A2,A ,An,A由下述方式确定：A。取(0,0) , A取(1,0), An + (n =1,

7、2,3,A)由 | AnAn/ |=2| AnAn |,以及人人十，人,射的 夹角e所定义。试求被表示为An复数zn。ji(3)若(2)中， =一,且记S1=乙 +z3 +A +z2n=，S2=z2+z4+A+z2n,将 2sl+iS2 化2简。解：(1)将表示b的复数记作0 ,则对有关系 OC =AB的点c表示为复数，就是 8-Z,从而z -z =kz(cos8 +i sin 日)，所以切=(1 + kcosH) +ik sin 句z。= OPAAn.1=OQ所表示的点P,Q ,则用复数分别表示为Zn - Zn，Zn中 Zn。由ZPOQ =8，推出zn书-zn =2 (zn -zn)(cos

8、日+isin8),因此，数列zn -zn是首项为 Zi Zo =1 0 =1 ,公比为2(cosH+isin8)的等比数列。所以 zn -zn J =2"(cosH +isinH)n(n 是 正整数)。所以zn jHCnG)。1 - 2(cos 二 i sin ”(3)数列z2kJ, z2k仍为等比数列，故可求得2sl十iS2 =ni。专题二复数与几何1.有关轨迹问题：例1已知一圆B及圆外一点A,在圆上任取一点 Q,以AQ为边按逆时针彳正三角形AQP求点P的轨迹.解：如图：建立复平面，设AB = a，圆B半径为r . P、Q分别对应复数为z, z1,r一一 人冗.冗_ z_ z则 z

9、1 -a =r.令 z0 =cos + i sin ,。NQAP = ,，z =乙 22 二.333zo故 -a = r ,z -az0| =r z0 = r .故点P的轨迹是圆，圆心对应的复数 zo为azo,即a + a-i ,半径为r . 22例2已知复数z1,z2,z1+z2在复平面上分别对应点 A、B、C, O为复平面的原点.(1)若z1 =立+ li,向量OA逆时针旋转90：模变为原来的2倍后与向量OC重合，求z2；2 2(2)若乙z2 =2(乙+z2),试判断四边形 OACB勺形状.解：向量OA逆时针旋转90 :模变为原来的2倍所得的向量对应的复数为z1 2i ,而OC对应的复3

10、1数为 z1 +z2 ,故乙 +z2 = z 2 .故 z2 =z1(1 +2i) = (+i)(1 + 2i)22整理可得：三+2、；3.122(2) 6 z1 z2 =2(z1+z2), BA _L OC .又。四边形OAC的平行四边形，二四边形OAC的菱形.2.复数的模与辐角求复数的辐角主值常有两种方法：(1)利用复数的三角式，应用三角函数的知识求解(2)根据复数的几何意义，将问题转化为几何问题求解例3设复数z满足z = 1,求复数z-2的辐角主值的最大值与最小值。解：0 z =1 二可设 z =cos日 +i sin日(0 M日 <2兀)，, z2 = cosH - 2 + i

11、sin8 .设arg( z2) = a ,，一二 3二由于 cos日-2 <0,-1 <sin 6 W1,故一< a < .22入 . sin -令 y=tga=，则可先求出 y 的最值。由 ycos2y =sin "sinH - ycos =-2y,cos- -2得 J1 +y2 sin(8 -中)=一2y(其中tg* = y) ,G sin(9 一中)«1,二-2y «« + y2 ,一。 o .3.33.35 二7 二即 4y <1 +y，< y < ，二<tga < ，故 arg( z 2)m

12、in =，arg( z-2)max =.333366方法二：由z =1,知z对应的点Z在单位圆X2+y2 =1上，设A(2, 0),根据复数减法的几何意义,复数z2对应的向量是AZ .(如图)，当射线AZ是圆O的切线时，z-2对应的向量分别为'AZ7和AZ；,其中Z1, Z为切点.连接OZ,则OZ1 _L AZ1 ,可知AOAZ1为直角三角形.,arg( z - 2) max由 OZ1|=1,OA =2,故 arg(z2八所例 4 设 A = 'z z +词 1k 勺 M1tzw C,求A中辐角主值最大的复数 z.解：。满足z+J2 E1的点在以(J2,0)为圆心，以1为半径的

13、圆内(包括圆周)，满足ZW1的点_5二_5二2 ,2.z = cos sin =4422例 5 若 z1,z2wc,求证：z1 -z22证：必要性：G z 1 - z 21 -z1 z2成立的充分必要条件是1 - z1 z2二乙一z2z1、z2中至少有一个是2=1 一乙之2(z -z2)W -z2 )=(1 乙22 ) (1 乙 马，根据互为共轲的复数间关系有：z2 = 1 z1z2 z1 z2至少有一个为1 。二|zn Hz|n (n N)(z -z2 d-z2 )=(1 _/ 马)(1 z1心).化简整理得：z1 21 +z2,二乙z22=1 + z1z 2,二，4 2 一1匕2 -1 )

14、=0,二忆1、z2充分性：以上过程均可逆。，二结论成立。常用到的与复数的模相关的结论:(1)z z =| z |2 二|z |2(2) | 乙 z |二| 乙 | | z2 |1.在单位圆内，(包括圆周)，二A对应如图两圆共同部分.二A中辐角主值最大的复数P点对应的复数z1| z1 |(3) |上产(z2*0)(4) |z"匕|国 z1+z2 国乙|+匕|.z2|z2 |(5) -| z|£aE|z|, |z|£b E| z|(z 二a , bi),|z1 z2 |2 .|z1-z2|2 = 2|z1 |22| z2 |2 .例6某草场上有宝.取宝法如下：该草场上

15、原有一株橡树、一株松树、一个绞架.从绞架走到橡树, 记住步数，向右拐90走同样多步打个桩.然后回到绞架那里，再走到松树，记住步数，向左拐 90走同样多步，又打一个桩.在这两个桩正中挖掘，可以得宝。年久日长，草场上绞架已经风化，渺无踪迹，但是 橡、松二树犹存.问应如何取宝.解：取草场为复平面，以两棵树所在的直线为实轴，以两棵树连线的中点 为原点O,建立如图所示白坐标系，设 A、B为橡、松二树，其坐标分别为(-1 , 0), (1,0).令点Z表示绞架，Z、Z2、乙分别表示第一个桩、第二个桩以及两桩的中点.他们对应的复数分别表示为z, z1, z2, z。.由复数减法的几何意义，知AZ1对应的复数

16、为z1+1 ； BZ1对应的复数为z2 -1.依照乘法的几何几何意义，知 AZ1可由AZ逆时针旋转90得到.z1 +1 = (z+1)i ,即z1 = 1 + (z + 1)i同理，z2=1 (z1)i，其中点Zo对应的复数为z =z1z2= i .即Z0为虚轴上的点i . .不论绞架位置在哪儿，宝的位置总对应虚轴上相应于复数为的那一点，故宝可取.例7某人在宽大的大草原上自由漫步，突发如下想法：向某一方向走1km后向左转30：后向前走1km后向左转30;如此下去，能回到出发点吗？YC C解：以出发点作为坐标原点 O,走第一个1km时所沿的直线作为 Ox轴，*3建立如图所示的复平面，第一个1km

17、的终点A对应的复数是1,第二个1km的终点B对应的复数是1+(cos30 +i sin 30)，第三个 1km的终点 C对应的复数是 1+( cos30 + i sin 30)+( cos60 + i sin 60).如此下去，走第 n个1km时所达到的点对应的复数是1+( cos30°+isin 30+( cos600+ i sin 600), 一一 .一一 .一 2+A +cos(n1)30 +isin(n1)30 ,即 1+( cos30 + i sin 30 )+( cos30 + i sin 30 ) + . . 01 - (cos 30 i sin 30 )专题三复数与方

18、程A +(cos300 + isin 30 1n,=1 -(cosn30 'i sin30J当 n =12时，上述复数为 0,即可回到出发点。1. n次方程一定有n个复数根.例1求zn =1的根.解：设z =r(cos+isine)，根据隶莫佛定理，rn (cosn+i sin n8) =1,从而方程的根2 二.2二cos+ isin(n=0,1,2,3,A ).注：这n个根的模都等于1,它的辐角按 空增加，由此可见，这n个根均位于单位圆上把圆周作了 n等分.例2设在1的立方根中，记其中不等于 1的一个根为o ,问82 +8 +1的值是多少？再问，当 n是整数时，63n +1的值是多少

19、？解：X3 1 = (x 1)(x2 + x +1) = 0 ,于是 02+co+1 = 0. 63n+1=2.1 2,例3 (1)设仍是1的5次方根(#1),当0(=缶+ 时，求a +ot的值.co(2)以原点位中心，以(1,0)为顶点作五边形.求与 (1,0)相邻的两个顶点的x坐标P的值.(3)试构造一个以2© 3 - P 2 - P为一个根的整系数二次方程.c1c 1c 111解：(1) a +a=(s+) +6 +一 =8 2+2+切+ =f(64 +0 3+8 2+1)+1,51又切 于 1 , 故有与 + +8+1 = 0 , 所以 a +a = 1 .一12 二2 二(

20、2)今将复平面作为给te的坐标平面，此时回出五边形. = cos isin,5554 12二2二一 4 一,，一 一 12二 十 口co = =一 =cos -i sin，切及co是点(1,0)的相邻两顶点，他们的横坐标都是cos，于正,555H14 一 2二一一,1 2. 一 一 -1-，5有6+ =。+。 =2 cos= 2F,而由(1),0(=8十 得到 a +ot -1 = 0 ,解得 a =5 2(舍)，p =史二!.4(3) P =51,即 4P+1 =75,两边平方，16P2+8P +1=5,所以 4P2+2P 1 = 0(1)42P3_P2-P=x(2)(1) xP-(212,

21、4P2+P =-2x,所以 4P2 =-P2x,将此式代入(1),有 4(2x +1)2 +2(2x+1) -1 =0 ,于是有 16x2 +20x +5 = 0.根的存在性问题的判断的问题，有些实数范围内的结论仍可以应用到复数范围内.例4设关于x的方程2x2 +3ax + a2 -a =0至少有一个模等于1的根，确定实数a的值.解：2x2 +3ax+a2-a =0 .(1)(1)实根的情形：D =9a2 -8(a2 - a) = a2 +8a >0 ,所以 a ±0或 aM 8(2)22将x =1代入(1)式，2 +3a +a a = 0 ,所以a +2a + 2 = 0 ,解得a = 1±i ,因为a是实数，所 以不符合条件.其次，用 x = 1代入(1)整理后有 a2 -4a +2=0,解得a = 2± J2 ,这是实数，且 在(2)的范围内，故适合题中条件.(2)虚根的情形：D =9a2 -8(a2 - a) = a2 +8a < 0 ,所以，一8 < a < 0 .解(1)有，八22-一 3a - - a - 8ai3a、2- - a - 8a、22x ,为使匕的模等于 1,只须() * () - 1 ,主理后 a 一 a 2