将军饮马模型

1、将军玄马模型可修编?、背景知识【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦 .一天，一 位 罗马将军专程去拜购他，向他请教一个百思不得其解的何趣将军甸天从军营A出发，先到河iJJX弓，然后再去河岸同明的军营 B开会，应域怎样 走 才能使路样晟短？迪个向的苔案弁不难，据说海伦略加思索就解决了它.从此决后，Ji个被林为“耀军玄马”的向胃便逍传至今.【问题原塑】将军氏马it桥选址贵马点【涉及知识】两点之同找段最短，垂线段最镐;三角形Wifiza关系；抽对祢；平移；【解题思路】找对祢点，实现折转胃二、将军玄马网题常见模塑1?两定一动型：两定点到一动点的距离和最小啊1 :在

2、定真裁/上找一个动点P,便动点p到两个定点A与B的即离之和最小，RPPA+PB最小?作法：连接AB,与IS/ffi交点Q,Q RO为所要寻找的点，即当朋点 PIS到了点Q业,PA+PB ?小，且最小值等于 AB.原理：两点之间找段最短。证明：连接AB,与K线/的交点Q, P为言找/上任:®一点,在ZPAB中，由三角形三边关系可知： AP+PBMAB （当且仅当PQ?合时取=）?2：在定K线/上找一个a) gP,使劝点P到两个定点A与B的即离之相晟小即PA+PB的和？小.关致找对秫点、？)作迭：作定点B关于定IS/N对称点C,连ft AC,与K线I的交目0即为所要寻找的点即当动自P跑到

3、了点Q5L PA+PB和最小，且最小值等于 AC.原理：两点之间，线目最镐证明：连接AC,与宜线/的交点Q, P为有找/上任;®一点，在ZPAC中，由三角形三边关系可知：AP十PCMAC (当目仅当PQ4合时取=)2?两动一定型M3 :在ZMON的部自一点 A,在0M上找一点B,在ON上找一点C,便RABAC周长量短.作袪：作直A关TOM的对称点AS作点A关于ON的对祢点A厂，连按A, A:与0M交干点B,与ON交于点C,连接AB, AC, AABCIHl为所求.原理：两直之同，线段最短1八4 :在乙MON曲部有和直B,在0M上找一点C,在ON上找一点D,便得四边形 ABCD周长 晟

4、短.M? ?B作袪：作关TOM对称点X,作自B关于ON的对祢直连接 A, BS与0M交于 点C,与ON交于 点 D,连接 AC, BD, AB, ffl jfl JP ABCD RP为所求.原理：两点之同，线段最镐3?两定两动型最值侧5:已111 A. B是两个定目，在定SS/上找两个动点M与N,长度等于定长d（朋点M位于动点N左| ）, 便AM+MN+NB的值最小.提示：存在定长的朋点问题一定要考虑平矜作S-:将点A向右平矜长度得到点/V,作A,关于I 线/的对称点A,连接A-B,交宜裁/于点N,将点N向左平朽长度得到点馄作法二：作点A关于IS/的对祢点九，揩点A1向右平移长度得到点 A2,

5、连接A2B,交SS/干点Q,将点Q向左平矜长度/得到虎0。原理：两自之间，线目最镐，最小 18为A B+MN例6:（jg桥隆址）将军每日需斯马从军营出发，去沼岸对俱帕勺瞭里台现察故情，已知河溉的宽度为30米，请何，在何地修浮桁，可便得揩军每日的行程最短？尹营.瞭望台例6: i S h/k在IS/上找一 fAC,真线公上找一个点 D,便得CD 目AC + BD + CD 最短.；：J修编-作法：？A CD方向向卞平移CD长度至连AT,交公干点D,过点D作DC可修编?，A干AC,连8 AC. i ft CD HO 为J#求.此时显小值为 A'B+CD原理：两点之间，线段最镐，4?垂？S9S

6、g荏ON上找一点C.他得AB + BC最细.?7:在乙MON的部有一点A,在OM上找一点B,原理：垂裁段最短是定点，OM, ON是定裁，& B.点C是OM、ON 11找的点，是动自.作袪：作自A关于0M的对作A, C ± ON,交0M于点B, B、CBJ为所求。?8:在定SS/± tt 一个动点P,便动直P到两f定JSA与B的即离之差最小,RPPA-PB最小？作法：连接AB,作AB的中垂线与/的交目，即为两求点 P此 HIPA-PB |=0原理：找段垂K平分我上的目到裁段两喘的即离柑等ft 9 :在定3S/上找一个劝点c,便动点C到两f定点A与B的即离之差最大，HP

7、IPA-PBI晟大作法：延长8A交/于点C,即在B、A、C三点共找时，瓜夫值为A8的长用FTB原理：三角也任意两边之差小于第一曲?10:在定胃线/上找一个动自C,便动点C到两f定点A与B的即离之差最大，即IPA-PBI作法：作点B关于/的对祢点B,连接AB,交交/于点P即力所求，最大值为 AB的长度。原Sh三角形任意两边之差小于第三边典塑例题三角形1 .如图，在等ffl A ABC 中，AB = 6, AD ±E是AC±的一点，M是ACt的一点，且 AEBC,可修编?解：点C关TI S AD的对称点是点 B,连接BE,交AD干点M,则M E+MD晟小，过点B作BH JL A

8、C于点H,IM EH = AH-AE = 3-2 = 1, BH =八BC2-CH 2 =八/6 2 - 3 2 = 3八3在真角 ABHE 中，BE 二 pBH'+HE 2 =冷（3 书）2 + 2 = 2八72 .如图，在祝角，ABC中，AB = 4A2 z zBAC = 45 。 . zBAC的平分线交 BC于点D , M、N分别是AD和AB上的族， 则BM+MN的最小值 ？磬：作原B关于AD的对称怎B',过点B作B EiAB于点E ,交AD于点F ,则践段B'E的氏就是BM十MN的最小值 在等腰RVAEBA r根菇勾段罡理得到，B E =43 ?如塑,SBC中，

9、AB=2 , zBAC=3（T ?若在AC、AB上各取一篇 M. N，使BM+MN的侑脚J、？则这个最小值 解：作AB关于AC的对粉线段AB? f过点B作B'N ± AB ,垂足为 N，交AC于点 M .则 B N =MB +MN =MB+MNB N的托就是 MB+MN约最幻佰贝 JzBAN = 2zBAC= 60° . AB* = AB = 2 , zANB'= 90 r zB* = 30。AN = 1在直角-AB*N中，根据勾股定理BN = yiPart2.正方形1 ?如图，正方形 ABCD的边长为8川在DC上，且DM = 2,N是AC上的一动点f DN

10、 + MN的最小值为DMB目在直践AC上求一点N，使DN+MN最小解：故作点D关于AC的对称点B，连接BM ,交AC于点N。贝UDN + MNBN + MNBM线段B M的长就是DN + MN的最小值角上 BCM 中，CM=6 , BC 二 8 ,则 BM=10故DN+MN的最小值是102 ?如图所示，正方形ABCD的面枳为12 . MBE是等边三角形，点 E在正万形ABCD A r在对M AC上有Y P使PD + PE 的和最小 （则这个敷、值为（A.2a/3B? #C.3D.a/6解 : 即在 AC 上手一点P f 使 PE+PD 的值最小点D关于直线AC的对称点是亦B ,连接BE交AC于点P,则BE= PB4PE= PD+PE ,BE 的长就是 PD+PE 的最小值 BE = AB 二护3 ?在边长为2 5的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点f点