27.1.2圆的对称性（1）

1、圆的对称性 (1)以旧引新，引导探究以旧引新，引导探究. 圆是轴对称图形圆是轴对称图形. .圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线, ,它有无数条对称轴它有无数条对称轴. .O可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题. .n圆也是旋转对称图形圆也是旋转对称图形. .用旋转的方法可解决下用旋转的方法可解决下面问题面问题. .将图将图1中的扇形中的扇形AOB（阴影部分）绕点（阴影部分）绕点O逆时针旋转某个角度，画出逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么。旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么。图图1ABO

2、图图2ABOBA扇形扇形AOB旋转到扇形旋转到扇形AOB的位置，我们可以发现，在的位置，我们可以发现，在旋转过程中，旋转过程中，AOB= AO B, AB=AB , AB =AB, (1)以旧引新，引导探究以旧引新，引导探究.在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，所对的弦相等。在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，所对的弦相等。在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角相等，所对的弧相等。在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角相等，所对的弧相等。DCOBA

3、12例例1、如图，在、如图，在O中，中， 145o，求，求2的度数。的度数。 AC =BD A =D 2145ADBCBC AC =BD 解：解：我们还知道：圆是轴对称图形，它的任意一条直我们还知道：圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。径所在的直线都是它的对称轴。试一试，我们如何十分简捷地将一个圆试一试，我们如何十分简捷地将一个圆2等分，等分，4等分，等分，8等分。等分。OOOAB(2)动手操作，观察猜想动手操作，观察猜想. OCDE 操作操作：CD是圆是圆0的直径，过直的直径，过直径上任一点径上任一点E作弦作弦ABCD，将圆将圆0沿沿CD对折，比较图中的对折，比较图中的

4、线段和弧，你有什么发现？线段和弧，你有什么发现？猜想猜想：AE=BE, AD=BD,AC=BC AB OCDE (3)指导论证，指导论证，引申结论引申结论.求证求证： AE=BE, AD=BD,AC=BC 已知已知：在：在 O中，中，CD为直径，为直径，AB为弦，且为弦，且CDAB于点于点E，分析：直径分析：直径CD所在直线既是等所在直线既是等腰三角形腰三角形OAB的对称轴，又是的对称轴，又是 O的对称轴，把的对称轴，把 O沿直径沿直径CD折叠，由图形的重合，即可得到折叠，由图形的重合，即可得到所求证结论。所求证结论。错 (3)指导论证，引申结指导论证，引申结论论.垂径定理垂径定理：垂直于弦的

5、直径平分弦，并且平分弦所对的垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。两条弧。平分弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧直径（或过圆心的直线）直径（或过圆心的直线）垂直于弦垂直于弦判断题：判断题：(1)过圆心的直线平分弦过圆心的直线平分弦(2)垂直于弦的直线平分弦垂直于弦的直线平分弦(3) O中，中，OE弦弦AB于于E，则则AE=BE oABCDE(1)oABCDE(2)O ABE(3)题设题设结论结论错对 (3)指导论证，引申结指导论证，引申结论论. 例例1、如图在、如图在 O中，直径中，直径CD交弦交弦AB于点于点E，AE=BE 求证：求证：CDAB，

6、AB OCDEAD=BD,AC=BC 证明：连结证明：连结AO、BO，AO=BOAOB为等腰三角形为等腰三角形AE=BECDCD是直径，是直径，推论推论：平分弦（不是直径）的直径垂：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。直于弦，且平分弦所对的两条弧。AD=BD,AC=BC 小组讨论：下列命题是否正确，说明理小组讨论：下列命题是否正确，说明理由由1、弦的垂直平分线经过圆心，且平、弦的垂直平分线经过圆心，且平 弦所弦所对的两条弧。对的两条弧。2、平分弦所对一条弧的直径，垂直平分、平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，且平分弦所对的另一条弧。弦，且平分弦所对的另一条弧。 (3)指导论

7、证，引申结指导论证，引申结论论.总结：总结： (3)指导论证，引申结指导论证，引申结论论. 五个条件五个条件(1)垂直于弦垂直于弦(2)过圆心过圆心(3)平分弦平分弦(4)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 规律规律知二知二推三推三 例例2、已知：如图在、已知：如图在 O中，弦中，弦AB的长是的长是8cm，圆心，圆心O到到AB的的 距离为距离为3cm，求，求 O的半径的半径 (4)多方练习，多方练习，分层评价分层评价. oABE22AEOE 2243 解后指出：从例解后指出：从例2看出圆的半径看出圆的半径OA，圆心到弦的垂线段圆心到弦的垂线段OE及半弦长及半

8、弦长AE构构成成RtAOE.把垂径定理和勾股定理把垂径定理和勾股定理结合起来，解决这类问题就显得很结合起来，解决这类问题就显得很容易了。容易了。 练习：练习：A组组 在圆中某弦长为在圆中某弦长为8cm，圆的直径是，圆的直径是10cm，则圆心到弦的距离是则圆心到弦的距离是( )cmB组组 在圆在圆o中弦中弦CD24，圆心到弦，圆心到弦CD的距离的距离为为5,则圆则圆o的直径是的直径是( )C组组 若若AB为圆为圆O的直径，弦的直径，弦CDAB于于E，AE16，BE=4,则则CD( ) (4)多方练习，多方练习，分层评价分层评价.ABDCEO oCDECDOE答案：答案：3答案：答案：26答案：答

9、案：16 例例3 如图已知如图已知 O的直径为的直径为4cm，弦，弦AB= cm，求，求OAB的度的度数。数。32 (4)多方练习，多方练习，分层评价分层评价. oABD解：过解：过O作作ODAB于点于点D,则则AD=BD AB= cm AD= cm OA2cm 在在RtOAD中中 cos = 锐角锐角 30323OAAD23你还有没有其它方法？你还有没有其它方法？ 反思小结： (5)反思小结，布置作业反思小结，布置作业. 布置作业：布置作业： 1、对垂径定理的理解、对垂径定理的理解(1)证明定理的方法是典型的证明定理的方法是典型的“叠合法叠合法”(2)定理是解决有关弦的问题的重要方法定理是解决有关弦的问题的重要方法(3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在定理中反映的弦的