APT定价模型组题

1、资产组合理论：1、假如有A和B两种股票，它们的收益是相互独立的。 股票A的收益为15%的概率是40%, 而收益为10%的概率是60%,股票B的收益为35%的概率是50%,而收益为-5%的概率也 是 50%。(1)这两种股票的期望收益和标准差分别是多少？它们的收益之间的协方差是多少？(2)如果50%的资金投资于股票 A,而50%的资金投资于股票 B,问该投资组合的期望收 益和标准差分别是多少？答案：(1)股票A的期望收益E(Ra)=0.4m15%+0.6m10% =12%;股票A的标准差0A = J0.4m(15%-12%)2 +0.6-(10%-12%)2 :0.0245。股票B的期望收益E(

2、Rb) =0.5x35%十0.5 m (-5%) =15%;股票B的标准差% = J0.5 “35%15%)2 +0.5x(5%15%)2 = 0.2因为股票A和股票B的收益是相互独立的，所以它们收益之间的协方差为0。(2)该投资组合的期望收益E (Rp) =0.5mE(Ra) +0.5mE(Rb) =0.5父12%+0.5父15% =13.5%,标准差 <rp = J(0.5)2 ma2 + (0.5)2父与2 = J(0.5)2 m 0.02452 + (0.5)2 m 0.22 = 0.10072、假设有两种基金：股票基金A,债券基金B,基金收益率之间相关系数为 0.05,概率分布

3、如下：A:期望收益 10% 标准差 20%B:期望收益 5%标准差10%计算：(1)基金的最小方差组合中每种基金的投资比例各是多少？(2)最小方差组合的期望收益和标准差是多少？答案：(1)设组合中 A基金投资比例为X,那么B基金投资比例为1-X。组合的方差222.、222 22.、20P =x ；A (1 -x) oB 2x(1 -x) ：-：A；=B = 0.2 x 0.1 (1 -x) 0.1 0.2 0.1x(1-x)是关于X的一元二次方程，其最小的条件是关于X的导数为0。对X求导，并使其等于 0,得：0.096x =0.018,解得：X=0.1875,1-X=0.8125所以最小方差组

4、合中 A基金的投资比例为 0.1875, B基金的投资比例为 0.8125。(2)最新方差组合的期望收益E(RP)=xE(RA) (1-x)E(RB) = 0.1875 10% 0.8125 5% = 5.9375%标准差二p = X、a2 (1-x)252 2x(1 -x) ：；.B=- ：0.22 0.18752 0.12 (1 -0.1875)2 0.1 0.2 0.1875 (1 - 0.1875) 0.1 = 0.0912CAPM :3、假设国库券利率是 4%,市场组合的期望收益率是12%,根据CAPM :(1)画图说明期望收益和 P之间的关系(2)市场的风险溢价是多少？(3)如果一

5、个投资项目的 P为1.5,那么该投资的必要回报率是多少？(4)如果一个P为0.8的投资项目可以获得 9.8%的期望收益率，那么是否应该投资该项目？(5)如果市场预期一只股票的期望收益率为11.2%,那么该股票的P是多少？答案：(1)(2)市场的风险溢价是：12%-4%=8%(3) E (R) =4%+ (12%-4%) *1.5=16%(4)该项目必要回报率E (R) =4%+ (12%-4%) *0.8=10.4%,而只能获得 9.8%的期望收益率，小于10.4%,所以不应该投资该项目。(5) 11.2%=4%+ (12%-4%) *P,解得：= =0.9o4、假设无风险U益率为 6%,市场

6、组合的预期收益率为10%,某资产组合的3系数等于1.2。根据CAPM计算：(1)该资产组合的预期收益率等于多少？(2)假设某股票现价为 20元，其3=0.8,预期该股票1年后股价为23元，期间未分配任何现金股利。请问投资者应该看多 还是应该看空该股票？答案：(1)该资产组合的预期收益率 E (R) =6%+ (10%-6%) *1.2=10.8%(2)该股票的期望收益率为 E(R)= 6%+ (10%-6%) *0.8=9.2% ,按照期望收益率将一年后股价贴现到现在得到现在股票的价值：23/(1+9.2%)=21.06。而该股票的现价20<21.06,说明该股票被低估了，所以投资者应该

7、看多该股票。APT :5、考虑一个单因素 APT模型，股票A和股票B的期望收益率分别为 15%和18%,无风险利率是6%,股票B的P为1.0。如果不存在套利机会，股票 A的P应该是多少？答案：根据 APT,对于股票 B: 18%=6%+1.0F,解得：F=12%对于月票 A : 15%=6%+ P F=6%+12% P ,解得：=0.75 o6、考虑一个多因素 APT模型，股票 A的期望收益率是17.6%,关于因素1的P是1.45,关于因素2的P是0.86。因素1的风险溢价是3.2%,无风险利率是5%,如果不存在套利机会，那么因素2的风险溢价是多少？答案：根据 APT,有：17.6%=5%+1

8、.45*3.2%+0.86*F2 ,解得：F2=9.26% 因此，因素2的风险溢价是 9.26%。7、考虑一个多因素 APT模型，假设有两个才立的经济因素 F1和F2,无风险利率是 6%, 两个充分分散化了的组合的信息如下：组合对应因素1的3对应因素2的3期望收益A1.02.019%B2.00.012%如果不存在套利机会，那么因素1和因素2的的风险溢价分别是多少?答案：设因素1和因素2的风险溢价分别为 R1和R2,根据APT,有：对于组合 A : 19%=6%+1.0R1+2.0R2对于组合 B: 12%=6%+2.0R1联立以上两个等式，解得：R1=3%, R2=5%因此，因素1和因素2的风

9、险溢价分别为 3%和5%。8、已知股票A和股票B分别满足下列单因素模型：Ra =0.1 0.9Rm；aRb =0.05 1.1Rm；b二M =0.21；a)=0.3 二(；b)=0.1(1)分别求出两个股票的标准差及他们之间的协方差。(2)用股票A和B组成一个资产组合，两者所占比重分别为0.4和0.6,求该组合的非系统性标准差。答案：(1)股票 A 的标准差 屋=J0.92仃m2 + 仃ea)2 = J0.92 0.22 +0.32 = 0.3499股票 A 的标准差 DB :.12仃M2 +仃()2 : Ji.12 0.22 +0.12 =0.2417股票A和股票B的协方差0AB =COV(

10、Ra,Rb) =COV(0.1 0.9RM；A,0.05 1.1RM 汨)=COV(0.9RM ,1.lRM)2_2=0.99cm 2 =0.99 0.22 =0.0396(2)组合的收益率RP =0.4Ra 0.6RB =0.4(0.1 0.9RM；a) 0.6(0.05 1.1RM；b)组合的非系统性标准差二；= 0.42'a)20.62。(b)2 = 0.42 0.320.62 0.12 = 0.13429、假设每种证券的收益可以写成如下两因素模型：Rit = E(Rt)+BiiFit + %2F2t，其中：Rt表示第i种证券在时间t的收益，Fit和F2t表示市场因素，其数学期望

11、等于0,协方差等于0。此外，资本市场上有 2种证券，每种证券的特征如下：证券E (Rit)3 i13 i2110%10.5210%1.50.75(1)建立一个包括证券1和证券2的投资组合，但是其收益与市场因素F1t无关。计算该投资组合的期望收益和贝塔系数B 2。(2)设有一个无风险资产的期望收益等于5%, 3 1=0, 3 2=0,是否存在套利机会？答案：(1)设组合中证券1的投资比例为X,那么证券2的投资比例为1-X。Rpt =XRt (1-X)%= XE(Rt)：114，F2t (1-X)E(R2t)：2岛22F2J因为其收益与市场因素 F1t无关，所以组合关于 F1t的贝塔应该为0,即：X -n (1-X) 一：21 =0X (1 -X)1.5 = 0解得：X=3, 1-X=-2,所以 E(Rpt) =3(