评价相对有效性的DEA模型-清晰讲解

1、Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院1决策理论与方法决策理论与方法华长生华长生江西财经大学数学与管理工程系江西财经大学数学与管理工程系Email:课程网站：课程网站：http:/ 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院2第第5章章 多目标决策分析多目标决策分析 5.1 多目标决策的目标准则体系多目标决策的目标准则体系5.2 多维效用并合方法多维效用并合方法5.3 层次分析方法层次分析方法(AHP) 5.4 数据包络分析数据包络分析(DEA)5.5 主成分分析法主成分分析法(PCA)5.6 目标规划方法

2、目标规划方法Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院3评价相对有效性的评价相对有效性的DEA模型模型 决策方法的新领域决策方法的新领域5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院4 1978年由著名的运筹学家年由著名的运筹学家A.Charnes(查恩斯查恩斯), W.W.Cooper(库伯库伯), 及及E.Rhodes(罗兹罗兹)首先提出了一个被称首先提出了一个被称为数据包络分析（为数据包络分析（Data Envelopment analysis, 简称简称DEA模模型）

3、的方法，用于评价相同部门间的相对有效性（因此被型）的方法，用于评价相同部门间的相对有效性（因此被称为称为DEA有效）有效）.他们的第一个模型被命名为他们的第一个模型被命名为C2R模型模型.从生从生产函数的角度看产函数的角度看,这一模型是用来研究具有多个输入这一模型是用来研究具有多个输入,特别是特别是具有多个输出的具有多个输出的“生产部门生产部门”同时为同时为“规模有效规模有效”与与“技技术有效术有效”的十分理想且卓有成效的方法的十分理想且卓有成效的方法.1985年查恩斯年查恩斯,库伯库伯,格拉尼格拉尼(B.Golany),赛福德赛福德(L.Seiford)和斯图茨和斯图茨(J.Stutz)给出

4、给出另一个模型另一个模型(称为称为C2GS2模型模型),这一模型用来研究生产部门这一模型用来研究生产部门间的间的“技术有效性技术有效性”. 5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院5 1987年查恩斯年查恩斯,库伯库伯,魏权龄和黄志明又得到了称为锥比魏权龄和黄志明又得到了称为锥比率的数据包络模型率的数据包络模型C2WH模型。这一模型可用来处理模型。这一模型可用来处理具有过多的输入及输出的情况具有过多的输入及输出的情况,而且锥的选取可以体现决策而且锥的选取可以体现决策者的者的“偏好偏好”.灵活地应用这一模型灵活地应用这一模

5、型,可以将可以将C2R模型中确定模型中确定出的出的DEA有效决策单元进行分类或排队有效决策单元进行分类或排队. 数据包络分析是运筹学的一个新的研究领域数据包络分析是运筹学的一个新的研究领域.查恩斯和查恩斯和库伯等人的第一个应用库伯等人的第一个应用DEA的十分成功的案例的十分成功的案例,就是评价为就是评价为弱智儿童开设公立学校项目的效果弱智儿童开设公立学校项目的效果.在评估中在评估中,输出包括输出包括“自自尊尊”等无形的指标等无形的指标;输入包括父母的照料和父母的文化程度输入包括父母的照料和父母的文化程度等等,无论哪种指标都有无法与市场价格相比较无论哪种指标都有无法与市场价格相比较,也难以轻易定

6、也难以轻易定出适当的权重出适当的权重(权系数权系数),这也是这也是DEA的优点之一的优点之一. DEA的优点吸引众多的应用者的优点吸引众多的应用者,应用范围已扩展到美国应用范围已扩展到美国军用飞机的飞行军用飞机的飞行,基地维修与保养基地维修与保养,以及陆军征兵以及陆军征兵,城市城市,银行银行 5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院6等方面等方面.目前目前,这一方法应用的领域在不断地扩大这一方法应用的领域在不断地扩大.它也可以用它也可以用来研究多种方案之间的相对有效性来研究多种方案之间的相对有效性(例如投资项目的评价例如

7、投资项目的评价);研究在决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何研究在决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何(例如建立新厂后例如建立新厂后,新厂相对于已有的一些工厂是否为有效新厂相对于已有的一些工厂是否为有效).DEA是对其决策单元（同类型的企业或部门）的投入规模是对其决策单元（同类型的企业或部门）的投入规模、技术有效性作出评价，即对各同类型的企业投入一定数、技术有效性作出评价，即对各同类型的企业投入一定数量的资金、劳动力等资源后，其产出的效益（经济效益和量的资金、劳动力等资源后，其产出的效益（经济效益和社会效益）作一个相对有效性评价。社会效益）作一个相对有效性评价。 为了说明为了说

8、明DEA模型的建模思路，我们看下面模型的建模思路，我们看下面的例子的例子5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院7 某公司有甲、乙、丙三个企业，收集到反映其投入（某公司有甲、乙、丙三个企业，收集到反映其投入（固定资产年净值固定资产年净值x1、流动资金、流动资金x2、职工人数、职工人数x3）和产出（）和产出（总产值总产值y1、利税总额、利税总额y2）的有关数据如下表）的有关数据如下表 企业指标甲乙丙x1（万元）41527x2 （万元）1545x3 （人） 825y1 （万元）602224y2 （万元）1268实例实例评价这

9、几个企业的生产效率。评价这几个企业的生产效率。5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院8 由于投入指标和产出指标都不止一个，故通常采用由于投入指标和产出指标都不止一个，故通常采用加权的办法来综合投入指标值和产出指标值。加权的办法来综合投入指标值和产出指标值。 对于第一个企业，产出综合值为对于第一个企业，产出综合值为60u1+12u2，投入综合，投入综合值为值为4v1+15v2+8v3， 我们定义第一个企业的生产效率为：总产出与总投入我们定义第一个企业的生产效率为：总产出与总投入的比的比即即vvvuuh3212118154

10、1260假定假定u1 ,u2 ,v1 ,v2 ,v3分别为产出与投入的权重系数分别为产出与投入的权重系数5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院9类似，可知第二、第三个企业的生产效率分别为：类似，可知第二、第三个企业的生产效率分别为：vvvuuh3212122415622vvvuuh4527824321213 我们限定所有的生产效率我们限定所有的生产效率hj值不超过值不超过1,即即 ,这意味着，若第这意味着，若第k个企业个企业hk=1，则该企业相对于其他企，则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一生产系统是相对有

11、效的业来说生产率最高，或者说这一生产系统是相对有效的，若，若hk1，那么该企业相对于其他企业来说，生产效率，那么该企业相对于其他企业来说，生产效率还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效的。还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效的。1maxhj5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院10即即因此，建立第一个企业的生产效率最高的优化模型如下：因此，建立第一个企业的生产效率最高的优化模型如下：这是一个分式规划，这是一个分式规划，需要将它化为线性规需要将它化为线性规划才能求解。划才能求解。32121181541260ma

12、xvvvuuh181541260321211vvvuuh12415622321212vvvuuh14527824321213vvvuuh5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院11,81541321vvvt令iiiitvtu,2111260maxh3212181541260321212415622321214527824分式规划化为线性规划分式规划化为线性规划1815432132121181541260maxvvvuuh181541260321211vvvuuh12415622321212vvvuuh1452782432

13、1213vvvuuh5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院122111260maxh3212181541260321212415622321214527824. .t s181543212111260maxh0815412603212102415622321210452782432121. .t s181543215.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院13价格资源321DVmin015541532108428321602422603211286

14、123210427154321对偶规划对偶规划3212110001260maxh0815412603212102415622321210452782432121. .t s181543215.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院14DVmin155415321842832160242260321128612321427154321DVmin0155415321084283216024226032112861232104271543215.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved

15、,信息管理学院信息管理学院15 企业指标甲乙丙x1（万元）41527x2 （万元）1545x3 （人） 825y1 （万元）602224y2 （万元）1268投入投入产出产出DVmin1554153218428321602422603211286123214271543215.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院16总结总结1. 假定假定u1 ,u2 ,v1 ,v2 ,v3分别为产出与投入各指标的权重系数分别为产出与投入各指标的权重系数vvvuuh32121181541260vvvuuh3212122415622vvvu

16、uh45278243212132. 定义各企业的生产效率定义各企业的生产效率5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院17建立各企业的生产效率最建立各企业的生产效率最 高的优化模型高的优化模型(分式规划分式规划)32121181541260maxvvvuuh如如4. 将分式规划转化为将分式规划转化为LP2111260maxh如如jhmax181541260321211vvvuuh12415622321212vvvuuh14527824321213vvvuuhjhmax3212181541260321212415622321

17、214527824. .t s1815332211jjjxxx5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院185. 再将再将LP转化为对偶规划转化为对偶规划1min V1554153218428321602422603211286123214271543212min V454153212428321222422603216861232115271543212min V554153214428321242422603218861232127271543215.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights

18、Reserved,信息管理学院信息管理学院19 设有设有n个同类型的企业（也称决策单元），对于每个企个同类型的企业（也称决策单元），对于每个企业都有业都有m种类型的种类型的“输入输入”（表示该单元对（表示该单元对“资源资源”的消耗的消耗）以及）以及p种类型的种类型的“输出输出”（表示该单元在消耗了（表示该单元在消耗了“资源资源”之后的产出）。之后的产出）。 这这n个企业及其输入个企业及其输入-输出关系如下：输出关系如下： 评价决策单元技术和规模综合效率的评价决策单元技术和规模综合效率的C2R模型模型5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管

19、理学院信息管理学院20:y1ny2n:ypny1jy2j:ypj:y12y22:yp2y11y21:yp1u1u2:up12:p输出x1nx2n:xmnx1jx2j:xmj:x12x22:xm2x11x21:xm1v1v2:vm12:m投入nj21 部门指标 权数投入产出数据表投入产出数据表5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院21每个决策单元的效率评价指数每个决策单元的效率评价指数 miijiprrjrjxvyuh11j= 1,2,nmpvvvuuu,1121系数以及各投入指标的权重指标的权重系数引入各决策单元各产出

20、每个决策单元相应的效率评价指数5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院22而第而第j0个决策单元的相对效率优化评价模型为：个决策单元的相对效率优化评价模型为：miijiprrjrjxvyuh10100max s.t. vi,ur0, i=1,2,m; r=1,2,p njmiijiprrjrxvyu,.,2 , 1, 111（1）5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院23 上述模型中上述模型中xij,yrj为已知数（可由历史资料或预测数据得为已知

21、数（可由历史资料或预测数据得到），到），vi,ur为变量。模型的含义是以权系数为变量。模型的含义是以权系数vi,ur为变量，以为变量，以所有决策单元的效率指标所有决策单元的效率指标hj为约束，以第为约束，以第j0个决策单元的效个决策单元的效率指数为目标。即评价第率指数为目标。即评价第j0个决策单元的生产效率是否有个决策单元的生产效率是否有效，是相对于其他所有决策单元而言的。效，是相对于其他所有决策单元而言的。 5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院24 这是一个分式规划模型，我们必须将它化为线性规划模这是一个分式规划模

22、型，我们必须将它化为线性规划模型才能求解。为此，令型才能求解。为此，令 miijixvt101tvwiirrtuprminjtswxwxwyyhirijmiiprmiijirjrprrjrj,.,2 , 1;,.2 , 1, 0,1,.,2 , 1, 0. .0111100max（2）5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院25prminjtswxwxwyyhirijmiiprmiijirjrprrjrj,.,2 , 1;,.2 , 1, 0,1,.,2 , 1, 0. .0111100max（2）写成向量形式有写成向量

23、形式有:njxxytsyhTjTjTTj,.,2 , 10, 010. .max000, 2 , 1,),(, 2 , 1,),(2121njyyyynjxxxxTpjjjiTmjjjj5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院26其对偶问题为：无约束,0,.,2, 1,.,2, 1,.min1010jnjrrjjnjiijjDprmixxtsyyv（3）5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院27写成向量形式有：写成向量形式有：无约束, 01001

24、jnjjjjnjjyyxxs.t.（4） min, 2 , 1,),(, 2 , 1,),(2121njyyyynjxxxxTpjjjiTmjjjj5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院28njyyyyyyyyyyyyxxxxxxxxxxxxvjpjjjnpnnnppmjjjnmnnnmmD,2, 1,0min00000021212222121121112121222212112111分量形式分量形式5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院29n

25、jyyyyyyyyxxxxxxxxvjpjnpnppjnnmjnmnmmjnnD, 2 , 1, 000min00002211112121112211112121115.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院30当且仅当（D）的目标值1时，决策单元j0 相对于其它决策单元来说是有效的。5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院31经济系统的相对有效性5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信

26、息管理学院32情况情况1（产出方面）：（产出方面）： 一个经济系统如果有可能增加一个经济系统如果有可能增加其中某一产出的数量而不增加任何其中某一产出的数量而不增加任何投入也不减少任何其它产出，那么投入也不减少任何其它产出，那么我们认为这个系统不是有效的。我们认为这个系统不是有效的。5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院33情况情况2（投入方面）：（投入方面）： 一个经济系统如果有可能减少一个经济系统如果有可能减少其中某一投入的数量而不增加任何其中某一投入的数量而不增加任何其它投入也不减少任何产出，那么其它投入也不减少任

27、何产出，那么我们认为这个系统不是有效的。我们认为这个系统不是有效的。5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院34 一个经济系统，当且仅当既不出现情况1也不出现情况2时，我们认为这个系统是有效的。5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院35若干省份相对生产率水平比较若干省份相对生产率水平比较以各省全部独立核算工业企业为对象 安徽 福建 江西 湖北 湖南固定资产 932.66 852.88 583.08 1306.56 936.84流动资金 980.4

28、5 922.83 581.64 1444.30 849.31从业人数 401.8 281.90 294.2 461.00 443.20利税总额 179.29 145.20 49.76 181.41 144.20 总产值 2196.09 1770.54 930.22 2662.21 1659.045.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院36评价江西省相对生产率的评价江西省相对生产率的DEADEA模型模型0, 0, 0, 0, 022.93004.165921.266222.93054.177009.219676.4920.

29、14441.18176.4920.14529.179020.29420.44300.46120.29490.2818 .401064.58131.84930.144464.58183.92245.980008.58384.93656.130608.58388.85266.932min543215432154321543215432154321Dv5.4 DEA 模型Copyright 2009 All Rights Reserved,信息管理学院信息管理学院37评价相对生产率的DEA模型评价相对生产率的DEA模型评价省份评价省份 湖南湖南安徽安徽福建福建江西江西湖北湖北湖南湖南theta-1-1932.66932.66852.88852.88583.08583.081306.561306.56936.84936.84-936.84-119.71-119.71=0 0-1-1980.45980.45922.83922.83581.64581.641444.31444.3849.31849.31-849.310 0=0 0-1-1401.8401.8281.9281.9294.2294.2461461443.2443.2-443.2-88.337-88.337=144.22196.092196.09 1770.5417