【T】上海市2018届高三数学一轮复习专题突破训练：专题：圆锥曲线

1、高中数学上海历年高考经典真题专题汇编专题：圆锥曲线姓名：专题7:圆锥曲线、填空、选择题1、（2016年上海高考）已知平行直线11 :2x + y1 =0,l2 :2x + y + 1 = 0,则l1,l2的距离1、【答案】【解析】试题分析:利用两平行线间距离公式得d 二心二。2| 二上1二1|一 = .a2b2.221252、（2015年上海高考）抛物线 y2=2px （p>0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=2、解：因为抛物线 y2=2px （p>0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,所以上二1,所以p=2.故答案为：2.2222_XV,3、（2014年上海高考）若抛

2、物线 y =2px的焦点与椭圆 一+L=1的右焦点重合，95则该抛物线的准线方程为 .3、【解析】：椭圆右焦点为（2,0）,即抛物线焦点，所以准线方程 x = -242 y24、（虹口区2016届高三三模）右双曲线x b2 _1的一个焦点到其渐近线的距离为2J2 ,则该双曲线的焦距等于4、答案61 2 ,5、（浦东新区2016届高三三模）抛物线 y = - x的准线方程是 45、【答案】y =1【解析】y = _x2= x2 = Yy ,则其准线方程为 y=1422x y*、6、（杨浦区2016届局三三模）已知双曲线 丁L =1 （aw n ）的两个焦点为Fi、F2, P为该双曲线上一点, a

3、 42 2满足| F1F2 | = |PF11 | PF2 |, P到坐标原点O的距离为d ,且5<dc9,则a =6、答案4或927、（虹口区2016届局二二模）过抛物线 x =8y的焦点F的直线与其相交于 A, B两点，O为坐标原点.若AF毋，则ZOAB的面积为 y2 =2x至多有一个公共点，则 k的取值范围是7、答案28、（浦东新区2016届高三三模）直线 y=kx+1与抛物线8、【答案】ou 1,也【解析】由题意知：直线与抛物线的交点个数为0或1个。,y = kx 1 2 2由 2: k2x22k -2 x 1 =0,y =2xk =0 ,显然满足;k 21当k #0时，由0 =

4、0= k =一 ,由图像知:2所以，综上所述，k的取值范围是6）U|l, 122 -Fi、F2是左右焦点，/FFF2=,32X则iFiPFz的面积等于（A. 3a2B.9、（浦东新区2016届局三三模）设 P为双曲线a2 y2 =1（aA0）上的一点,)3 Ip3d2 -33 ac.359、【答案】C【解析】利用“焦点三角形的面积公式"。S=b2cotn,求得面积S = cot4=Y3332210、（崇明县2016届高三二模）已知双曲线 与一与=1 （a >0,b >0）的一条渐近线方程是 y = J3x,它的一个焦点a b 与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的标准

5、方程为 11、（奉贤区2016届高三二模）双曲线 4x2 -y2 = 1的一条渐近线与直线 tx + y + 1 = 0垂直，则t=.22x y12、（虹口区2016届局二二模）如图，A B为椭圆二+3=1（a'bA0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的a b垂线，与其交于点 C.若AB /OC （O为坐标原点），则直线AB的斜率为 .13、（黄浦区2016届高三二模）若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5,最大值为15,则椭圆短轴长为 214、（静安区2016届高三二模）已知双曲线 x2=1（m>0）的渐近线与圆x2+（y+2）2=1没有公共点,m则该双曲线的焦距的取值范围为

6、.一一一 2，、1,15、（静安区2016届高三上学期期末）已知抛物线y = ax2的准线方程是y =,则2=42 x16、（普Bt区2016届高三上学期期末）设P是双曲线42y =1上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为 di,d2, 2则 di d2,一一一，,一，_八，.几山17、（杨浦区2016届高三上学期期末） 抛物线C的顶点为原点O ,焦点F在x轴正半轴，过焦点且倾斜角为 一的 4直线l交抛物线于点 A,B ,若AB中点的横坐标为3,则抛物线C的方程为18、（宝山区2016届高三上学期期末）抛物线y22=12x的准线与双曲线2y ,=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于19、（松

7、江区2016届高三上学期期末）已知双曲线2=1的右焦点与抛物线 y2 =12x的焦点相同，则此双 5曲线的渐近线方程为5A. y = x22.5B. y = 7 x5C. y = -5x3D. y= 3-5 x510、22x -y =141212、13、10石14、(2,4)15、 116、17、y2 二 4x18、3.319、A、解答题2X 21、(2017年上海局考)在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆F:+y4=1, a为r的上顶点，p为r上异于上、下顶点的动点， M为x正半轴上的动点.(1)若P在第一象限，且|OP| = J2,求P的坐标；(2)设P(8,3),若以A、P、M为顶点的三

8、角形是直角三角形，求 M5 5(3)若|MA | = |MP | ,直线AQ与T交于另一点C,且7Q = 2AC ，的横坐标；PQ =4PM ，求直线AQ的方程.【解析】(1)联立(2)设 M (m,0),工十y2=1与x2+y2=2,可得P(竽，等)-* -f832 83MA MP =(-m,1)( -m, ) = m - m =0= 55553 j ,m =或 m = 15r -8 2PA MP =(- ,)5 5838646(-m,)二55525 252920(3)设 P(X0,y。)， 3线段AP的中垂线与X轴的交点即M(-Xo,0) , 8PQ=4PM,. AQ -2AC, . C(

9、-3X0, 4i-3yo)，代入并联立椭圆方程,解得X。=皿5 ， y0 = -1,，Q(，石J), 直线AQ的方程为y = -x+1 99331022、(2017年春考)(12分)已知双曲线 ：直2二二1 (b>0),直线l: y=kx+m (kmO) , l与r交于P、 b2Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线 P'Q与y轴交于点N (0, n) ; (1)若点(2, 0)是r的一个焦点，求 r的渐近线方程；(2)若b=1,点P的坐标为(-1, 0),且NP' 吟Q,求k的值；(3)若m=2,求n关于b的表达式.2解：(1) 双曲线(b>0),点(2,

10、 0)是r的一个焦点,bJc=2, a=1,b2=c2- a2=4 - 1=3,2-. r的标准方程为：J工 =1, r的渐近线方程为 尸土石了.3(2)b=1 , 双曲线 r为：x2-y2=1, P(1, 0), P (1, 0),=l【p :.1，设Q (X2, Y2),则有定比分点坐标公式，得:L_y20_ +工k+f ±亍(3)设 P (xrY1),Q (x2, y2), kPQ=k0,则， ,.，.一.，1.1口乂 uy=kx+2由，2 y2 ，得(b2k2) x2 4kx 4b2=0, r K4k _勺生一b2-k2'勺工2二百彳y=k0 x+n2二三二1,得(b

11、2-kj) x2 -2k°nx -n2 -b2=0,2kgnxi+x2= 22 ,b -k0xix2 =2 k2 一口 一b” > 2, b.、.-4-b2, , xix2= " Vb -k2nb22 i 2，'k0即三b2-k2一ViJ 二一ko 盯-Vl x2-zl k产 b2-k2 kOn -4-b2x , + x I八2化简，得 2n2+n (4+b2) +2b2=0, . n= - 2 或 n=,-2当 n= - 2,由 b 气 =XL_!J_,得 2b2=k2+k02, b -k2 -4-by=k0x-2 /日u ，得.y=kx+24E , 2k+

12、2k0 行 ko-kJr4即 Q -kQ-k2k+2kn-：卢），代入k0-kx2-4=i,化简，得: b2b2r（4+k k。）b 2+4kkQ = C,解得 b2=4 或 b2=kko,2当b2=4时，满足n=J?_,-2.2当 b2=kk0时，由 2b2=k2+k02,得 k=ko （舍去），综上，得 n=J-23、（2016年上海高考） 有一块正方形菜地 EFGH ,EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到 F点或河边运走。于是，菜地分为两个区域 §和& ,其中§中的蔬菜运到河边较近， S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内§和&的分界线C上的

13、点到河边与到 F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 O为EF的中点， 点F的坐标为（1,0）,如图HGF71L.£F x（1）求菜地内的分界线 C的方程8（2）采农从蔬采运量估计出 S面积是S2面积的两倍，由此得到 S面积的“经验值”为一。设M是C上纵坐标3为1的点，请计算以EH为一边、另一边过点 M的矩形的面积，及五边形 EOMGH的面积，并判断哪一个更接 近于S1面积的经验值【答案】（1） y2 =4x （0<y<2）. （2）五边形面积更接近于 §面积的“经验值” .【解析】试题分析：（1）由C上的点到直线EH与到点F的距离相等，知 C是以F为焦

14、点、以EH为准线的抛物线在正方形 EfgH内的部分.(2)计算矩形面积，五边形面积.进一步计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可.试题解析：(1)因为C上的点到直线 EH与到点F的距离相等，所以 C是以F为焦点、以2EH为准线的抛物线在正方形 EFGH内的部分，其方程为 y =4x (0<y<2).(2)依题意，点M的坐标为f1 14,5 11所求的矩形面积为 一，而所求的五边形面积为 一.245 81矩形面积与“经验值”之差的绝对值为5_8 =1 ,而五边形面积与“经验值”之差2 36的绝对值为118 =工 所以五边形面积更接近

15、于 §面积的“经验值” 4 312考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积.4、(2016年上海高考)本题共有 2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.2-,2 y双曲线x 二18 >0)的左、右焦点分别为 Fp F2,直线l过F2且与双曲线交于 a、B两点。b冗(1)若l的倾斜角为 2, AF1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b =，3,若l的斜率存在，且(F1A+ F1B) AB = 0 ,求l的斜率.【答案】(1) y=±J2x. (2) 土典.5【解析】试题分析：(1)设A(xA,yA).根据是等边三角形，得到4(1 + b2 )=

16、3b4 ,解得b2 .(2) (2)设 A(x1,y1)，B(M,y2 ),直线l : y = k(x2 )与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据 l与双 曲线交于两点，可得 k2 3卉0 ,且A = 36(1+k2 )>0 .设AB的中点为M (如,y.).由缶6+R日卜AB' =0,计算F1M,n=0,从而k. k = T .得出k的方程求解.试题解析：(1)设A(x盘 丫4).由题意，F2(c,0 ), c = Ji + b2 , y；=b2(c21 ) = b4,因为AFAB是等边三角形，所以 2c = J3|y/， 242即 4(1 +b ) = 3b ,解得 b =

17、2 .故双曲线的渐近线方程为 y = ±72x .(2)由已知，F1(2,0 ), F2(2,0 ).设 A(x1, y1 ), B(x2,y2 ),直线 l : y = k(x -2 ).显然 k #0 .2|x - '二12_222_由3 ，得(k 3 )x -4k x +4k +3 = 0 .y=k x-2因为l与双曲线交于两点，所以 k2 3=0,且A = 36(1 + k2 )>0.设AB的中点为M (xpyM ).由(F1K+F1B bAB =0即 F1M. AB =0,知 F1M _LAB ,故 kF. k =1 .由x1 x22k21c 6kl3k而 x

18、M = =7? yM = k(xM-2)=；73 kFM = 7T?2 k - 3k 32k 3. 3k1 2315所以2k = -1 ,得k = 一，故l的斜率为±2k2 -3555、(2015年上海高考)已知椭圆 x2+2y2=1,过原点的两条直线11和12分别于椭圆交于 A、B和C、D,记得到的平行四边形 ABCD的面积为S.(1)设A (x1，y1)，C (x2, y2),用A、C的坐标表示点 C到直线l1的距离，并证明 S=2|x1y2- x2y1|;(2)设l1与l2的斜率之积为-求面积S的值.7y,解：(1)依题意，曾爰h的方程为由点到直线间的距离公式得：点C到直线k

19、的距离盯2If A21因为AB =?月2+y 所以s= "铝同式-; v(2)设直线勒配则直线上的斜率为微设直线11的方程为卢或，暇立方程组亭区门 ,消去y解得上41,蓑42yzi竟+2/根据对称性，设XI同理可得有=所以£=2|过白-心抑=V26、(2014年上海高考)在平面直角坐标系 xOy中，对于直线l: ax + by+c = 0和点P(x1 , y1) , F2(x2 , y2),记 n =(ax +by1 +c)(ax2 +by? +c).若“<0,则称点P , P2被直线l分割.若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点Pi , B被直线l分割，则称直

20、线l为曲线C的一条分割线. 求证：点A(1,2), B(1, 0)被直线x + y1 = 0分割;(2)若直线y =kx是曲线x2 -4y2 =1的分割线，求实数 k的取值范围;(3)动点M到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1 ,设点M的轨迹为曲线 E.求证：通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E的分割线.【解析】：(1)将 A(1,2), B(1,0)分别代入 x + y1,得(1+21产(1 1) = 4<0点 A(1,2), B(1,0)被直线 x + y1=0分割x2 -4y2 =1 /口22(2)联立« y ，得(14k2)x2 =1,依题意，方程无解, y

21、= kx. 2 一 .1,11 -4k W 0 . . k W 或 k 之一22(3)设 M (x, y),则 Jx2 +(y 2)2|x| = 1 ,曲线E的方程为x2 +(y 2)2x2 =1当斜率不存在时，直线 x=0,显然与方程联立无解，又P(1,2), F2(1,2)为E上两点，且代入x=0,有狗=1<0,. x=0是一条分割线；当斜率存在时，设直线为y =kx ,代入方程得：(k2 +1)x4 4kx3 +4x2 -1=0 ,令 f(x) =(k2 +1)x4 4kx3+4x2 -1 ,贝U f (0) = 1 ,2_2一22f (1) = k2 +1-4k+3 = (k-2

22、)2, f(1) = k2 +1+4k +3 = (k +2)2 ,当 k02 时，f(1)>0,f(0)f(1)<0,即 f(x) = 0 在(0,1)之间存在实根，y =kx与曲线E有公共点当k=2时，f (0)f (-1)<0 ,即f(x)=0在(1,0)之间存在实根，y =kx与曲线E有公共点直线y=kx与曲线E始终有公共点，不是分割线，综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线x = 0是E的分割线22x y7、(虹口区2016届局三二模)已知直线y=2x是双曲线C :二=1的一条渐近线，A(1,0)、M(m,n)(n#0) a b都在双曲线C上，直线AM与y轴相

23、交于点P,设坐标原点为 O.(1)求双曲线C的方程，并求出点 P的坐标(用m、n表示)；(2)设点M关于y轴的对称点为N ,直线AN与y轴相交于点Q .问：在x轴上是否存在定点 T ,使得TP 1TQ ?若存在，求出点 T的坐标；若不存在，请说明理由.(3)若过点D(0,2)的直线l 与双曲线c交于r s两点，且OR+OS|=|RSl试求直线l的方程.(第22题图)ia =1,“ ，口a=1° J解：(1)由已知，得化 二« 故双曲线C的万程为x2上13分一 =2b = 2,V .、a'；AM =(m 1,n)为直线AM的一个方向向量，二.直线AM的方程为 2二1

24、= _y,它与y轴的交点为P(0,L).5分m -1 n1 -m(2)由条件，得 N(m, n),且AN =(_m _i,n)为直线AN的一个方向向量，故直线AN的方程为 上二L = y，它与y轴的交点为Q(0, -).7分一m 1n1 m假设在x轴上存在定点T(Xo,0),使得TP _LTQ，则n由 TP =(xo,), TQ =( -X0,m -1MM/ n、TP TQ = ( -x0 ,) ( -x0,m -1n 、2m 1) =X0n2),及 mm 12一上=1,得42n22, X0m -12n故=±2,即存在定点T,其坐标为(2,0)或(-2,0),满足题设条件.10分(3

25、)由|OR+OS|RS|知，以OR、OS为邻边的平行四边形的对角线的长相等，故此四边形为矩形，从而OR _LOS.12分由已知，可设直线l的方程为y=kx+2,并设R(x1,y) S(x2, y2),y = kx -2, 则由 J 2 得(k (1 n) -1 -4) x2+4kx+8 = 0.2 y x - T, 4由 =16k2 -32( k2 -4) =16(8 -k2) > 0,及 k2 4 # 0,得 k2 < 8 且 k2 # 4(*)由 xi +x2 = -r-,xiX2 =8, y1 y2 =(k xi +2)( k x2 +2),14分k -4k -4 -q .

26、2 .q. 2. 2 o、得 OR OS = x1x2，y1y2 =(k2 1)x1x2 -2k(x1 x2) -4 =2- 2- 4 =2=0k - 4 k - 4 k - 4故k2 =2,符合约束条件(*).因此，所求直线l的方程为y =±怎 +2.16分22228、(黄浦区2016届高三二模)对于双曲线 C(ab):与4=1 (a,b >0),若点P(Xo,yo)满足，鸟 <1,则a ba b22称P在的C(ab)外部；若点P(x0, y0)满足，鸟>1,则称P在&6的内部；a b，(1)若直线y=kx+1上的点都在C(1,1)的外部，求k的取值范围；

27、222 ,(2)右C(ab)过点(2,1)，圆x +y =r (r >0)在C(a,b)内部及C(a,b)上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求 b、r满足的关系式及r的取值范围；(3)若曲线|xy| =mx2 +1(m>0)上的点都在 售小)的外部，求 m的取值范围；2222斛(1)由题息，直线 y =kx十1上点 瓜妆。+1)满足x -y <1 ,即求不等式x0(kx0+1) <1的斛为一切头数时k的取值范围.(1分) 对于不等式(1 -k2)x2 -2kx0 -2 <0 ,当k =±1时，不等式的解集不为一切实数，(2分)2于是有J1-k <

28、;0,解得|k|>M."： =4k2 8(1 -k2) <0,故k的取值范围为(-00,_应)5，2, y). (4分)x、 y(2)因为圆x2+y2=r2和双曲线。(北)均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及轴正半轴的情况.它们交点的坐标为由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧,将x=g工，y=中代入双曲线C(a,b)方程，得2a2 2b241又因为C(a b)过点(2,1),所以F-w=1, (7分) a b将a2由b24b2b2 13r2代入(*)式，得r28b2方.(9分)b2 -3r2 -8>0,解得r2>8.因此，r

29、的取值范围为(2石,土叼.(10分)(3)2 . 一1.1. . x2 y2由 |xy 尸mx +1 ,得 | y 尸m| x| 十一 .将 | y 尸m| x | 十一 代入-2 <1 ,|x|x| a b1 1片2 m|x|+rx7 /由题设，不等式 一2凶,<1对任意非零实数 x均成立.(12分)ab2其中x2am|x|b2L2 1.2|x | i 222 2a _ 2 ,._L2_=_(b -a m )x 一 一2am.a bx令x22=t,设 f (t) =(b2 a2m2)t2a2m , (t>0).当b222-a m >0时，函数f(t)在(0,-hc)上单调递增，f(t)<i不恒成立；(14分)当b22-a2m2 <0时，(b2 -a2m2)t-2d(a2m2 b2)a2 ,函数f (t)的最大值为 -2J(a2m2 -b2)a2 -2a2m ,因为m >0 ,所以2、(a2m2 - b2)a2 - 2a2m<0<1 ; (16 分)2当 b222_22 22 2(b -a ki )x -2a kilx -a b -a l =0. a2m2 =0时，f (t) =；2a2m<0<i . (17 分)综上，b2 -a2m2