《常微分方程》课程教学大纲

1、常微分方程课程教学大纲（数学类各专业）泉州师范学院理工学院数学专业2008 01 20（修订）常微分方程课程教学大纲学 时 数：68（其中讲授52 学时，习作课16 学时）适应专业：数学类各专业先修课程：数学分析 高等代数解析几何一、课程的地位、性质和任务：该课程是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门必修的专业基础课，也是数学联系实际的最重要的一门课程。通过本课程的学习，使学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生应用数学知识解决实际问题的初步能力和创新精神， 而且为后继的数学专业各课程准备解决问题的方法和工具，更是通向物理、力学、

2、经济、金融等学科和工程技术的桥梁，为学生今后进一步学习和研究打下基础。二、课程教学的基本要求：该课程在数学类各专业的第四学期开设，每周 4 课时，总学时数为 68 课时。课堂上重点讲授常微分方程的基本概念、基本理论和研究的主要方法，重视把基本理论和主要方法应用于实际问题的研究。习题课上注重基本解题能力的训练，配备一定数量的习题训练与讨论，并注意基本理论的应用与提高。配备一定数量的课外作业以配合课堂教学，通过适量的课后练习，使学生充分理解并熟练掌握有关课堂教学内容。教学中应重视介绍来源于实际的有关例子与问题， 以培养学生应用数学知识解决实际问题的意识和创新精神。三、课程主要内容及学时安排:课时分

3、配表教学内容授课时数习作课时数其他（一）绪论（4学时）40（二）一阶微分方程的初等解法（14学时）104（三）一阶微分方程解的存在定理（10学时）P 82（四）高阶微分方程（12学时）104（五）线性微分方程组（12学时）104（六）非线性微分方程和稳定性（12学时）102合计5216（一）、绪论（讲授4学时）1、教学要求：正确理解基本概念，了解微分方程来源于生产实际及其基本模型，了解常微分方程所要讨论的基本问题以及一阶微分方程解的几何意义。2、教学内容：（1）实际问题导出微分方程模型举例；（2）基本概念：常微分方程与偏微分方程；微分方程的阶；线性与非线性；微分方程的解；特解与通解；初始条件；

4、初值问题；（3） 一阶微分方程的几何意义、方向场、积分曲线；（4）常微分方程所讨论的基本问题及近代发展简介。（二）、一阶微分方程的初等解法（讲授 10学时，习作课4学时）1、教学要求：熟练地求解变量分离方程、齐次方程（可化为齐次方程的方程）、线性方程、伯努利方程、恰当方程；掌握一阶隐式方程的几种可求解类型；初步会用变量变换思想与积 分因子技巧解一些复杂的方程。2、教学内容：（1）变量分离方程与变量变换；（2）线性方程与常数变易法；3）恰当方程与积分因子；（ 4）一阶隐方程与参数表示；（ 5）一阶微分方程应用举例。（三） 、一阶微分方程的解的存在定理（讲授8 学时，习作课2 学时）1、教学要求：

5、掌握解的存在唯一性定理；掌握逐步逼近法；理解解的延拓定理；了解解对初值的连续性和可微性定理；熟悉奇解概念，了解奇解的求法。2、教学内容：（ 1）解的存在唯一性定理与逐步逼近法；（ 2）解的延拓；（ 3）解对初值的连续性和可微性定理的内容；（ 4）奇解与包络。（四） 、高阶微分方程（讲授10 学时，习作课4 学时）1、教学要求：掌握线性方程解的性质与结构；理解函数组线性相关性概念与性质；掌握常数变易法；熟练掌握常系数线性方程的解法；掌握高阶方程的降阶法；了解幂级数解法。2、教学内容 ：（ 1）线性微分方程的一般理论；解的存在唯一性定理的叙述；函数组的线性相关性；伏朗斯基行列式；齐线性方程解的性质

6、与结构；非齐次线性方程解的性质；通解与常数变易法。（ 2）常系数线性方程的解法：复值函数与复值解；常系数齐线性方程的基本解组的欧拉待定指数函数法；非齐线性方程的特解的比较系数法。（ 3）欧拉方程；二阶方程的幂级数解法；（ 4）质点振动；（ 5）高阶微分方程的降阶法；（ 6）高阶微分方程应用举例。（5） 、线性微分方程组（讲授10 学时，习作课4 学时）1、教学要求：理解线性微分方程组解的存在唯一性定理；掌握线性方程组解的性质与结构；掌握常数变易法；掌握基解矩阵的概念及性质；掌握常系数线性微分方程组的解法。2、教学内容：（ 1）高阶线性方程（组）与一阶线性方程组的关系；（ 2）基本概念；一阶线性

7、方程组的矩阵形式；（ 3）解的存在唯一性定理；（ 4）线性微分方程组的一般理论：齐次线性方程组解的性质和结构；向量函数组的线性相关概念与性质；伏朗斯基行列式；基本解组；基解矩阵；非齐线性微分方程组解的性质与结构；常数变易法。（ 5）常系数线性微分方程组的解法；矩阵指数expA 的定义和性质；基解矩阵的计算。（6） 、非线性微分方程（讲授10 学时，习作课2 学时）1、教学要求：理解基本的概念和方法，初步了解稳定性理论和定性理论。2、教学内容：（ 1）李雅普诺夫意义下的稳定性概念；（ 2）按线性近似决定微分方程组的稳定性；（ 3） V 函数方法；（ 4）相平面、轨线、奇点及其分类；（ 5）极限环

8、和平面图貌；5）微分方程组应用举例。四、使用教材及参考书目1、教 材： 常微分方程 ，第三版，王高雄等编，高等教育出版社，2006；2、 参考书： 1、 常微分方程 ， 第 2 版， 东北师大数学系编， 高等教育出版社， 2005；2 、 常微分方程讲义 ，第 1 版，王柔怀、吴卓群编，人民教育出版社；3 、 常微分方程习题集 ， 第 1 版， 周尚仁等编， 人民教育出版社，1980。五、教学方法的原则性建议：本课程的教学重点为一阶常微分方程的初等求解， 解的存在唯一性定理与解的延拓定理，常系数线性高阶方程的求解与常系数线性方程组的求解，奇点分类及微分方程组的稳定性分析。 难点在于处理微分方程问题的思想方法的培养和应用上。 在教学方法上，建议采用精讲多练的教学手段， 有目的地让学生预先预习， 在课堂上鼓励学生提出问题，然后采用讨论、答疑的手段，让学生充分理解本课程的基本概念和基本方法。六、考核方式及成绩构成考核方式：本课程采用闭卷笔试的考核方式，命题要求全面覆盖教学内容，重点考核一阶常微分方程的求解，存在唯一性定理与延拓定理，常系数线性高阶方程的求解，常系数线性方程组的求解，奇点分类及微分方程组的稳定性分析。成绩构成：平时30%（期中检查20%，作业10%） ，学期考试70%。七、说明：1、本大纲