五年级奥数时钟问题

1、8.五年级奥数讲义：时钟问题第八讲时钟问题时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.钟面的一周分为60格.当分针走5Q格时，时针正好走曲.所以时针的速度是分针的36。=2分Ji /针每走6U+ （1占）=651（分,与时针重合一次时钟问题变化多端, &O 11也存在着不少的学问.这里列出一个基本公式：在初始时刻需迫赶的格数一d4> =追及时间（分件），其中，1J为分针每分钟比时针多走的格数“例1现在是3点，什么时候时针与分4卜第一次重合？T分析3点时分钟指13时针指3.分针在时针后5乂3二L5 （个）格.每分钟分针比时针多走Q-1）格.要使分针与时针重合，即使分针比时针多走1招

2、需要1A （1-） =16言 钟）所以，所求的时刻应为3 1 U1 14点16元分。W； 15-=16白（分钟）1 uL 1答；所求的时刻应为3点16分，例Z在10点与11点之间.钟面上时针和分针在什么时刻垂直7分析分两种情况进行讨论.在顺时针方向上分针与时针成27/旬.在I暝时针方向上当分针与时针成270。时，分针落后时针60乂（270 + 360）=45 （个）格，而在10点整时分针落后时针5X10=50 1个）格.因此，在 这段时间内，分针要比时针多走50-45二5 （个）格，而每分钟分针比时针多走Q-3）个格，因此由基本公式，到达这一时刻所用的时间为: 5-（1$）=* （分钟）。在顺

3、时针方向上分针与时针成9。角：在顺时针方向上当分针与时针成90。角时，分针落后时针60X（90+ 360）=15（个）格，而在10点整时分针落后时针5X10二50 （个）格，因此在这 段时间内，分针要比时针多走50-15二35 （个）格，所以到达这一时12刻所用的时间为：35+ （1*）=3哈（分钟）。解：在顺时针方向上当分针与时针成270。角时：5X10-60X（270- 360）+ （1-）（分钟。在顺时针方向上当分针与时针成91角时；125X10-60X（90 + 360）* （1-） =38-（分钟）。JL 乙BJL 1答：所求时刻为10点哈分和1。点3哈分。例3在9点与10点之间的什

4、么时刻，分针与时针在一条直线上?分析分两种情况进行讨论,分针与时针的夹角为180。角；当分针与时针的夹角为180。角时，分针落后时针60X （180-360）=30 （个）格，而在9点整时，分针落后时针5xg=45（个）格.因此，在这段时间 内分针要比时针多走45-30:15 （个）格，而每分钟分针比时针多走（14）个格，因此，到达这一时刻所用的时间为：15 + （1-）=16白 1乙A乙L JL（分钟）。分针与时针的夹角为0。，即分针与时针重合：9点整时，分针落后时针5X9=45 （个）格，而当分针与时针重合时，分针 小匕时针多走45个格，因此到达这一时刻所用的时间为；45-（1-y） =4

5、9（分钟）JL L解：当分针与时针的夹角为180°角时：5X9-60X（180-360）+（1.=吟（分钟）。当分针与时针的夹角为0。即分针与时针重合时：5X9 +。-白）=49（分钟）。答；所求时刻为9点162分和9点49分。例4小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解 完题时两针正好重合，小明解题的起始时间？小明解题共用了多少时间？分析要求小明解题共用了多少时间，必须先求出小明解题开始时是什么 时刻，解完题时是什么时刻。小明开始解题时的时刻：因为小明开始解题时，分针与时针正好成一条直线，也就是分针与时针的 夹角为180° ,此时分针落后时针60

6、X （180360）二30 （个）格，而7点整时 分针落后时针5X7= 35 （个）格，因此在这段时间内分针要比时针多走35-30 = 5 （个）格，则这一段时间为：5-（1-） = 5 （分钟）所. 以小明开始解题时是7点舄分。小明解题结束时的时刻，因为小明解题结束时，两针正好重合，那么从7点整到这一时刻分针要 比时许多走5乂7 = 35 （个）格，因此这一段时间为；充= ?哈（分9钟）.所以小明解题结束时是7点38亮分。这样小明解题所用的时间就可以求出来了Q解；先求小明开始解题的时刻;5X7-60X180 + 360）一=51（分钟），所以小明开始解题时是7点彳分。再求小明结束解题的时刻；

7、1225X7+。5）=38 （分钟），所以小明结束解题时是7点38a分 L jL I1 X最后求小明解题所用的时间：7点3哈分一7点不分=32（分钟）管：小明解题共用了32V分钟。例5 一只钟的时针与分针均指在4与6之间，且钟面上的“5”字恰好在时针与 分针的正中央，问这时是什么时刻？分析由于现在可以是4点多，也可以是5点多，所以分两种情况进行讨 论：先设此时是4点多:4点整时，时针指4,分针指12.从4点整到现在“5在时针与分针的正中 央”，分针走的格数多于25,少于30,时针走不足5格.由于5到分针的格数等 于5到时针的格数，所以时针与分针在这段时间内共走30格.又由于时针的速度是分针的白

8、，所以从4点整到上图（a）钟面上这种状态共用了： 1乙30-。+ 得）=27,（分钟），1乙1D所以这时是4点27（分。再设此时是5点多：出，号吃全嘉分步削2.从5点整到现在“5在时针与分针的正中 鬻翁蠢郡蜉所以时针与分针在这晶'儡叁5智刷19这种状态共用了25 + （1+*） =235（分钟）。 JI 乙A J所川匕时是5点23福分。解；如果此时是4点多，则从4点整到上页图（a）钟面上这种状态共用，30* （1 + 卷）=27-（分钟）e 141 D如果此时是5点多，则从5点整到上页图（b）钟面上这种状态共用;25- （1十焉）=23焉（舟恒。因此，这时可以是4点27/分，也可以是5

9、点231分。例6 一只旧钟的分钟和时针每65分钟（标准时间的65分钟）重合一次,问这只 旧钟一天（标准时间24小时）慢或快几分钟？分析前面己知标准钟每65亮标准分钟时针、分针重合一次.旧钟每65分钟重合一次，显然旧钟此本题的难点在于从旧钟两针的重合所耗用的65标 准分钟推算出旧钟时针或分针的旋转速度（每标挂分钟旋转多少格），进而推 算出旧钟的针24标准小时旋转多少格，它与标准钟的针用24标准小时所走的格 数的差就是旧钟钟面上显示的比标准钟快的时间读数。设旧钟分针每标准分钟走汉格那么，每走1格用1标准分钟.如用复合 X单位表示：旧钟分针速度为X （格/标准分）.旧钟分针走60格时针走5格，时针速

10、度总是分针的卷，所以旧钟时针速度为森（格/标准分）,每次重合 耗用65标准分钟，而且两次重合之间分针赶超了前针60格，列方程：60 (x - -yx) = 65。14解此方程，黑如,得一台等标准时间一天有60乂24=1440标准分，一天内日钟分针走的格数为:19X19H X 60x 24但是我们只须求出旧钟分针比标准钟分针多走了多少格，即 16X J112X1?减去1440个(标准钟的)格，所以有M60X2H 60X21 15X11(12x12 144 743= 6-1 x 60 x 24 =><60x24 13x1113x11602410 人裕找、但读者一定明白，这10捐只是旧钟

11、上显示的多走的格数，也是旧钟的非 标准分钟数.并非标准的分钟数9解：设这只旧钟的分针用标准时间1分钟走X格，则旧钟的时针速度为焉X格/标准分614根据旧钟的时针与分针每重合一次耗用65标准分钟，列方程得，60 +3幺)=65, 1乙标准时间一天有60 X 24标准分,标准时间一天内旧钟分针走的格数为:144区1Ts 2电这只旧钟的分针标准时间一天所走的格数与标准钟分针一天走的格数差 却14410X60X260X24 = 10-（旧钟格）。答：这只旧钟在标准时间一天内快10工分钟（按旧钟上的时间）O143五年级奥数讲义下：时钟问题习题习题A1 .在6点和7点之间，两针什么时刻重合？2现在是2点1

12、5分，再过几分钟，时针和分针第一次重合？3 2点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？工在7点与8点之间（包含7点与8点）的什么时刻，两针之间的夹角为 1200 ?5,在1Q点与11点之间，两针在什么时刻成一条直线？6, 一旧钟钟面上的两针每66分钟重合一次，这只旧钟在标准时间的一天中 快或慢几分钟？，李叔叔下午要到工厂上3点的班.他估计快到上班时间了，到屋里看钟， 可是钟早在12点M分就停了.他上足发条后忘了拨针，匆匆离家，到工厂一看 离上班时间还有10分钟.冽、时工作后夜里11点下班，李叔叔回到家里，一看钟 才9点整.假定他上班和下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多长时 间？五年级

13、奥数讲义：时钟问题习题解答习题八解答1 .解：在6点整时，分针落后时针5X6= 30 （个）格，到分针与时针 重合时.分钟要比时针多走30个格，而每分钟分针比时针多走Q.白）个 格，所以到达这一时刻所用的时间为：30+ （1 .3）=32（分钟）.因此J M1 1所求的时刻为6点32得分。答：在6点322分时分针与时针重合。2 .解：在2点整时，分针落后时针5X2= 10 （个）格，到分针与时针重合 时，分针要比时针多走10个格，所以到达这一时刻所用的时间为；10 +（1-磊）=1哈（分钟），因为畔场 所以2点吗分不是所求的 时刻.现在看3点整时，分针落后时针5X3=15 （个）格，到分针与时

14、针重合针 时，分针要比时针多走15个格，这样到达这一时刻所用的时间为：4 .解！当分针落后时针而与时针成120。角时，当分针落后时针而与时针成120。角时，分针落后时针60乂 （120-360） = 20（个）格，而7点整时分针落后时针5X7=351个）格，因此在这段时间内 分针要比时针多走3520二15，个）格，所以到达这一时刻所 用的时间为：15- （14）=16 （分钟）.因此，在7点吟分时，两针 之间的夹角为120。°当分针超过时针而与时针成120。角时：当分针超过时针而与时针成120。角时，分针超过时针20格，而7点整时分 针落后时针35格，因此在这段时间内分针要比时针多走

15、35十20二55 （个） 格，所以到达这一时刻所用的时间为，乃。白）=60 1分钟）.因此， 在7点60分即8点整时，两针之间的夹角为120。°答：在7点16（分与8点整时，两针之间的夹角为120。°5 .解，当分针与时针的夹角为180。角时：当分针与时针的夹角为180。角时，分针落后时针60X （180360）二30 （个）格，而10点整时分针落后时针5X 10=50 （个）格，因此在这段时间内分 针要比时针多走50-30=20 （个）格，所以到达这一时刻所用的时 间为：20 +。1）=2+ 1分钟）.因此在10点2斗分时分针与时针在 14A JL1条直线上。当分针与时针

16、的夹角为0。即分针与时针重合时:1。点整时分针落后时针5。个格，因此当分针与时针重合时分针要比时 针多走50个格，所以到达这一时刻所用的时间为：50-（1-） = 54 （分 钟）.因此在10点54微分时分针与时针在一条直线上。96答：在10点215分与10点545分时分针与时针在一条直线上。6 .解：设旧钟在分针用标准时间1分钟走x格，则旧钟的时针速度为Jx1乙格衍准分。根据旧钟的时针与分针每重合一次耗用66标准分钟，列方程得：60-Cx-X)=66, 1乙190标准时间一天有60X24标准分，标准时间一天内旧钟走的格数为：崭X 60 乂 24格。则这只旧钟标准时间一天慢:12010960义24 愣义60义24 = 11署（旧钟格），答，这只旧钟在标准时间一天内慢11言分钟（按旧钟上的时间）67 .解法1：依题意，钟停的时间与上班路上用的时间之和为：14点50分-12 点10分二160 1分钟）.钟信的时间与下班路上用的时间之差为：11点-9点=120（分钟）;因