介观物理讲义

1、介观物理讲义第一章 介观物理的特征长度和基本概念1.1 什么是介观系统1.2 费米波长、费米面和态密度1.3 平均自由程1.4 位相相干长度1.5 弹性和非弹性散射1.6 扩散区和弹道区1.7 低磁场磁阻和漂移率第二章 量子输运和 Anderson 局域化2.1 Anderson局域化和 Mott迁移率边2.2 局域化区的热激发电导2.3 Thouless表象和导线中的局域化及有限温度效应2.4 局域化的标度理论2.5 弱局域化2.6 退相干的基本原理第三章输运中的量子干涉效应和Landauer-B uttiker公式3.1 电导和透射几率3.2 S 矩阵3.3 多通道 Landauer-B

2、ttiker 公式3.4 多端 Landauer-B ttiker 公式和 Onsager-Casimir对称性3.5 量子电阻的串联和一维局域化3.6 量子电阻的并联和电导的 Aharonov-Bohm 振荡3.7 普适电导涨落3.8 正常金属环中的持续电流第四章 弹道输运和库仑阻塞4.1 电子的弹道输运4.2 库仑阻塞4.3 量子点中的库仑阻塞4.4 共振透射和Kondo效应第一章 介观系统的特征长度和基本概念1.1 什么是介观系统对于宏观导体， 在保持外界条件不变的情况下，把它分成两块，每一块的物理性质，如温度、比热、电导率等，应保持不变。这已为大量的实验所证实，并在此基础上建立了普通物

3、理学、 热力学和统计物理等。 我们可以一直这样分割下去而保持每一个子系统有相同的物理性质吗？现代物理学告诉我们，答案是否定的！在接近于粒子的de Broglie波长的微观尺度内，粒子具有波-粒二象性，它的坐标和动量， 能量和时间满足测不准原理。 经典意义上的粒子的轨道的概念失去意义，而用状态波函数来描述粒子的传播。一般情况下， 粒子的状态波函数由两部分组成， 一部分是它的振幅，其平方表示粒子在该点出现的几率，另一部分是它的位相，表示粒子的量子相干，一般情况下它是时间和坐标的函数。位相的出现有其深刻的物理含义， 而不是数学上的一个简单相因子， 它表征粒子内在的波的本性。 由此我们可以观测到电子的

4、干涉和衍射现象。 然而粒子的量子行为随着系统尺度的增大、 大量粒子的热运动及与杂质的散射破坏了粒子的量子相干性而迅速消失，这就是为什么除超导、超流和量子Hall 效应等外，我们观测不到一般宏观系统的量子现象。根据 Ohm 定律，一个长方体导体的电导与它的横截面积S 成正比而与它的长度 L 成反比：G S/L这里电导率6只与导体的内部性质有关，而与导体的大小形状没有关系。人们非常关心在什么样的尺度下这个关系不再成立， 因为在微观尺度下， 如接近于粒子的 de Broglie 波长，粒子的量子行为将显现出来。在应用固体理论和统计物理研究宏观系统的物理性质时，通过取热力学极限（取系统的体积Q和粒子数

5、N趋于无穷大，而保持粒子数密度n=N/Q为常数）而得到系统的物理性质。除了在系统的连续相变点外， 系统的宏观尺度远大于任何表征粒子量子行为的微观特征长度，因此系统的量子行为很难被观测到。 80 年代中期随着科学技术的发展和微加工技术的进步， 实验上可以制备出接近微观特征长度的样品， 这样观测和测量系统的一些重要的量子行为变成可能。尺度介于宏观和微观的系统称为介观系统。更确切地说，尺度接近下面所定义的， 表征粒子量子行为的特征长度的系统称为介观系统。 如果一个导体它的电导满足 Ohm 定律，它的尺度必须远大于下面三个表征粒子量子行为的特征长度中的任何一个：（1）在费米面（Fermi sufac附

6、近的电子的de Broglie波长 f；（ 2）平均自由程（ mean free path） ，它表示占据初始动量本征态的电子被散射到其它动量本征态之前电子所传播的平均距离； （ 3 ）位相相干长度L （ phasecoherence length） ，它表示占据某一个本征态的电子在完全失去位相相干前所传播的平均距离，它一般由电子与其它电子、声子和杂质等的非弹性散射所决定。这些特征长度对温度和外磁场有很强的依赖性， 并且对不同的材料有很大的变化范围。正因为如此，我们可以在一个很大的范围内观测到不同于宏观（经典）输运的介观输运现象。在介观输运现象中，很多在经典输运中的原理不再有效， 如串连的电阻

7、不满足相加原理和并联的电导也不满足相加原理等。 如图 1 所示， 是 最point contacts(b)常用的、研究量子点的输运性质的的装置。1.2费米波长、费米面和态密度为了引入一些基本的物理概念， 去正电荷背景和离子的品格结构。 考虑单电子薛定诸(Schr?dinger)我们考虑一个有限尺度的自由电子气系统而略 在这种情况下，电子是相互独立的，我们只需 定态方程22m 2 k(x)k k(x)(1.1)假定系统是一长方体并具有周期性边界条件,且其长、宽、高分别为Lx、Ly和Lz。电子的波函数是平面波k(x) LxLy Lik xez(1.2)本征能量为(1.3)2k22m这里k是电子的波

8、矢量，由它所构成的空间称为电子的相空间或 k-空间。如图2,一个最简单的长方体金属导体。电子的动量可表小为kx2 nxx"LT'ky(1.4)这里nx, nv, nz是整数，每一组 x y znx,ny, nz表示电子的一个动量本征态。由上式可以看出单位相体积内的状态数是(1.5)为了简单起见，我们取 Lx Ly Lz L ,这里d表示系统的维数。对于上面的情况d 3。每一个由波矢量k表示的本征态可以占据两个电子（自旋自由 度），在绝对零度，电子首先占据能量最低的本征态，被占据的最高的本征态的波矢量称为费米波矢量，用k f表示，对应的动量和能量分别称为费米动量kf一 一,一2

9、k212一 和费米能量EF巳 -mv2 ,这里VF是费米速度。对于一般的系统，F 2m2F自由电子（传导电子或价电子）数 N非常大，在绝对零度，它们所占据的相空 间基本上是一个球体（d=3）、一个圆（d=2）或一个由费米波矢量确定的区间kF , kF （d=1）,因此波矢量的变化可以看成是连续的。费米面（Fermisurface）就是由费米波矢量所定义的相体积的表面或边界。对于一维电子气它是两个点；二维电子气它是一个圆； 而三维电子气它是一个球面。 在零温费米面内的态被全占据，而费米面外的态是空态。我们以后会经常遇到表示系统的输运性质的物理量 stated,它的定义是单位能量内的电子的状态数一

10、态密度(density ofN()x d"2 dL d kd 1dk2 d(1.6)这里因子 2来源于电子的自旋自由度,e是电子的能谱。对于自由电子2k2,。是立体角，对于球对称的系统,2m1 (d=1),因此我们得到4 (d=3),2 (d=2),N()(1.7)另外一个经常用到的物理量是单位体积单位能量内的状态数 (通常也被称为态密 度，要注意两者的区别)，它定义为n( ) N( )/Ld。图3给出一个二维的简 单示意图。表征介观系统的一个重要的特征长度是电子的费米波长F 2 /kF。当系统的尺度接近费米波长时，量子涨落非常强； 当尺度远大于费米波长时，粒子的 量子涨落相对较弱，

11、它的量子相干性很容易受到破坏。费米波矢量与电子密度的 关系为之3(2 )3 3(2 )2kF2 2.(d 3)(d 2)(d 1)(1.8)对于一般单元素金属，如铜、铝、镁等，导带电子密度一般在 1022/cm3的量 级，因此费米波长在几个？ (1?= 1.0 10 8cm) (angstrom)的量级。在半导体 GaAs/AlGaAs异质结的二维电子气，电子具有很高的迁移率，其费米波长可以达 到 F 400?。根据电子的费米波长，我们可以定义系统的有效维数：(1) F <<Lx, Ly, Lz :三维(2) f LxvvLy, Lz :准二维(3) Lx<< f &l

12、t;<Ly, Lz :二维(4) Lx<<Ly f <<Lz:准一维(5) Lx, Ly<< f<<Lz: 一维(6) Lx, Ly, Lz f ： 0 维在零维，系统变成一个量子点(quantum dot),电子间的库仑相互作用变得非常 重要，从系统中移去或加进一个电子需要的特征能量是Ece2 / L ,这里L是系统的有效尺度。这个有效维数的定义一般认为是在电子输运的弹道区，而在通常的量子扩散区，系统的有效维数要由位相相干长度来确定，即上面的费米波长F用位相相干长度L代替。我们现在定义一个后面经常用到的量-横向模(transverse m

13、odes)或通道(channels),它类似于固体理论中的能带。考虑一个无穷长的细导体，Lx,Ly<<Lz,根据(1.4)式，电子的纵向波矢量是连续的，而横向波矢量是分立的。22ny( kz)2Ly 2m(1.9)由(1.3)式，电子的能谱可表示成2 n 2Enx,ny(k) 1y 2m Lxx在横向，电子的传播受到制约，而在纵向，电子以平面波的形式传播。图 4是 个简单的示意图。界=I 2 3/这样电子的能谱劈裂成一系列子能带(subband§,这些子能带被称为电子的横向模式或通道数，它们用量子数n、和nv来标记。注意这里的横向模式或通道与 x y固体理论中的电子的能带

14、虽然相似， 但其本质是不同的。后者是由于电子受到周 期势的散射而导致电子能谱分裂成一系列的子能带。 而横向模式或通道是指电子 波函数在某个方向是延展的，而在其它方向是局域的。1.3 平均自由程在外场作用下，系统的载流子(以后都看作是具有有效质量的电子，或称为导带电子)的运动由Boltzmann运动方程决定，其中引入了一个重要的特征长度-平均自由程(mean free pat?。在非常低的温度下，系统的输运性质主要由费米面附近的电子所决定，因此电子的平均自由程为vF ，这里是驰豫时间(relaxation time)。它的物理意义是处于某个动量本征态的电子的平均寿命，即处在某一动量本征态的电子在

15、被散射到另一动量本征态前所停留的平均时间。根据Drude公式，金属导体的电导率可以表达为2(1.10)ne这里m应理解为电子的有效质量。驰豫时间包括所有相互作用的贡献，主要有杂质散射(impuhty scattering)、电子间的库仑相互作用 (Coulomb interaction)> 电子-声子相互作用(electron-phonon interaction)等，其相应的驰豫时间分别为im、 e e、 e ph等。根据Mathiessen定则，p可以表示成1111 (1.11) im e e e ph这个定则表示起源于不同散射所产生的电阻可以相加。对于经典输运理论，这个定则是成立的

16、，但对于介观系统的量子输运，它不再有效。对于较纯的金属，杂 质散射的贡献很小，而电子间的库仑相互作用由于导带电子的屏蔽效应变得很 弱。在温度较高时，声子散射起主要的作用，但当温度降低时，声子的浓度不断 减小。因此在温度很低的情况下，杂质散射和电子间由于库仑相互作用而导致的 散射将起主要作用。1.4 位相相干长度到目前为止，为了引入一些基本概念，我们仅考虑了自由电子气。而对于实际 的系统，由于存在品格缺陷、杂质及离子的振动等，电子受到它们的散射并与之 交换能量。例如，由于与其它电子或声子的相互作用， 电子从一个本征态散射到 另一个本征态。这样的动力学相互作用所导致的电子的非弹性散射将破坏电子位相

17、的相干性。电子保持它的位相相干性所传播的平均距离称为位相相干长度L(phase coherence length)。根据非弹性散射所导致的电子的位相驰豫时间(phase relaxation time ,在扩散区的位相相干长度可表示成L D(1.12)这里D是导带电子的扩散系数(diffusion coefficient) 0在弹道区，电子几乎不受 杂质的散射，位相相干长度可表示成LVF(1.13)这个表达式是合理的，因为在极低温度下，系统的输运性质是由费米面附近的电 子所决定的。电子间的库仑相互作用所导致的散射和由声子所引起的散射随温度的降低而 减弱，一般情况下，位相驰豫时间是温度的函数，可

18、表达成T p(1.14)这里T是温度。如果系统(比较纯净的金属导体)具有费米液体行为，则电子问 的非弹性散射给出p=2o而对于声子导致的电子的非弹性散射给出较大p,因为声子受温度的影响较大。如果出现很强的无序，杂质对电子的非弹性散射所产生的p较小，因为杂质受温度的影响很小。因此位相相干长度L T p/2在温度很低的情况下，可以变得很大，这会导致系统的有效维数发生变化， 从三维过 渡到二维或直接过渡到一维。因此在理论计算与实验相比较的时候， 一定要注意 这种系统的有效维数的变化。1.5 弹性散射和非弹性散射弹性散射和非弹性散射对导带电子的影响有其本质上的区别。弹性散射不改变电子的能量，只是使它从

19、一个动量本征态，|k>,散射到另一个动量本征态，|k'> 弹性散射平均自由程可表示为vF 0 ,这里0是电子保持在某一个动量本征态的平均时间。弹性散射是电子与静态的杂质的散射， 这种散射所导致的电子的 波函数相位的改变不随时间变化，多次散射后初态与末态的相位差是每一次散射 所导致的相位的改变的累加，这通常称为相位“记忆”。这种记忆具有时间反演 对称性。原则上，弹性散射不破坏电子的相干性，但是对实际系统，存在大量的 散射路径，而总的位相的累加会远远大于 2冗导致电子的相干性消失。相位累积达到2九可能要经历很多次电子与杂质的弹性散射，通常情况下，要比0大几个数量级。非弹性散射是

20、一种动力学散射，散射前后电子的能量改变，即电子从一个能量 本征态散射到另一个能量本征态。非弹性散射是电子与其它具有动力学自由度的 散射体的一类散射，如由于库仑相互作用导致的与其它电子的散射、 与声子的散 射和与具有内部自由度的杂质的散射等。 这种散射所导致的电子波函数相位的改 变是随时间无规变化的，因此电子的相干性经过多次散射后消失。 这就是弹性散射和非弹性散射的本质区别。弹性散射驰豫时间0基本不随温度变化，因为它是由静态杂质散射决定的，而非弹性散射驰豫时间与温度有很强的依赖关系，因为它是一种动力学散射，散射体在不同温度区间对电子的散射不同， 在高温区 声子的散射起主导作用，而在极低温区电子间

21、的散射及与杂质的散射起主导作用。这就是为什么与温度有很强的依赖关系。1.6 扩散区与弹道区对于宏观系统，它包含大量的尺度大于或接近位相相干长度的子系统，每一个子系统可以用一个独立的薛定川方程来描述，而可观测量是在子系统中相应量的 系综(ensemble平均。对于介观系统，它的尺度接近或小于位相相干长度， 整个系统由单个薛定川方程决定，因此对不同的系统可观测量表现会不一样，并且电子的量子行为可直接被观测到。根据平均自由程 与系统的尺度L的相对大小，介观系统分成扩散区(diffusiveregime)和弹道区(ballistic regime)。在扩散区，L L ,电子的输运可看成是量子扩散过程，

22、并且不依赖于系统的形状。在弹道区，L ,电子在系 统内作弹道运动，而系统的边界作为散射体对电子散射，因此系统的边界扮演重 要的角色。通常平均自由程在100?的量级，处在扩散区的金属线或点，其费米 波长(12?)与系统的尺度相比非常小，因此电子能级的量子化一般不重要。只有在最近邻的两能级之差与温度相比拟的时候，才变得非常重要。因此， 对一 般的金属点(metallic dots),最重要的能量标度是库仑相互作用产生的充电能LQ2人口4“人口1 一(charging energy Ec ，这里Q是金属点内的总电何，C是金属点与周2C围环境所形成的总电容(capacitance。对于半导体GaAs/

23、AlGaAs异质结中的二维电子气，电子的平均自由程可以达 到50叩，因此在这类材料中可以观测到电子的弹道输运。电子的费米波长可以 达到300500?,这可以和系统的尺度相比拟，因此电子能级的量子化将起重要 的作用，在实验上可以观测到阶梯形变化的电导。1.7 低场磁阻在弱磁场下测量系统的电导率（通常称为 Hall测量）是研究半导体薄膜 （semiconducting films）特性的基本方法之一，因为可以从所测的纵向和横向电 阻分别导出传导电子密度 n和迁移率 以（mobility）,而在零磁场下电导率的测量 只能给出它们的乘积。在恒定状态下，由于外场而导致的电子的动量改变与由于散射而导致的电

24、子动 量的改变应该相等，(1.15)d pd pdt scattering dt field考虑二维情况，如图5所示,H <A j上式可以表达成mvd(1.16)- e _eE vd Bc这里vd是传导电子的漂移速度，E和B分别是作用在电子上的x方向和垂直于c是光速。由（1.16）式，我们很容平面的有效电场和磁场，e是电子电何，而 易得到系统的纵向和横向电阻xxyx11|e|nBxyn | e| c(1.17)这里n是电子密度，|e| / m是电子的迁移率。这个结果表示在低磁场下，纵向电阻是常数，而横向电阻随外磁场线性变化。然而在强磁场下，纵向电阻随磁场的变化而振荡，横向电阻在纵向电阻极

25、小处出现平台， 但总的变化趋势仍然 保持与磁场的线性关系。在强磁场下，电阻的这种行为是一种宏观量子现象，它可以用电子的Landau能级和局域化理论（对于整数量子 Hall效应）和Laughlin 基态波函数（对于分数量子 Hall效应）来很好地解释。图6给出电阻随磁场的 变化。012345678对一个均匀导体，电流密度J （current density）通常表示为电子密度n与漂移速度v d乘积(1.18)J envd这似乎表达所有的导带电子在外场下都作漂移运动且都对电流有贡献。在低温下 这个图像是一个误解（misleading） 0实际上只有在费米面附近几个 kBT能量区间内的电子对电流有贡

26、献。在低温下，不必关心整个费米海中的电子的动力学行 为，只要知道在费米面附近的电子的动力学行为就足够了，这可使相应的计算大大简化。这里我们给出一个简单的证明。在没有加外场前，电子占据动量本征态k的几率由费米分布函数f(k)决定。在绝对零度，费米面以下的所有态都被电子 占据f(k)=1 ,而费米面以上的态是空态f(k)=0。外电场使得整个费米分布函数沿着电场的(反)方向平移了 kd mvd / eE m/ ,如图7所示:Drifted distributionEquilibrium distributionf (k) E 0 f (k kd ) E 0在费米面的深层kkF ,电子基本上没有受到外

27、场的影响，只是占据在 kFx(假定外电场沿着x坐标的反方向)附近的电子移到了 卜口附近的空态上，而其它的大部分电子所占据的状态没有变化，如图 8所示：因此（1.18）式可以改写成e nvd vFvF表示只有电子总数中的很少一部分（nvd/vF）并以费米速度传播的电子对电流有贡献。然而当出现磁场时，情况会有所不同，因为在这种情况下在导体的边 界会出现回旋电流，虽然它对所测量的导体两端的电导没有贡献， 但它却改变导 体内部的局域电导率。第二章量子输运和Anderson局域化2.1 Anderson局域化和Mott迁移率边电子输运的Boltzmann半经典理论是弱散射理论，它可以成功地描述较纯金属

28、导体的电 导率与杂质和温度的关系，对于描写其它 输运性质，如磁导率(magnetoconductivity)、Hall 效应和热导率(thermal conductivity)等也很成功。然而当杂质浓度(impurity concentration)非常高时，杂质散射强度增加，将出 现弱散射理论不能解释的奇异现象。例如电阻率在低温下与温度有很弱的依赖关 系，但进一步降低温度它却随温度的降低而增加，因此Mathiessen规则不再成立。因为根据弱散射理论，声子的散射在温度降低时被压制， 而静态的杂质散射不依 赖温度。根据Mathiessen规则，系统的总电阻为两者之合，因此电阻不会随温度 进一步

29、降低而增加。1973年Mooij通过对大量的杂质浓度很高的介观金属系统的研究发现，当电阻率大于一定值(大约在80180小区间)时，d /dT变成负的，即电阻率随温度的降低而增加。这一现象几乎是“普适的”，不依赖于具体的材料性质。这一现象不能用弱散射理论解释，因为它总是预言d /dT > 0o这预示经典的Mathiessen规则不再有效。为了深入地了解具有高杂质浓度的金属系统的这一特性，我们首先分析建立在弱散射理论基础上的Drude电导率公式2(2.1)ne这里m是电子的有效质量，n是电子密度，是电子散射的驰豫时间。只有当电 子的费米波长 F 2 /kF远远小于它的平均自由程VF时，这时量

30、子涨落很小，Drude电导率公式才有效，既满足条件kF1 ; Ef1(2.2)对于三维金属导体，利用电子密度与费米波矢量的关系n kF /(3 2),上面的电导率公式可以写成(2.1)代入基本常数 /e2 4.1k,得到电导率所要满足的条件F 5 10 5(kF )/5 10 5(2.3)或者电阻率所满足的条件1一 200 cm F(2.4)这里费米波长的单位是？。对大多数金属，导带电子的费米波长变化不大，一般3在2?到5?之间，这样电阻率要潴足 10 3 cm。当电阻率接近100N 0m时，Drude电导率公式将会出现问题，从而给出不正确的电导率或电阻率。公式(2.3)称为Yoffe-Reg

31、el判据，它表示弱散射理论的适用条件。大量的实验证明，对于二维和一维金属，即使杂质浓度很低时， 在足够低的温度下，总会出现d /dT<0,这是一个普适的现象。对于三维金属，在杂质浓度很高时，也会出现d / dT <0,而变成绝缘体。因此无序(disorder)(反映杂质浓度大小的一个参量)是研究导体输运性质的一个重要参量。由于无序而导致的系统从金属态到绝缘态的转变称为 Anderson转变(Anderson transition)。研究具有较强无序系统的电子输运性质的理论称为Anderson局域化理论(Anderson localization theory)。它可以很好地解释上面

32、所讨论的电阻率在低温时的行为，并预言不存在真正的一维和二维金属导体， 并且对三维系统存在金属一 绝缘体转变(Anderson转变)。通常用无规势 V(r) (random potential)来描述无 序系统(2.5)V(r) 0 ,V(r)V(r') C(|r r'|)这里表示对杂质分布求系综平均，函数 C(r)的变化范围a是一个微观尺度，它的大小对应于杂质势 V(r)的涨落强度。另一个描述无序的方式是取无规 变化的周期势，称为 Anderson模型，其哈密顿量(Hamiltonian)是H Ci（tijCi Cj h.c.）（2.6）iij这里ij表示i和j是最近邻的格点，

33、电子只在最近邻的格点间跃迁。如图2.1所 示。Anderson模型是一个紧束缚近似模型。电子在格点的能量i （对角无序）或跃迁能量tj （非对角无序），或两者都可以取作无规变量。在 Anderson模型中， Anderson取跃迁能量为一常数tj=V，而取i为无规变化的量。在紧束缚近似下， 自由电子的能带宽度为2zV,这里z是最近邻格点数。取格点能量i为一独立无 规变量，其分布几率为P()2W0(2.7)比值W/V可以方便的用作测量系统的无序强弱。 当W/V很大时，表示无序很强， 在这种情况下，电子被限制在一个小的区域内而不能扩展到整个系统，这表示电子处在局域态；当 W/V很小时，表示无序很弱

34、，电子可以运动到整个区域，表 示电子处在扩展态。Anderson对局域态和扩展态作了严格的定义，在无限大的 系统中，在t=0时刻在格点i上（或其附近）有一个电子，经过很长时间t （远远大于任何微观时间长度）以后，在i格点上如果找到这个电子的几率为零，就 说明这个电子离开了这个格点在系统中传播，电子处于扩展态；如果在这点找到这个电子的几率不为零，而为一有限值，就表明电子处在i格点附近的稳定的局域态，这就是Anderson局域化概念。Anderson用微扰理论研究了上面的哈密顿量（2.6）,他发现对于足够强的无序， 类似于束缚态的形成，出现一个局域态，对应的波函数的包络（envelope）当远离局

35、域化中心时指数衰减。如图所示，给出一个典型的平均自由程为的扩展态（a）和局域化长度为 己的局域态波函数（b）。取（2.6）式的第一项为非微扰项，而取tij为微扰，通过微扰展开可以得到电 子自能（self-energy）的级数表达式。Anderson证明对于足够大的 W/V ,即当 W/V大于某一数值时 W/V>W/V| c ,电子自能的级数表达式是收敛的，W/V1c的上限满足条件2ezV, W ,(2.8)ln 1W 2V这里e=2.7是自然常数。这就是 Anderson局域化的判据。这里我们不给出Anderson的计算，只简单的说明一下最后的结果。在格点 i=0,电子的定域格林 函数（

36、Green function）可以写成G00(t)G00(E)dtG00(E)e1E(E)这里NE）是电子的自能。如果电子的自能的虚部为零，比如NE）是一个常数，则电子的定域格林函数没有衰减，这说明电子处在以i=0为中心的局域态。上面的自能的级数收敛式的虚部为零。 如果自能的虚部为一有限值，则电子的定域格 林函数随时间衰减，表明电子离开i=0的格点而传播到整个系统，这时电子处在 扩展态。通过进一步的分析和大量的数值计算，现在一般认为对于足够强的无序，使 W/V满足Anderson判据，系统的所有态都是局域化的。对于中等程度或较弱的 无序，Mott认为，在能带边缘（带尾）的态由于无序可能成为局域

37、态，而在能带中心附近的态是扩展态。扩展态与局域态通过迁移率边Em1和Em2 （mobilityedge§分开。如图2.2所示Mott进一步说明，扩展态和局域态不能共存，否则任何小的相互作用都可使它 们交叠而组成新的扩展态。当 W/V增加时，迁移率边互相接近并且在某一极限 值时相融合，这时所有的态都变成了局域态，从而发生Anderson转变。然而理论证明，局域化过程不能导致态密度在费米面附近出现任何奇异变化，如不能在费米能处出现能隙等。如果在费米能量EF附近的态全是局域态，那么在绝对零度 T=0,系统是绝缘 体。这可以通过证明在局域态电子的扩散系数 D为零来解释。根据Einstein关

38、系(kBTEf)2 dn e2D(2.9)dE当扩散系数为零，电导率也为零。为了证明处在局域态上的电子的扩散系数为零， 我们选取适当的能量本征态j | j ，在t=0时刻，以r=0点为中心构造一个波包，(t 0, r 0) j aj j ,如果本征态|i远离点r=0几个局域化 长度E，则系数aj将指数式的趋于零。在t时刻，波包随时间演化成, ziE it/(t,r 0) ajej(2.10)这里aj 0| j 在任何时间都随与波包中心的距离 r指数衰减。因此在t时刻，考虑电子的扩散，r2 应该等于2Dt；另一方面，电子处在局域态，r2永远都不会大于0( 2),因此只有D=0。在局域态系统的电导

39、为零，这给我们 一个解释金属一绝缘体转变的简单机制。通过改变电子的密度和无序强度，可以分别改变费米能量EF和迁移率边Em1及Em2。只要费米能量EF从扩展态进入到局域态，系统将从金属相进入到绝缘相。因为在绝缘相(T 0) 并且p随温度增加而减小，很自然的在金属一绝缘体转变附近d /dT是负的。至 此很容易看出，局域化理论可以很好地解释无序导体的反常性质及无序导致的金 属一绝缘体转变。当无序很弱时，即 W/V很小，通常的弱散射理论是有效的，最方便的无量纲 参量是kF或EF ，它们是同量级的。弱散射的电导率由(2.1)式给出。对于 二维导体，电导率等于一个普适常数乘上kF ,(e2/ )(kF )

40、。正如在本小节一开始所讨论的，如果kF接近于1,弱散射理论不再有效。根据Yoffe-Regel 判据(2.3),当 kF 1 时2 -e C1 kF , d 3 min2(2.11)C2 以，d 2这里CnC2为常数。对一般的金属，费米波矢量的倒数只有几个？，因此对于 三维导体，电阻率一般在103Qcm的量级。据此，Mott提出了最小金属电导的 概念，认为 min是导体的最小金属电导率。是否存在最小金属电导率现在还不 完全清楚，新的实验显示，当电导率远小于min时，金属相仍然存在。而局域化的标度理论不支持存在最小金属电导率，电导率可以连续的趋于零。无论是否真的存在最小电导率，但在这一点附近，

41、电导率确实出现不寻常的变化。 从这点 来看，最小金属电导率还是有一定意义的。2.2局域化区的热激发电导如果在费米能量EF附近的态全是局域化的，为具体起见我们假定费米能级处在导带的下部，根据上节的讨论， EF Em1,则在T=0,系统的电导率为零。 而在有限温度，系统中存在热激发电子，这些热激发电子可能参与下面几种可能 的过程而对系统的电导率有贡献。(1)激活(activation)到迁移率边。如果在费米面附近的处在局域态上的电子通过与声子的相互作用而获得的热能大于Em1EF ,电子被激活到扩展态上，所产生的电导为1 e (Em1 EF)/kBT(2.12)系数正比于电子一声子耦合强度的平方。(

42、2)激活到近邻局域态。取局域态的局域化长度为己，在费米能级附近的单位体积内的态密度为n(0),则在d维空间以尺度为 己所围体积内的 单位能量内的状态数为n(0) d ,因此相邻能级差应为| n(0) d | 1(2.13)那么所产生的电导率可表达成/kBT2 e B(2.14)(3) 可变程跃迁(variable range hopping (VRH)。电子从一个局域态跃迁 到一个相对距离L>>E的局域态，它对跃迁电导率的贡献应该正比于两者波函数交叠矩阵元的平方I2e 2L/ ,这里I是一个量级为的特征能量。另一方面，所考虑的子系统的尺度增大，在费米能级附 近两相邻能级之差为1dd

43、 L n(0)Ld- (L )(2.15)在距离为L的两个局域态之间的跃迁,其电导率应正比于2L/ L/kBTe L b 。在足够低的温度下，可以实现 L>>，情况的跃迁，其最佳的跃迁距离可以通过取 上式指数的极小值得到(2.16)(2.17)1/(d 1)n(0)kBT因此在这样的温度下，VRH的电导率可以表达成3 ed这里C是一个无量纲常数，kBT0 。当T T0,最近邻跃迁应该是重要的，电导率的行为应该是1和2之间的竞争，通常情况下2起主导作用，因为比(Em1 EF)更快的趋于零。当(Em1 Ef)<，在简单的热激发区1起主导作用，在温度低于 T。时过渡(crossov

44、er到3起主导作用的区。 这里Lm是一个重要的长度标度，可用于确定薄膜或导线的有效维数。当薄膜的 厚度远大于LM时，它是三维系统，但当温度足够低时，它的厚度小于LM ,从而过渡到有效的二维系统。同样，在足够低的温度下，金属导线可以从三维过渡 到有效的一维系统。VRH过程可以从另一种非常直观的方式去理解。发生跃迁的每一个路径 (bond)可看成是一个电阻，整个格点因此可以看成是一个无规的电阻网络 (random resistor network)。由于每个路径上的电阻指数式的依赖某些参量，如 路径的长短，两近邻能级之差等，它的变化范围很大，但最容易跃迁的是那些电阻最小的路径。因此去掉那些具有最大

45、电阻的路径，整个网络的电阻几乎不受影 响。通过逐渐的去掉具有最大电阻的路径，可以达到网络的渗流极限(percolation limit ),其电阻为Rco如果再去掉一些路径，网络将变成非连通的(disconnected , 而那些具有电阻远小于Rc的路径可看成是短路。因此整个网络的电阻可以近似 的取作Rc。这种方法也可用于研究在VRH区的低场磁阻，因为每个路径的电阻通过路径 两端的两局域态间的波函数的交叠矩阵元(overlap matrix element)依赖磁场， 而交叠矩阵元不仅包括它们间的直接路径跃迁，也包括所有其它的非直接路径跃迁，因此将出现不同路径间的量子干涉现象。在较强的磁场下，

46、研究局域化长度随磁场B的变化，及在局域化相的Hall效应是两个重要的课题。Mott研究了在绝对零度T=0情况下，局域化相的电导率与频率的依赖关系， 并给出下面的表达式()21ndl 1(1/ )(2.18)这里因子 2来自于电导率Kubo公式中的因子 (f() f( ), f(9是费米分布函数。而上式中的对数因子可以简单的解释如下：考虑两个相距R>>己的局域态，其跃迁矩阵元满足关系(I )R/R I Ie i.e. 一 1n()当这两个局域态之间的能量差小于或接近于Ie R/ ,它们将通过隧穿产生共振而形成“双峰态”。这两个态的二极矩的矩阵元正比于 R 1n(I /),而这种双峰态

47、的总数正比于以R为半径己为厚度的壳(shell)的体积Rd 1 ,因此两 者的乘积R2 Rd 1 1nd 1(I /),这样可以解释上式中的对数因子。由于低频对应于很大的距离 R,对于介观系统，当R大于介观系统的尺度时，在电 导率中可能出现频率一尺度转换(frequency-size crossove r。即当R大于介观系 统的最大尺度时，对数因子不再依赖于频率。2.3 Thouless表象和金属线的局域化及有限温度效应70年代中期，Thouless提出局域化问题的标度描述，对后来的局域化的标度理 论的建立有重要的影响。把一个系统分割成一些小的块体， 通过研究块体与块体 间的本征态的关联效应，

48、来了解系统的局域化性质，这可以通过研究块体间的电 导来实现。Thouless通过引入两个相关的能量来定义一个无量纲的电导，通过研 究这个无量纲的电导可以得到系统的局域化的基本性质。Thouless的基本思想是，一个体积为(2L)d的块体的本征态是一些体积为 Ld的块体的本征态的线性 组合，每个态在组合中的贡献大小依赖于相应态的波函数的交叠积分及能量差。能级差的典型值是块体Ld中的相邻能级间隔L；为了清楚的理解交叠积分，Thouless观察到，如果把块体Ld在一个方向排成一个无穷的一维周期链，单个 块体的能级被展宽而构成一个能带，能带的带宽将可很好的用于估算交叠积分。 而带宽正好对应于块体Ld在

49、周期或反周期边界条件下的相应的本征态的能量变化E。如果块体Ld的本征态是局域的,E对边界条件不敏感并且指数的小,因此块体(2L)d的本征态等同于块体Ld的本征态，也是局域的。相反如果E/ L很大，则块体(2L)d的本征态扩展到整个区域，因此块体Ld加倍后的本征态的性质可以用单一的参量E / l来描述。在开始介绍 Thouless标度化前，现简要地回顾一下电子隧穿结( tunneling junction)的电导的图像。考虑两个块体(blocks),它们通过一个极薄的能使电 子隧穿的绝缘层相连，处在两边的态上的电子相互作用且具有基本上不随能量变 化的隧穿矩阵元t,假定电子在两个块体间的隧穿很弱，

50、根据费米黄金公式(Fermigolden rule),电子在某个块体(如左边的块体)的平均寿命l (lifetime)可表达成2 %(2.19)一干$每)这里t2是隧穿矩阵元平方平均，N(Ef)是终态(右边块体)的态密度。取初态(左边块体)的态密度为 Nl(EF),当在两块体间施加小的电压 V,则有 eVNl(EF)的电子在时间L内可以隧穿到右边，因此产生的电流为 I e2Nl(EF)V/ L，由此得到电导2 一_2_2 e 2_G e2Nl(EF)/ l t2Nl(EF)Nr(EF)(2.20)这个表达式非常有用，它适用于任何维数的系统。第二个等式就是著名的隧穿结 电导表达式。严格来说，只有

51、终态的能级是连续时，上式才有效。但对于一般的 介观系统，其能级是分立的，因此我们要假定，当介观系统与外界环境，如热库、 电极等的耦合使分离能级的展宽(broadening)要大于或至少与两相邻的能级差 在同一量级，一般情况下这个假设是成立的。在(2.20)式中的第一个等式是一般性的。把一个系统分成很多边长为L的块体，并且假定L>> , a,这里 是弹性散射自由程，a是一个微观长度标度。对于这样一个块体，它的典型的在费米面附近的能级差L等于它的态密度的倒数L 1/Nl(Ef)。定义一个电子在最近邻块体间跃迁的能量 VL/ L，这里L是电子在块体中的寿命，利用（2.20）式的第一个等式

52、，块体间的无量纲电导gLGL /（e2 / ）可以表达成VlgLL（2.21）L这是Thouless的标度表象的最重要的关系式。 Thouless利用Einstein关系（2.9） 导出上式。电子在尺度为 L的块体中的扩散是一个无规行走，运行距离 L所需 的特征时间为 L，因此扩散系数可表达为DL L2 / L（2.22）只要块体的边长足够大，经典的扩散理论是成立的，因此DL不依赖于L,由此得到电子通过扩散穿过块体的时间为L L2 / D。但当L趋于介观尺度，局域化或量子效应将使得 Dl依赖于L。一个d维的尺度为L、电导率为 L的金属 导体，其电导为（Ohm定律）GLLLd 2,电子在费米面附

53、近的态密度为NL（EF）Lddn/d ,这里N是化学势。利用Einstein关系，可以很容易得到（2.21）式。为了更好地理解能量VL的物理含义，利用费米黄金公式（至少在弱耦合情况 下成立），它可以用块体间的矩阵元表示VL2(2.23)L它与周围块体所导致的能级的展宽有关。对于一个确定的块体，相邻块体的影响 可以通过它的边界条件来反映，这种等价性只有当L远远大于电子的弹性散射平 均自由程及所有的微观特征长度时才有效。在Thouless的标度表象中，一个均匀系统分割成小的块体是虚拟的，显然块体间的电导正是尺度为L的块体的电导。块体的电导也可以用 Kubo的线性响应理 论来计算，但必须指出，原则上

54、 Kubo公式只适用于能谱是连续的无限大系统。 对于有限系统，它的能级是分立的，因此我们必须假定外界环境对它的影响，使 它的能级展宽成一个有效的连续能谱。无量纲电导是一个表征系统局域化性质的一个重要参量，当 gL>>1,表示近邻块体中的电子有很强的耦合，然而当 gL<<1,表示块体中的电子耦合很弱，基本上处在局域态，因此当L ,无量纲电导gL 00由此，我们可以利用在某一尺度时gL 1来定义局域化长度&利用(2.21)式，Thouless研究了横截面为A的导线在不同长度下的行为，并 得到一些重要的结果。一方面揭示一维局域化系统本身不仅是表示数学上的一维 系统，也

55、表示一个实在的、具有一定横截面积的细导线，并证明上面的块体标度 化观念(block-scaling point of view)对处理问题非常有用。另一方面，可以很好的理解有限温度在相关的特征长度标度下对电导的影响，阐述无量纲电导gL与相应实验测量的对应关系，因为在不同的能量标度、不同的尺度下，电导率的表现形式会很不一样。对于一个实际的金属线，只有它的电阻率小于10kQ时，Ohm定律才成立。假定电导GLL 1对一定范围的L是成立的。当弹性散射平均自由程L，c这里Lc通过GLc e2/2来定义，可以得到当L>>Lc, gL<<1。这表明系统 在长度标度Lc出现局域化，Lc

56、应该与局域化长度在同一个量级。假定上面电导与长度L的关系在区间a, <L<己也成立，根据局域化长度的定义(Ge2 / 2 ),可得到局域化长度的表达式勺 A-2T(Ak2)(2.24)e23 2这里在得到第二个等式时用到了 ( 2.1')。因此局域化长度的量级等于弹性散射平 均自由程乘上导线横截面内的电子数。电子处于局域化态，金属细导线的电阻将随它的长度指数增加。对于原子尺度的横截面，局域化长度正好是，这与纯一维的情况相符合。当L<< 自假定G1/L至少是与我们对金属细导线的感觉相一 致的。理论上，对于 L<< 有A-1/L,因此根据上面的假定交叠积分矩阵元平方平均应该正比于t21/L30很显然我们知道金属细导线的电阻通常不会随长度指数增加，当然我们也从没有测量绝对零度的电阻。只