高中数学教案：排列与组合Word版

1、排列与组合一、知识网络二、高考考点1、两个计数原理的掌握与应用；2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）三、知识要点一分类计数原理与分步计算原理1 分类计算原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+ mn种不同的方法。2 分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第

2、n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2×× mn种不同的方法。3、认知：上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据，它们的区别在于，加法原理的要害是分类：将完成一件事的方法分成若干类，并且各类办法以及各类办法中的各种方法相互独立，运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事；乘法原理的要害是分步：将完成一件事分为若干步骤进行，各个步骤不可缺少，只有当各个步骤依次完成后这件事才告完成（在这里，完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤，而不能独立完成这件事）。二排列1 定义（1）从n个不同元素中取出m（ ）个元素，按照一定的顺

3、序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。（2）从n个不同元素中取出m（ ）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为 .2 排列数的公式与性质（1）排列数的公式： =n（n-1）（n-2）（n-m+1）= 特例：当m=n时， =n！=n（n-1）（n-2）×3×2×1规定：0！=1（2）排列数的性质：（） = （排列数上标、下标同时减1（或加1）后与原排列数的了解）（） （排列数上标加1或下标减1后与原排列数的了解）（） （分解或合并的依据）三组合1 定义（1）从n个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出

4、m个元素的一个组合（2）从n个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示。2 组合数的公式与性质（1）组合数公式： （乘积表示） （阶乘表示）特例： （2）组合数的主要性质：（） （上标变换公式）（） （杨辉恒等式）认知：上述恒等式左边两组合数的下标相同，而上标为相邻自然数；合二为一后的右边组合数下标等于左边组合数下标加1，而上标取左边两组合数上标的较大者。3 比较与鉴别由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。（1） 排列

5、与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。（2） 注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系： 四、经典例题例1、某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式是（ ）A .5种 B.6种 C. 7种 D. 8种分析：依题意“软件至少买3片，磁盘至少买2盒”，而购得3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，只

6、需讨论剩下的180元如何使用的问题。解：注意到购买3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，这里只讨论剩下的180元如何使用，可从购买软件的情形入手分类讨论：第一类，再买3片软件，不买磁盘，只有1种方法；第二类，再买2片软件，不买磁盘，只有1种方法；第三类，再买1片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有2种方法； 第四类，不买软件，再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘，有3种方法；于是由分类计数原理可知，共有N=1+1+2+3=7种不同购买方法，应选C。例2、已知集合M=-1，0，1，N=2，3，4，5，映射 ，当xM时， 为奇数，则这样的映射 的个数是（ ）A.20 B.18 C.32 D.24分析：由映

7、射定义知，当xM时， 当xM时，这里的x可以是奇数也可以是偶数，但 必须为奇数，因此，对M中x的对应情况逐一分析，分步考察：第一步，考察x=-1的象，当x=-1时， ，此时 可取N中任一数值，即M中的元素-1与N中的元素有4种对应方法；第二步，考察x=0的象，当x=0时， 为奇数，故 只有2种取法（ =3或 =5），即M中的元素0与N中的元素有2种对应方法；第三步，考察x=1的象，当x=1时， 为奇数，故 可为奇数也可为偶数, 可取N中任一数值，即M中的元素1与N中的元素有4种对应方法，于是由分步计数原理可知，映射 共有4×2×4=32个。例3、在中有4个编号为1，2，3，

8、4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂法？解：根据题意，有相邻边的小三角形颜色不同，但“对角”的两个小三角形可以是相同颜色，于是考虑以对角的小三角形1、4同色与不同色为标准分为两类，进而在每一类中分步计算。第一类：1与4同色，则1与4有5种涂法，2有4种涂法，3有4种涂法，故此时有N1=5×4×4=80种不同涂法。第二类：1与4不同色，则1有5种涂法，4有4种涂法，2有3种涂法，3有3种涂法，故此时有N2=5×4×3×3=180种不同涂法。综上可知，不同的涂法共

9、有80+180=260种。点评：欲不重不漏地分类，需要选定一个适当的分类标准，一般地，根据所给问题的具体情况，或是从某一位置的特定要求入手分类，或是从某一元素的特定要求入手分类，或是从问题中某一事物符合条件的情形入手分类，或是从问题中有关事物的相对关系入手分类等等。例4、将字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A.6种 B.9种C.11种 D.23种解法一（采用“分步”方法）：完成这件事分三个步骤。第一步：任取一个数字，按规定填入方格，有3种不同填法；第二步：取与填入数字的格子编号相同的数字，按规定填入方格，仍有3种

10、不同填法；第三步：将剩下的两个数字按规定填入两个格子，只有1种填法；于是，由分步计数原理得，共有N=3×3×1=9种不同填法。解法二：（采用“列举”方法）：从编号为1的方格内的填数入手进行分类。第一类：编号为1的方格内填数字2，共有3种不同填法： 2413 2143 2341第二类：编号1的方格内填数字3，也有3种不同填法： 3142 3412 3421第三类：编号为1的方格内填数字4，仍有3种不同填法： 4123 4312 4321于是由分类计数原理得共有N=3+3+3=9种不同填法，应选B解法三（间接法）：将上述4个数字填入4个方格，每格填一个数，共有N1=4×

11、;3×2×1=24种不同填法，其中不合条件的是(1)4个数字与4个格子的编号均相同的填法有1种；(2)恰有两个数字与格子编号相同的填法有6种；(3)恰有1个数字与格子编号相同的填法有8种；因此，有数字与格子编号相同的填法共有N2=1+6+8=15种于是可知，符合条件的填法为24-15=9种。点评：解题步骤的设计原则上任意，但不同的设计招致计算的繁简程度不同，一般地，人们总是优先考虑特殊元素的安置或特殊位置的安排，以减少问题的头绪或悬念。当正面考虑头绪较多时，可考虑运用间接法计算：不考虑限制条件的方法种数不符合条件的方法种数=符合条件的方法种数。在这里，直接法中的“分析”与间

12、接法主体的“分类”，恰恰向人们展示了“分步”与“分类”相互依存、相互了解的辩证关系。例5、用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字4位数，其中，必含数字2和3，并且2和3不相邻的四位数有多少个？解：注意到这里“0”的特殊性，故分两类来讨论。第一类：不含“0”的符合条件的四位数，首先从1，4，5这三个数字中任选两个作排列有 种；进而将2和3分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置，又有 种排法，于是由分步计数原理可知，不含0且符合条件的四位数共有=36个。第二类：含有“0”的符合条件的四位数，注意到正面考虑头绪较多，故考虑运用“间接法”：首先从1，4，5这三个数字中任选一个，而后与0，2，3进

13、行全排列，这样的排列共有 个。其中，有如下三种情况不合题意，应当排险：（1）0在首位的，有 个；（2）0在百位或十位，但2与3相邻的，有 个（3）0在个位的，但2与3相邻的，有 个因此，含有0的符合条件的四位数共有 =30个于是可知，符合条件的四位数共有36+30=66个点评：解决元素不相邻的排列问题，一般采用“插空法”，即先将符合已知条件的部分元素排好，再将有“不相邻”要求的元素插空放入；解决元素相邻的排列问题，一般采用“捆绑法”，即先将要求相邻的元素“捆绑”在一起，作为一个大元素与其它元素进行排列，进而再考虑大元素内部之间的排列问题。例6、某人在打靶时射击8枪，命中4枪，若命中的4枪有且只

14、有3枪是连续命中的，那么该人射击的8枪，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有（ ）A.720种 B.480种 C.24种 D.20种分析：首先，对未命中的4枪进行排列，它们形成5个空挡，注意到未命中的4枪“地位平等”，故只有一种排法，其次，将连中的3枪视为一个元素，与命中的另一枪从前面5个空格中选2个排进去，有 种排法，于是由乘法原理知，不同的报告结果菜有 种点评：这里的情形与前面不同，按照问题的实际情况理解，未命中的4枪“地位平等”，连续命中的3枪亦“地位平等”。因此，第一步排法只有一种，第二步的排法种数也不再乘以 。解决此类“相同元素”的排列问题，切忌照搬计算相同元素的排列种数的方

15、法，请读者引起注意。例7、（1） ；（2）若 ，则n=；（3） ；（4）若 ，则n的取值集合为 ；（5）方程 的解集为 ；解：（1）注意到n满足的条件原式= （2）运用杨辉恒等式，已知等式 所求n=4。（3）根据杨辉恒等式 原式= = = = （4）注意到这里n满足的条件n5且nN* 在之下，原不等式 由、得原不等式的解集为5，6，7，11（5）由 注意到当y=0时， 无意义，原方程组可化为 由此解得 经检验知 是原方程组的解。例8、用红、黄、绿3种颜色的纸做了3套卡片，每套卡片有写上A、B、C、D、E字母的卡片各一张，若从这15张卡片中，每次取出5张，则字母不同，且3种颜色齐全的取法有多少种

16、？解：符合条件的取法可分为6类第一类：取出的5张卡片中，1张红色，1张黄色，3张绿色，有 种取法；第二类：取出的5张卡片中，1张红色，2张黄色，2张绿色，有 种取法；第三类：取出的5张卡片中，1张红色，3张黄色，1张绿色，有 种取法；第四类：取出的5张卡片中，2张红色，1张黄色，2张绿色，有 种取法；第五类：取出的5张卡片中，2张红色，2张黄色，1张绿色，有 种取法；第六类：取出的5张卡片中，3张红色，1张黄色，1张绿色，有 种取法；于是由分类计数原理知，符合条件的取法共有 点评：解决本题的关键在于分类，分类讨论必须选择适当的分类标准，在这里，以红色卡片选出的数量进行主分类，以黄色卡片选出的数

17、量进行次分类，主次结合，确保分类的不重不漏，这一思路值得学习和借鉴。例9、（1）从5双不同的袜子中任取4只，则至少有2只袜子配成一双的可能取法种数是多少？（2）设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，将五个小球放入五个盒子中（每个盒子中放一个小球），则至少有两个小球和盒子编号相同的放法有多少种？（3）将四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共多少种？（4）某产品共有4只次品和6只正品，每只产品均不相同，现在每次取出一只产品测试，直到4只次品全部测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情况有多少种？解：（1）满足

18、要求的取法有两类，一类是取出的4只袜子中恰有2只配对，这只要从5双袜子中任取1双，再从其余4双中任取2双，并从每双中取出1只，共有 种选法；另一类是4只袜子恰好配成两双，共有 种选法，于是由加法原理知，符合要求的取法为 种。（2）符合条件的放法分为三类：第一类：恰有2个小球与盒子编号相同，这只需先从5个中任取两个放入编号相同的盒子中，有 种放法，再从剩下的3个小球中取出1个放入与其编号不同的盒子中，有 种方法，则最后剩下的两个小球放入编号不同的盒中只有1种放法，故此类共有 种不同方法；第二类：恰有3个小球与盒子编号相同，这只需先从5个中任取三个放入编号相同的盒子中，有 种放法，则最后剩下的两个

19、小球放入编号不同的盒中只有1种放法，故此类共有 种不同方法；第三类：恰有5个小球与盒子编号相同，这只有1种方法；于是由分类计数原理得，共有N=20+10+1=31种不同方法。（3）设计分三步完成：第一步，取定三个空盒（或取走一个空盒），有 种取法；第二步，将4个小球分为3堆，一堆2个，另外两堆各一个，有 种分法；第三步，将分好的3堆小球放入取定的3个空盒中，有 种放法；于是由乘法原理得共有： 种不同方法。（4）分两步完成：第一步，安排第五次测试，由于第五次测试测出的是次品，故有 种方法；第二步，安排前4次测试，则在前四次测试中测出3只次品和1只正品的方法种数为 。于是由分布计数原理可知，共有

20、种测试方法。点评：为了出现题设条件中的“巧合”，我们需要考虑对特殊情形的“有意设计”，本例（1）则是这种“有意设计”的典型代表，而这里的（3），则是先“分堆”后“分配”的典型范例。五、高考真题（一）选择题1、过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）A、18对 B、24对 C、30对 D、36对分析：注意到任一四面体中异面直线的对数是确定的，所以，这里欲求异面直线的对数，首先确定上述以单直线可构成的四面体个数。由上述15条直线可构成 个四面体，而每一四面体有3对异面直线，故共有36对异面直线，应选D。2、不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（ ）A、3个 B、4个

21、C、6个 D、7个分析：不共面的四点可构成一个四面体，取四面体各棱中点，分别过有公共顶点的三棱中点可得到与相应底面平行的4个截面，这4个截面到四个定点距离相等；又与三组对棱分别平行且等距的平面有3个，故符合条件的平面共7个，应选D。3、北京财富全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ）A、 B、 C、 D、 分析：排班工作分三步完成：第一步，从14人中选出12人，有 种选法；第二步，将第一步选出的12人平均分成三组，有 种分法；第三步，对第二步分出的3组人员在三个位置上安排，有 种排法；于是由乘法原理

22、得不同的排班种数为 ，应选A4、从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市各一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A、300种 B、240种 C、114种 D、96种分析：注意到甲、乙两人不去巴黎，故选人分三类情况（1）不选甲、乙，不同方案有 种；（2）甲、乙中选1人，不同方方案有 种；（3）甲、乙均入选，不同方案有 种；于是由加法原理得不同的方案总数为24+144+72=240，应选B。5、4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得-100分；

23、选乙题答对得90分，答错得-90分，若4位同学的总分为0，则这四位同学不同的得分情况的种数是（ ）A、48 B、36 C、24 D、18分析：注意到情况的复杂，故考虑从“分类”切入第一类：四人全选甲题，2人答对，2人答错，有 种情况；第二类：2人选甲题一对一错，2人选乙题一对一错，有 种情况；第三类：四人全选乙题，2对2错，有 种情况。于是由加法原理得不同得分情况共有 种，应选B。6、四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为、的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）A、96 B、48 C、24 D、0分析：本题的关键是找“异面直线对”的个数，设四棱锥为S-ABCD，没有公共顶点的棱只能分成4组，每组两条棱（否则三条棱必有公共点），每8条棱分成4组，每组两条无公共点的棱仅有下面两种情况：（1）SACD；SBAD；SCAB；SDBC （本组中同一