理学院-苏桂华

1、（2016届）本科毕业设计（论文）资料 题 目 名 称：生长玻色-爱因斯坦凝聚体中的孤子幅度调控 学 院（部）： 理学院_ 专 业： 应用物理学_ 学 生 姓 名： 苏桂华_ 班 级：_应物 1201 学号： 11411200108 指导教师姓名： 何章明_ 职称： 讲师_ 最终评定成绩：_ 湖南工业大学教务处2016届本科毕业设计（论文）资料第一部分 毕业论文（2016届）本科毕业设计（论文）题 目 名 称：生长玻色-爱因斯坦凝聚体中的孤子幅度调控 学 院 （部）： 理学院_ 专 业： 应用物理学_ 学 生 姓 名： 苏桂华_ 班 级：应物1201 学号：11411200108 指导教师姓名

2、： 何章明_ 职称： 讲师_ 最终评定成绩：_ 2016年 5 月湖南工业大学本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文（设计），题目生长玻色-爱因斯坦凝聚体中的孤子幅度调控是本人在指导教师的指导下，进行研究工作所取得的成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文章以明确方式注明。除此之外，本论文（设计）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。本人完全意识到本声明应承担的责任。作者签名：日期： 年 月 日湖南工业大学本科毕业设计（论文）摘要考虑BEC从外部热原子云中吸收原子或者有原子耗散，利用相似变换法研究了BEC中孤子的动力学性质。结果表明：当BEC从外部

3、热原子云中吸收原子时，亮孤子和黑孤子的幅度增加，宽度保持不变，而灰孤子的宽度和幅度都保持不变；当BEC中有原子耗散时，亮孤子和黑孤子的幅度减小，宽度保持不变，而灰孤子的宽度和幅度都保持不变。相关的研究结果可为BEC的孤子实验控制提供帮助。关键词：玻色-爱因斯坦凝聚；Gross-Pitaevskii方程；孤子ABSTRACTConsidering gain or loss, we study analytically the dynamics properties of bright solitons in Bose-Einstein condensates. It is shown that,

4、 the growing model has an important effect on the amplitude of the soliton in the condensates. In the absence of the growing model, the bright, black and gray solitons keep stable in the condensates. In the presence of the growing model, the obtained results show that the amplitude of the bright and

5、 black soliton decreases (increases) for the BEC growing coefficient, but the amplitude of gray soliton keeps unchanged. These results will provide help for experiments of BEC. Keywords: Bose-Einstein condensates; Gross-Pitaevskii equation; solitons目 录第1章 绪论11.1 BEC的理论11.2 BEC的实验简介21.3 描述BEC性质的理论模型6

6、1.4 本文的研究内容及意义8第2章 BEC中孤子幅度调控92.1 生长BEC的模型92.2 亮孤子幅度操控102.3 暗孤子幅度操控12总结16参考文献17致 谢1819第1章 绪论1.1 BEC的理论玻色-爱因斯坦凝聚（Bose-Einstein condensation , BEC）是物质的一种新的状态，本质上属于量子统计现象。BEC中宏观数量的原子布居在基态，因此处在BEC状态中的大量原子的行为和单个粒子很像。形成BEC有两个条件：第一是系统温度要求比某一个临界值要低，即至少使这个环境温度到达临界温度以下。将玻色的这个理论运用在原子气体中，由此能够推断,在处于一般的正常温度下时，气体原

7、子能够处在所有能级中的任意一个，但是大部分原子就会在突然间跌落到最低的能级上一旦气体原子处在温度非常低的情况下是，就好像一幢大楼忽然之间就坍塌了。一个大超级原子一般可用来描述处在这种状态下的大量原子的行为。我们在讨论这一个理论的时候之所以采用了量子统计的方法，前面我们说过是因为从本质上来说玻色-爱因斯坦凝聚体其实是一种量子统计现象。所以第二个条件是：粒子的德布罗意波长必需比粒子间的间距要长。这是是形成BEC的不可缺少的条件。从玻色-爱因斯坦统计理论出发，对于理想气体在某一能级上的粒子数可以用下面公式来表示： , (1.1)式中是化学势，且; k为玻耳兹曼常量。则系统的总粒子数表示为 , (1.

8、2)用表示基态上的粒子数，激发态上所有粒子数之和用表示，则总粒子数为 (1.3)而 (1.4)其中能级的微观态数表示为，可设 （1.5）应该对的所有的微观态求和。利用(1.5)式，有 （1.6）式中S表示自旋态，m表示质量，h是普朗克常数。表示这个称为临界温度的特定温度。当T<时，N(T)<N，其余粒子布居在基态。此时可推得 （1.7） （1.8）从上式可知，当温度小于时，基态上面将有大量的粒子，这个现象就是玻色爱因斯坦凝聚，如体1.1所示。图1.1玻色爱因斯坦凝聚示意图1.2 BEC的实验简介玻色子都遵循的是统计规律，在温度趋近绝对零度时(条件是非常的苛刻，一直到后来捕捉中性原子

9、技术和激光冷却的出现，才提供了在气体中实现玻色-爱因斯坦凝聚实验所需要的条件)，玻色气体中的原子将全部凝聚到能量的基态上。即当温度趋向于绝对零度的时候，玻色气体原子的统计性质在理想情况下形成的BEC，而没有考虑原子之间的相互作用。要在试验上能够完成BEC，就需要对玻色气体先进行稀释、束缚而后进行冷却，其中在技术上难度最大的是进行冷却这个的过程，这也是确保BEC实验能够成功的关键地方。实验上观察到铷原子气中实现了第一个BEC系统在1995年由国家标准技术研究所(NIST)的Wieman小组和美国科罗拉多大学实验天体物理联合研究所(JILA)首先报道了。2000年在实验上发现BEC中的超流现象是在

10、继液氦系统之后的第二种被发现的超流系统。和液氦系统相比较之后发现，BEC系统所具有的相互作用是非常弱的，因此更容易在理论上对其进行分析。与此同时，,BEC系统的很多的物理参数比如说动能、密度等等在都实验上都是可调的。此外，进行与自旋相关的超流现象研究是能够利用具有自旋的BEC系统的，例如不伴随净质量流的自旋超流及存在自旋-轨道耦合的BEC超流等都是可见的例子。相关的理论以及实验和实践任务仍在不断地获得更多的进展。目前的实验报道，BEC实验的实现基本环节大概如下所示：先通过激光冷却原子，然后利用外部势阱囚阱超冷原子，再进一步降低体系温度，同时使得相空间密度有相应的提高，最后一步是采用光学的手段来

11、检测有没有形成目标BEC。在上述实现BEC的过程中包含了四种重要的实验技术:磁束缚、激光冷却、磁光阱和稀释制冷、BEC的检测。原子因具有磁矩而在磁场中产生相应的附加能量（）即磁束缚的基本原理，从而提供一个在空间上不均匀分布的磁场进而能够产生相应的梯度力5。我们之所以需要使原子在磁场中心处的能量不高于磁场边缘处的能量是因为实际上玻色气体被实验者限制在磁场的中心区域内。能够实现的只有磁场边缘高、强度中心低的磁场分布，因为气体所存在的区域内是不存在任何电流的,因而只有磁矩与磁场方向反平行的原子才能够被束缚。 图1.2激光冷却示意图激光冷却的原理基本就是原子在不需要激光作用时也可以发生的自发

12、辐射和在一个指定频率的激光作用下的跃迁吸收。设置激光的频率使之稍微低于受激吸收的本征频率然后用该频率的激光去照射指定的原子，如图1.2所示。当原子的运动方向逆着激光照射时，因为光的多普勒效应作用，原子实际能够接收到的光频率就可以达到受激跃迁的本征频率，从而原子在吸收光子之后能够跃迁到较高能级；反之，当原子的运动方向顺着激光的方向时，其所能够接收到激光的频率反而离本征频率更远，受激吸收因此就不能发生1。原子在吸收光子跃迁到较高能级后就会产生动量方向完全随机地发射出光子的自发辐射。这两个过程造成的总效果就是和激光运动的方向正好相反的原子获得的动量与激光方向相同,由此和激光方向相反方向的速度就会减小

13、，但是在运动方向与激光方向相同时并不能够得到加速。因此将两个相对照射的激光设置在每一个自由度上则原子在该自由度上的速度就会变小。通常仅仅通过激光冷并不足以使气体的温度降到足够发生BEC的温度，但可以使用激光冷却使气体在被磁阱束缚前得到预冷Error! Reference source not found.。 图1.3磁光阱示意图目前实现BEC主要的实验设备就是由激光(辐射场)和磁阱共同构成的一个系统，这个系统就是磁光阱，如图1.4所示。在前文已经提及过磁阱的束缚作用，激光的作用除可以使原子发生能级间共振跃迁之外还可以束缚原子(在辐射场中的原子也会产生一定的附加能量,从而能有相应的梯度

14、力)9，其中,想要实现我们想要的原子在磁光阱中稀释制冷的效果的主要原理就是原子在塞曼子能级之间的跃迁。 图1.4稀释制冷示意图保留温度较低的原子去除气体中温度高(动能大)的原子是稀释制冷的大致的基本思路，这样整体的进一步降低温度就得到了实现。为了讨论不是太复杂,一般只考虑那些有两个投影方向(与磁场反平行和平行)的磁矩的原子。正如我们在前文所描述的那样，当提供边的磁场是缘强、中心弱的磁场时，那些磁矩方向与磁场方向平行的原子就会逸出，而会束缚住那些磁场和磁矩反平行的原子。原子即使是被束缚后也会遵循一定的速率分布，更靠近边缘的都是那些是速率比较大的原子。同时，塞曼分裂的能极差会在磁场更强的

15、边缘处变得更大，与此相对应的共振跃迁的激光频率就会随着变大。因而，要使特定磁场强度处的原子发生跃迁选择激光频率一定要恰当合适。通常用原子的磁量子数可以更加清楚简便地标示塞曼能级，下、上能级分别与平行于磁场和原子磁矩反平行相对应。由此，使原子的磁矩发生反向是跃迁得出的结果。磁阱通常情况下只对磁矩与磁场反方向平行的那些原子才能发生束缚作用，所以如果磁矩发生反向的话，这部分之前被束缚原子就会因此从磁阱中逸出脱离束缚。在实际的操作中逐步稀释降温是平时最常使用的一个办法，即把激光频率逐步的减小，把原子按运动速率从高速到低速逸出来进行选取，到最后那些运动速率较慢的部分原子就被剩下，降温到这步就基本完成了。

16、通过在磁阱中稀释制冷的方法使玻色气体的温度降到10nK-100nK这个量级，最终低至BEC发生所需要的临界温度。 图1.5 BEC的形成过程 在超冷原子囚禁中，“time-of-flight experiment” 基本的思路为:束缚磁场在磁光阱中完成降温后撤除，是进行BEC观测的一种常用方法10。这时候的玻色气体将自发进行自由扩散运动，在经过一定的时间之后原子距离本来的磁场中心的距离将会和它的速率大小成正比发生变化。因此,处在激发态的原子因能量相对较高而距离中心相对较远，而在基态的原子则因为能量较低将会集中在靠近中心的区域内。最终会得到反映了原子数密度的速率分布的一个在空

17、间上的原子数密度分布情况。如图1.5，中心峰的尖锐程度可以反映发生凝聚的比例。通过分析该分布曲线进一步得到玻色气体的温度。 1.3 描述BEC性质的理论模型根据高等量子力学有 （1.9） （1.10）其中态上的原子密度由表示，求和符号中不包括态。包括所有态的湮灭算符。有外场时 （1.11）其中 （1.12）是BEC的波函数。外部热原子的场算符用表示，并且 （1.13）将（1.11）式代入海森堡方程有 （1.14）其中，相互作用项为 （1.15）把（1.15）式代入（1.14），且有，所以有 （1.16）再把（1.5）式代入（1.16），利用，得到 （1.17）这就是BEC满足的运动方

18、程。此外，在求非凝聚体的方程时 （1.18）这里用代替，的平均值等于零。而，即忽略场的涨落效应，有 （1.19） 将（1.16）式减去（1.17）式，再利用（1.18）式有 （1.20）在BEC形成之后，要比大得多，所以略去，有 （1.21）这就是Ginzburg-Pitaevskii-Gross（GP）方程，其中非线性系数。在没有外部囚禁势时，GP方程无量纲化可变为标准的非线性Schrödinger方程 （1.22）1.4 本文的研究内容及意义考虑BEC从外部热原子云中吸收原子或者有原子耗散，利用相似变换法来研究BEC中孤子的动力学性质。探索BEC生长或者原子耗散对亮孤子和暗孤子性

19、质的影响，实现孤子性质的精确操控。相关结果可为BEC中的孤子实验提供指导。第2章 BEC中孤子幅度调控实验中成功地在超冷原子气体中观察到BEC以后，BEC的研究迅速成为凝聚态物理领域研究的热点之一。BEC形成以后，会继续从外部热原子云吸收原子，即BEC的生长。BEC的生长已经在实验中被证实。例如，23Na凝聚体的生长在1998年被克特勒领导的实验小组观测到，之后7Li凝聚体的生长也被Hulet带领的实验组发现。BEC除了生长，还会原子耗散。在此我们研究BEC的生长和耗散对BEC中孤子性质的影响。2.1 生长BEC的模型基于平均场理论，生长或耗散BEC的性质可用下面GP方程来描述 (2.1)其中

20、M为原子质量；Y是描述BEC的宏观波函数；并且满足， N为BEC中的原子数；是S-波散射长度；是常数；外部势阱 选取如下. (2.2)其中和是谐振势阱的轴向和横向囚禁频率，在此考虑，并设（2.1）式解为 . (2.3)横向振动长度，将（2.3）式对时间T求导有. (2.4)将（2.3）式对空间求导有. (2.5)其中，把（2.4）和2.5式代入（2.1）式中可得 . (2.6)将（2.4）式两边同乘以 可得 (2.7)在（2.7）两边同时对Y， Z从零到正无穷积分，用到的积分变换：. (2.8)其中 ，把积分变换（2.6）式代入（2.5）式之后有 (2.9)随后, 引入变量, 代入方程（2.9

21、）, 并考虑轴向囚禁频率，可得, (2.10)其中, ， 本文中考虑BEC中原子间为相互吸引作用（）.2.2 亮孤子幅度操控基于相似变换法，当时，可得到(2.10)式的亮孤子解为 (2.11)其中，A、v是常数，。为了对比，首先研究了凝聚体中没生长或者没有原子耗散的情况，即，其他参数选取，然后根据（2.11）式画出了图2.1。从图2.1中看到，在初始时刻BEC出现了一个亮孤子。随着时间的推移，亮孤子向左边传播，并且在传播过程中孤子的宽度和幅度都没有发生改变，所以在凝聚体中没生长或者没有原子耗散时，BEC中的亮孤子在传播过程中可保持动力学稳定。接下考虑凝聚体生长的情况，选取，其他参数选取与图2.

22、1一致。根据（2.11）式画出了图2.2。从图2.2中看到，随时间的推移，BEC中的亮孤子向左边传播，并且随着凝聚体不断从外部吸收原子，孤子的幅度不断增加，而宽度保持不变。最后考虑凝聚体中有原子耗散的情况，选取，其他参数选取与图2.1一致。根据（2.11）式画出了图2.3。从图2.3中看到，随时间的推移，BEC中的亮孤子向左边传播，并且随着凝聚体原子耗散，孤子的幅度不断减小，而宽度也保持不变。图2.1 BEC中亮孤子的稳定传播图2.2 BEC中亮孤子幅度增加图2.3 BEC中亮孤子幅度减小2.3 暗孤子幅度操控同样利用相似变换法，当得到(2.10)式的暗孤子解为 (2.12)其中，A和是常数。

23、当时，(2.12)式为黑孤子解，黑孤子幅度最小处为零；当时，(2.12)式为灰孤子解，灰孤子幅度最小处不为零。图2.4 BEC中黑孤子的稳定传播首先选取，来研究黑孤子的动力学行为。为了对比，先考虑凝聚体中没生长或者没有原子耗散的情况，即，其他参数选取与图2.1一致，然后根据（2.12）式画出了图2.4。从图2.4中看到，在初始时刻，一个黑孤子出现在了。随着时间的推移，黑孤子可保持稳定。 图2.5 BEC中黑孤子幅度增加接下考虑凝聚体生长的情况，选取，其他参数选取与图2.1一致。根据（2.12）式画出了图2.5。从图2.5中看到，随时间的推移，BEC中的黑孤子位置仍保持不变。而随着凝聚体不断从外

24、部吸收原子，孤子两边的基底高度不断增加，导致黑孤子的深度也不断增加，即幅度也不断增加，但是宽度保持不变。随后考虑凝聚体中有原子耗散的情况，选取，其他参数选取与图2.1一致。根据（2.12）式画出了图2.6。从图2.6中看到，随时间的推移，BEC中的黑孤子位置不变，孤子两边的基底高度不断减小，导致黑孤子的深度也不断减小，即幅度也不断减小，但是宽度保持不变。图2.6 BEC中黑孤子幅度减小为了研究灰孤子的性质，选取。为了对比，先考虑凝聚体中没生长或者没有原子耗散的情况，即，其他参数选取与图2.1一致，然后根据（2.12）式画出了图2.7。从图2.7中看到，在初始时刻，一个灰孤子出现在了。随着时间的

25、推移，灰孤子向右边传播，而其幅度和宽度都没有改变。这表明黑孤子可保持动力学稳定。接下考虑凝聚体生长的情况，选取，其他参数选取与图2.1一致。根据（2.12）式画出了图2.8。从图2.8中看到，随时间的推移，BEC中的灰孤子位置仍向右边传播。而随着凝聚体不断从外部吸收原子，孤子两边的基底高度不断增加，同时灰孤子的最小幅度处也随着增加，即幅度保持不变，此外，宽度也保持不变。随后考虑凝聚体中有原子耗散的情况，选取，其他参数选取与图2.1一致。根据（2.12）式画出了图2.9。从图2.9中看到，随时间的推移，BEC中的灰孤子向右边传播，孤子两边的基底高度不断减小，同时灰孤子的最小幅度处也随着减小，即幅

26、度保持不变，此外，宽度也保持不变。所以，不论是凝聚体从外部吸收原子还是有原子耗散，灰孤子的幅度都保持不变。图2.7 BEC中灰孤子的稳定传播图2.8 BEC吸收热原子时灰孤子的动力学行为图2.9 BEC原子耗散时灰孤子的动力学行为总结 考虑BEC从外部热原子云中吸收原子或者有原子耗散，从三维GP方程出发，通过降维和无量纲化处理，得到了一维无量纲化的非线性薛定谔方程。利用相似变换法得到BEC的亮孤子和暗孤子解，然后根据得到的解析解数字计算了BEC中孤子的动力学性质。结果表明：当BEC从外部热原子云中吸收原子时，亮孤子和黑孤子的幅度增加，宽度保持不变，而灰孤子的宽度和幅度都保持不变；当BEC中有原

27、子耗散时，亮孤子和黑孤子的幅度减小加，宽度保持不变，而灰孤子的宽度和幅度都保持不变。相关的研究结果可为BEC的孤子实验控制提供帮助。参考文献1 茅奕. 玻色爱因斯坦凝聚的实现及应用J. 北京：现代物理知识， 2000.2 谢世标. 玻色爱因斯坦凝聚的研究J. 广西：广西物理，2002.3 俞慧友. 非线性薛定谔方程的孤子微扰理论及应用D. 湖南：湖南师范大学, 2005.4 王育竹，徐震. 激光冷却及其在科学技术中的应用J. 上海：物理学进展，2005，（04）: 347-358.5 Carr L D, Clark C W, Reinhardt W P. Stationary solution

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