高中数学立体几何平面与空间直线教学设计Word版

1、第 40 讲 平面与空间直线-两条直线的位置关系 （第5-6课时）考点热点一定掌握！9两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系： 平行公理4（三线平行公理）：平行于同一直线的两直线平行。等角定理（线线平行的性质）：如果一个角的两边分别和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。 相交 异面 定义：不在同一平面内的两条直线。叫做异面直线。 所成的角：从二异面直线外的任一点引这两异面直线的平行线，引出的这两条直线所夹的锐角或直角叫做这两异面直线所成的角。 垂直：若两异面直线所成的角等于直角，则称这两异面直线互相垂直。注意：过一点和一条直线垂直的直线在空间有无数多条。 公垂线：和两条异

2、面直线都垂直并且都相交的直线，有且只有一条，这条直线叫做这两条异面直线的公垂线。 距离：夹在两异面直线之间的所有线段中，以它们的公垂线在两交点间的线段长度为最小，这个线段的长叫做这两异面直线的距离。注意事项图3图1图2 分别在两个平面内的各一条直线，它们不一定是异面直线。对此不要和异面直线的定义相混淆。例如图1和图2中的和就不是异面直线。图1中的和是平行的，所以共面；图2中的和是相交的，所以也共面。 定理“垂直于同一直线的两直线平行”在平面几何中成立，但在立体几何中不成立。如图3。 题目中的图形如果和教材中的习惯画法不同或者位置颠倒（即处于非正常位置）时，也要能熟练地使用定理。 在做计算题时，

3、所需关系的得来，必须有严密的推理过程，不能随便默认。10证线线平行证线线平行常用的方法如下：证、都平行于第三直线。理论依据是“三线平行公理”。证、是两个平行平面与第三个平面的交线。理论依据是“一平面和两平行平面相交，交线平行”。证平面，是过的平面与的交线。理论依据是“直线平行于平面，过此直线的一个平面和此平面相交，那么此直线平行于交线”。证、都垂直于同一平面。理论依据是“垂直于同一平面的两直线平行”。用反证法证、共面且无交点。理论依据是“直线平行的定义”。若是两平面的交线，则证此两平面都和平行。理论依据是“同时平行于两相交平面的直线与这两相交平面的交线平行”。若、共面，则利用平面几何知识。例如

4、图，、异面，于，于，于，于，试证四边形为梯形。证明： ， （三垂线逆定理），同理，且，在平面内， ，又 ， ， 平面， ， ，若，则，这与、异面相矛盾， ，四边形为梯形。说明：本题用到方法。例 如图，直线、不共面，两平行平面、截此三直线得和，且，求证此两三角形面积相等。证明： ，平面=，平面=， ，同理， ，:=:，:=:，又 =，=， :=:， =， ，即 。说明：本题使用方法。11证线线垂直证线线垂直常用的方法如下：证垂直于所在的平面。理论依据是“直线垂直平面则垂直于平面内的任一直线”。证在某一平面内且垂直于在内的射影。理论依据是“三垂线定理（记为“垂影必垂斜”）”。证、在某一平面内，是某

5、一直线在内的射影，且。理论依据是“三垂线定理逆定理（记为“垂斜必垂影”）”。证垂直于某一直线，而。理论依据是“垂直于两平行线之一的直线必垂直于另一直线”。证平面，且。理论依据是“直线垂直平面则垂直于平面内的任一直线”。证、平移后的夹角是直角。理论依据是“异面直线垂直的定义”。若、共面，则可以使用平面几何中证两线垂直的方法。例如图，设、分别是两异面直线上的两条线段，如果=，求证：。证明：过直线的中点和 作平面， =， 是等腰的中线， 。同理， ， 。说明：本题使用方法。例如图，在棱长为1的正方体中，求证：。证明：连接， 底面， （三垂线定理）。说明：本题使用方法。例如图，直线平面，直线且与平面斜

6、交于点，求证：在内的射影和在内的射影互相垂直。证明：作垂直于，过与作平面交于，则是在内的射影。 ， ，又 ， ，而是在内的射影， 。说明：本题使用方法。例如图，斜棱柱的底面是正三角形，一条侧棱和底面相邻两边、成等角，求证三棱锥的侧面为矩形。证明： 与、成等角， 在平面内的射影在的角平分线上。 为正三角形，是的平分线， ， （三垂线定理），又 ， ， 为矩形。说明：本题使用方法。天启之门bbb:/aaashuhuang.cc/天启之门最新章节,txt下载,笔趣阁 天启之门无弹窗bbb:/aaashuhuang.cc天启之门吧,跳舞，全文阅读例（82年高考第七大题）已知空间四边形，且=，=，、分别

7、是边、的中点（如图），求证是矩形。分析：本题证明可分两步，第一步先证明是平行四边形，第二步再证明是矩形。思路如下：是矩形 （邻边垂直） 且 （异面直线垂直）。本题的关键是证明，可利用=和=得两个等腰和，过顶点和作底边的高和，则，而和确定平面，而平面， 。说明：本题使用方法。解题错误：不会利用已知条件=和=。不会证明。能力测试认真完成！5 / 6参考答案仔细核对！LJ0104-10两直线的位置关系123456789平行相交异面定义所成的角垂直公垂线距离证线线平行证线线垂直1是异面直线、的公垂线，在上，在上，而垂直于平面，垂直于平面，、相交于直线，求证：。（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右

8、图。）证明：过作直线， 平面， 平面，又 平面， ， 垂直、所确定的平面；又 ， ，又 ， 垂直、所确定的平面； 。说明：本题使用方法。2如图，、分别是、的中点，求证四边形是梯形。（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图。）证明：（暂缺）说明：本题使用方法。3如图，空间四边形中，=，、分别为、的中点，求证为菱形。证明： ， ， ， 为平行四边形；又 ，=， ； 为菱形。说明：本题使用方法。4如图，、四点不共面，求证：。证明： ，平面， 平面，又 平面，平面平面=， （线面平行的性质定理）。说明：本题使用方法。5如图，是正方形，面、都垂直于底面，若截面垂直于，求证：。证明： 。说明：本题使用

9、方法。6. 如图，已知空间四边形，且，求证：。（分析题目时使用上图，写解答过程时请使用下图。）证明：作平面，为垂足，连接、，则、分别是、在平面内的射影。 ， ，（三垂线逆定理） 是的垂心， ， （三垂线定理）。说明：本题使用方法。7是正方形，求证：，。分析：要证，只要证平面，只要在平面内找两条相交直线，它们都和垂直。这由已知可得 、。要证，易见所在的平面（有两个）不可能与垂直；反过来，所在的平面也不可能与垂直。看来需要作辅助线造一个平面，使所在的这个新平面与垂直（过造一个新平面，使与新平面垂直，行吗？）。试连接，在平面中，能否在平面中找两条直线与垂直呢？ 平面，在平面内， ，另外还有 （正方形的对角线互相垂直）。说明：本题使用方法。8如图，平面平面=，直线，在内的射影为，求证：。证