直角坐标系、伸缩变换

1、课刖案知识梳理：(一)、直角坐标系：1直线上点的坐标：2、平面直角坐标系：右手系：左手系：3、空间直角坐标系：(二)、平面上的伸缩变换：1定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换X'X(0)：y'y(0)的作用下，点P(x,y)对应P' (x ' ,y ').称为平面直角坐标系中的伸缩变换2、注(1)0,0(2) 把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；(3) 在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。课中案例2、在同一平面直角坐标系中,求曲线C的方程。1X' X曲线C经过伸缩变换3

2、 后的曲线方程是4x'2 9y'236，.1y -2yx' 3x例3.( 1 )在同一平面直角坐标系中，曲线C经过伸缩变换后的曲线方程是y' y2 2 x' 9y'9，求曲线C的方程。(2)、在同一平面直角坐标系中，求直线 x-2y=2变成直线2x' y '4的伸缩变换例1、由已知伸缩变换、变换后图形的方程两个条件，求出原图形的方程：X 3x(1)、已知点(x,y )经过伸缩变换后的点的坐标是(3,4)，则x=，y=y' 2y(2)、已知点(x,y)经过伸缩变换1x2后的点的坐标是(-2，6)，则x=，y=y' 3

3、y,1 X' X例4.曲线C经过伸缩变换3 后的曲线方程是4x'2 9y'2 36，求曲线C的方程。1y' y2课后案2）的伸缩变换是（x'2xx'3xA.3B.232y'-yy'y231将点2,3）变成点（3,2将点p（x, y）的横坐标伸长到原来的C.x' yD.X' X 1y' xy' y 12倍，纵坐标压缩为原来的丄，得到点 P的坐标为3() A.（2向）B.(2x, 3 c. (3x,2 d. (|,2y)xx3.曲线C经过伸缩变换y1后得到曲线C的方程为v log2（x2),则曲线C的3

4、y方程为（）A.y13 log 2(x2)B.y3 log2(x2)C. ylog 2(3x2)Dy2)4.把函数y sin 2x的图像作怎样的变换能得到ysin (2x)的图像3（)A.向左平移一B.向右平移一C.向左平移一D.向右平移一6633( )3A. y 3f (3x) B.1y 3f (3x) C.y13f( x)D.31 1y f( x)336.点（x, y）经过伸缩变换x'-2x后的点的坐标是（-2 , 6)，则 x，v；15将y f（x）的图像横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标缩短到原来的 -，则所得函数的解析式为y' 3y7.将直线x 2y2变成直线2x'

5、; y' 4的伸缩变换是x&为了得到函数y 2sin（x -）,x R的图像，只需将函数 y 2sin x,x R的图像上所有的点A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6B. 向右平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6C. 向左平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6D. 向右平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6x' 3x9.曲线y sin（x -）经过伸缩变换后的曲线方程是6y' 2y10.曲线x22x倍（纵坐标不变）31倍（纵坐标不变）33倍（纵坐标不变）3倍（纵坐标不变）220变成曲线x'

6、; 16y'4x'0的伸缩变换是11.曲线9x2 4y236经过伸缩变换,1x' x2后的曲线方程是.1y 3y12将直线x 2y2变成直线2x' y' 4的伸缩变换是1 213.函数 y cos x2sin x cosx1, xR.（1）当函数y取得最大值时，求自变量 x的集合;（2）该函数的图像可由y sinx（x R）的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到实用文档x' 2xx' 2x3 在伸缩变换与的作用下，单位圆x2 y2 1分别变成什么图形?y' yy' 2yx14函数y，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数y

7、- ?3x 1xx' 3x1.点（x,y）经过伸缩变换后的点的坐标是（3,4），则x ， y .y' 2y2 将直线x 2y 2变成直线2x' y' 4的伸缩变换是 _3为得到函数y 2sin（上 ）x R的图像，需将y 2sin x, x R的图像上所有的点（1倍（纵坐标不变）31倍（纵坐标不变）33倍（纵坐标不变）3倍（纵坐标不变）3 6 'A. 向左平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6B. 向右平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6C. 向左平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6D. 向右平移一个单位长度

8、，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6x' 3x4曲线y sin（x -）经过伸缩变换后的曲线方程是6y' 2y5将曲线x2 y2 2x 0变成曲线x'2 16y'2 4x' 0的伸缩变换是16.函数f （x）的图像是将函数|og2（x 1）的图像上各点的横坐标变为原来的?，纵坐标变为原来1的-而得到的，则与f （x）的图像关于原点对称的图像的解析式是。2x' 2x1点（一,1）经过伸缩变换后的点的坐标是2 y' 3yx问题一：(1)点(2, -3 )经过伸缩变换1x2后的点的坐标是13y解：变式 i. (i,-i)；(2)点(x, y)经

9、过伸缩变换1x2后的点的坐标是y' 3y(-2 ， 6)，则 x解：变式2. x 4, y 2问题二：(1).曲线9x2 4y2x'36经过伸缩变换y'1-x2后的曲线方程是13yx'2y'2 1(2)曲线C经过伸缩变换1x3 后的曲线方程是 4x'21y9y'236，则曲线C的方程是2 2x' y' 12x1.点(一,1)经过伸缩变换八 后的点的坐标是2y' 3yx'(,3)2 2x' y' 4 ；x14.函数y x，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数y?3x 1x解：分析：可考虑先

10、伸缩，再平移；也可考虑先平移，再伸缩；也可交替地运用平移与伸缩。 方法一、(先伸缩，再平移)y伸长到原来的3 倍:x伸长到原来的3倍：y1 xy 3 3x1%x)13(3x) 1向左平移1个单位，再向下平移方法二、(先平移，再伸缩)1向左平移1个单位31再向下平移 个单位:31个单位:(y3x3x 11)(x 1) 1x' 2xx' 2x3.在伸缩变换与伸缩变换的作用下，单位圆y' yy' 2y1分别变成什么图形?x' 2xx'2解：在的作用下，单位圆变成椭圆 y'2y' y41 ;在y'2x的作用下，单位圆变成圆2y13

11、13(x)3191x 得 y19x13)19(1 x)9方法三、(平移与伸缩的交替运用)1 xx伸长到原来的9倍:(y1 1得y 9x9x1x伸长到原来的3倍：y 13(3x)1向左平移1个单位：3y 1 (xy伸长到原来的3倍：3(1) 13y) 11向下平移1个单位：y 11 得yx评注：这是一道培养发散思维能力的好题。1一 x3得3y1,五，作业x' 3x1点(x, y)经过伸缩变换后的点的坐标是(3,4)，则xxy' 2yy 一y 2.6.函数f (x)的图像是将函数log2(x 1)的图像上各点的横坐标变为原来的纵坐标变为原来的丄而得到的，则与f (x)的图像关于原点

12、对称的图像的解析式是。2解：Q y log2(x 1) 以 3x,2 y 分别代 x, y 得 2y log2(3x 1)11y Tog2(3x 1) 有f(x) Tog2(3x 1)，它的图像关于原点对称的图像的解析式是221y Tog2(1 3x)2x' xy' 4y2将直线x 2y 2变成直线2x' y' 4的伸缩变换是x3为了得到函数y 2sin(； -),x R的图像，只需将函数y 2sin x, x R的图像上所有的点(C )A. 向左平移B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的61倍(纵坐标不变)31倍(纵坐标不变)3个单位长度，

13、6再把所得各点的横坐标缩短到原来的C.向左平移个单位长度，6再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D.向右平移个单位长度，6再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)4.曲线yx' 3xsin(x -)经过伸缩变换后的曲线方程是_y'X'2 si n()?6y' 2y3 61典例剖析【例1】：求下列点经过横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 3倍后的点的坐标:(1) (1, 2);(2)(-2 , -1 ).【例 1 】解：(1) (2, 6); ( 2) (-4 , -3 ).【变式与拓展1】x' 2x【例2】：在平面直角坐标系中

14、，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形y' 3y2 2(1) 2x 3y 0 ； (2) x y 1.'2'2【例 2】解：(1) x' y' 0 ； (2)丿一14 9x' 2x5将曲线x2 y2 2x 0变成曲线x'2 16y'2 4x' 0的伸缩变换是1y' - y 2实用文档对应P' (x ' ,y ').称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。【典型例题】 在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换。将直线x 2y 2变成直线2x y 4，分析：设变换为x, (0),可将其代

15、入第二个方程，得2 x y 4，与x 2yy,(0),较，将其变成2x 4y 4,比较系数得1,4.x x【解】(1)，直线x 2y 2图象上所有点的横坐标不变，纵机坐标扩大到原来的y 4y可得到直线2x y 4。定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换A2 .点(x, y)经过伸缩变换-2 , 6),则 xA4.将直线x 2y2变成直线2x' y' 4的伸缩变换是坐标压缩变换：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到1x -X一 2 一点P' (X ' ,y ').坐标对应关系为：y'

16、; y通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。思考2：怎样由正弦曲线 y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来3倍,Ix x得到点P' (x ' ,y ').坐标对应关系为：y'3y通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。思考3:怎样由正弦曲线 y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。x, (0)的作用下，点P(x,y)y,(y 0)达标检测,1x' x2后的点的坐标是y' 3yx' 2xB6.在平面直角坐标系中，求下列方

17、程所对应的图形经过伸缩变换后的图形:y' 3y(1) 2x 3y 0 ;(2) x1.2.1极坐标系的的概念情境2:如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。 他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置唯一确定吗？ 如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ y21 .老城高中高二数学选修4-4导学案 编号：问题1为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢?问题2:如何刻画这些点的位置?二、新课导学探究新知（预习教材 P8P10,找出疑惑之处）1 如右图，在平面取一个 O，叫做；自极点O引一条射线Ox ,叫做；再选定一个, 一个（通常取_ ）及

18、其（通常取方向），这样就建立了一个坐标表示，一个直角坐标对应个点。极坐标2、设M是平面一点,极点 0与M的距离I OM I叫做点M为终边的角xOM叫做点M。有序数对叫做点M为始边，射线OM的,记为的，记作。3、思考：直角坐标系与极坐标系有何异同?应用示例例题1 : （1）写出图中 A, B, C, D E, F, G各点的坐标（0,02 ).系里的点的极坐标有种表示，但每个极坐标只能对应个点。三、总结提升2.有关曲线伸缩变换的一般性结论:x x般地，由y y，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为向着y轴的伸缩变换（当时，表示伸长；当<1时，表示压缩），即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原

19、来的>1的，记为AOxY Y（这里 P（x, y） 是变换前的点， P（x,y） 是变换后的点）.同理，由y y ，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为向着x轴的伸缩变换（当 >1时，表示伸长；当 <1时，表示压缩）,即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍（这里 P（x, y） 是变换前的点,x xP（x,y） 是变换后的点）.由 y y ，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数向着x轴和按（2）:思考下列问题，给出解答。平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有少种表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式?本题点G的极坐标统一表达式。答：反馈练习在下

20、面的极坐标系里描出下列各点OX伸缩系数向着y轴的伸缩变换（当1时，表示伸长，1时，表示压缩；当1时,表示伸长，当 <1时，表示压缩），即曲线上所有点的横坐标和纵坐标分别变为原来的倍（这里 P（x, y） 是变换前的点， P（x,y） 是变换后的点）.x问题一：（1）求点（2, -3）经过伸缩变换倍和A(3,0)B(6, 2)C(3,y4D(5, 3 )E(3,56)F(4,5G(6,)小结：在平面直角坐标系中，一个点对应1x2后的点的坐标;13y.1x x（2）点（x,y）经过伸缩变换2 后的点的坐标是（-2 , 6）,求点（x, y）y' 3y问题二：（1）.求曲线9x2 4y

21、236经过伸缩变换X'y'1-X2后的曲线方程;1（2）曲线C经过伸缩变换X'y'X3 后的曲线方程是4x'29y'236，求曲线C的方程。1.般地，由驚；，所确定的伸缩变换，是伸缩系数为k向着y轴的伸缩变换。当k > 1时，表示伸长；当k < 1时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k倍。这里P （x, y）是变换前的点，P'（x' , y'）是变换后的点。X = x'2.同样由 ：X，所确定的伸缩变换是伸缩系数为k向着x轴的伸缩变换。ky = y'4,我生成的问题：三，

22、我的收获：本节课的知识结构、学到的方法、易错点四，课堂检测：x' 2x1.点（一,1）经过伸缩变换后的点的坐标是 2y' 3y2将点（2, 3）变成点（3, 2）的伸缩变换是（）2.3X'XX'XA.3B.2cx'yDC.32y'Xv'c yv'c y23x'X1y'y13.在伸缩变换x 2x与x 2x的作用下，单位圆x2 y2 1分别变成什么图形? y' y y' 2yx14.函数y X，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数y 1 ?3x 1x,五，作业1 .点（x,y）经过伸缩变换2.将直线

23、x 2yx' 3x后的点的坐标是（3 , 4），则x ， yy' 2y2变成直线2x' y' 4的伸缩变换是3 .为得到函数y 2 sin(-X ) x36 'R的图像，需将y2 sin x, xR的图像上所有的点（A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6x' 3x4曲线v sin（x ）经过伸缩变换后的曲线方程是6y' 2y1 一 、-倍（

24、纵坐标不变）31 一 、-倍（纵坐标不变）33倍（纵坐标不变）3倍（纵坐标不变）5.将曲线x2 y2 2x 0变成曲线x'2 16y'2 4x' 0的伸缩变换是一16.函数f （x）的图像是将函数log2（x 1）的图像上各点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来31的丄而得到的，则与f （x）的图像关于原点对称的图像的解析式是。2x问题一：(1)点(2, -3 )经过伸缩变换x2后的点的坐标是13y三，我的收获：本节课的知识结构、学到的方法、易错点四，课堂检测:解：变式 i. (i,-i)；点(一,1)经过伸缩变换2(2)点(x, y)经过伸缩变换.1 x' x2

25、后的点的坐标是y' 3yx' 2x后的点的坐标是y' 3y(-2 ， 6)，则 x将点(2, 3)变成点3,2)的伸缩变换是(B )解：变式2. x 4, y 2问题二：(1).曲线9x2 4y2x'36经过伸缩变换y'1x2后的曲线方程是x'21 3yy'2 1A.C.(2)曲线C经过伸缩变换2 2x' y' 11般地，由yv;所确定的伸缩变换，是伸缩系数为当k > 1时，表示伸长；当变为原来的k倍。1x3后的曲线方程是 4x'2 9y'236，则曲线12yk向着y轴的伸缩变换。C的方程是k <

26、; 1时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标这里P (x, y)是变换前的点，P'(x' , y')是变换后的点。x = x'2同样由，所确定的伸缩变换是伸缩系数为k向着x轴的伸缩变换。ky = y4,我生成的问题：y'x'y'2x332¥B.y'3x223¥在伸缩变换解：在x'2 y'2D.y'y'x'y'2xx'与伸缩变换yy'2x的作用下，单位圆2y2y 1分别变成什么图形?2x的作用下，单位圆变成椭圆yx'24,2y1

27、;在y'2x的作用下，单位圆变成圆2yy x ，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数3x 1解：分析：可考虑先伸缩，再平移；也可考虑先平移，再伸缩；也可交替地运用平移与伸缩。 方法一、(先伸缩，再平移)4.函数y伸长到原来的3 倍:x伸长到原来的3倍：y1 x3y 3x3x3x 1x)13(評1向左平移1个单位，再向下平移 1个单位：(y1) 1(x 1) 1方法二、(先平移，再伸缩1向左平移'个单位:31再向下平移_个单位:3)1x3F3(x 3)191x 得 y9x13)19(1 x)9方法三、(平移与伸缩的交替运用)1 一 x x伸长到原来的3倍：y 313( x)3

28、x伸长到原来的9倍:(y向左平移1个单位：3y 1得9x11 -x3一得 3yx 1(x 1) 1y伸长到原来的3倍：3(1 y)3向下平移1个单位：y 1111得x得yx评注：这是一道培养发散思维能力的好题。,五，作业x' 3x1.点(x, y)经过伸缩变换后的点的坐标是(3,4)，则xxy' 2yy 一y 2.2将直线x 2y 2变成直线2x' y' 4的伸缩变换是x' xy' 4yx3.为了得到函数y 2sin(f -) x R的图像，只需将函数y 36 '(C )A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的64 曲线y sin(x )经过伸缩变换6x' 3x后的曲线方程是y' 2y2 sin x, x R的图像上所有的点1-倍(纵坐标不变)31-倍(纵坐标不变)33倍(纵坐标不变)3倍(纵坐标不变)x'y' 2si n( )36'x' 2