相似五大模型总结材料老师

1、学科教师辅导讲义学员编号:年 级：初三学员:辅导科目：数学课时数：3 学科教师：吴猛授课类型T（同步知识主题）C （专题方法主题）T （学法与能力主题）授课日期及时段2016-07-27相似三角形模型总结模型一：A型或反A型1. （ 2011?模拟）将三角形纸片 ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B',折痕为EF .已知AB=AC=6 , BC=8，若以点B F, C为顶点的三角形与 ABC相似，那么BF的长度是（）A . B . 4 C .或 2D . 4 或考点：相似三角形的性质；解一元一次方程；翻折变换（折叠问题） 专题：计算题；压轴题.分析：根据折叠得到BF

2、=B 'F，根据相似三角形的性质得到=，设BF=x，则CF=8 - x，即可求出x的长，得到BF的长，即可选出答案.解答：解: / ABC沿EF折叠B和B重合， BF=B F,设 BF=x，贝U CF=8 - x,/ 当厶 B FC ABC ,-=,/ AB=6 , BC=8 ,-=,解得：x=,即: BF=,当FB CABC ,解得：x=4 ,当ABCCB'F 时，同法可求 BF=4,故BF=4或，故选：D.点评：本题主要考查了相似三角形的性质，折叠问题，解一兀一次方程等知识点，解此题的关键是设BF-x，能正确歹列出方程.1、如图： AABC中，D是AB上一点，AD=AC,

3、BC边上的中线 AE交CD于F。 求证：答案：证明：（方法一）如图延长 AE到M使得EM=AE，连接CM/ BE = CE,/ AEB= / MEC / BEACEM / CM=AB,Z 1 = / B / AB / CM/ M = Z MAD，/ MCF=Z ADF MCF ADF / CM=AB, AD=AC（方法二）过 D作DG / BC交AE于G则厶 ABEADG , CEFDGF ,/ AD =AC, BE=CE模型二：X型和反X型1. （ 2012?）如图，在正方形 ABCD有一折线段，其中 AE丄EF, EF丄FC,并且 AE=4 , EF=8, FC=12，则正方形与 其外接圆

4、形成的阴影部分的面积为80 n- 160 .考点：相似二角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；正多边形和圆.专题：压轴题.分析：首先连接AC,则可证得 AEMCFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得 AM与CM的长，则可求得正方形与圆的面 积，则问题得解.解答：解：连接AC ,/ AE 丄 EF, EF 丄 FC, / E= / F=90°/ Z AME= / CMF （对顶角相等）， AEM s CFM , ?/ AE=4 , FC=12 , ? EM=2, FM=6 ,在 RtA AEM 中，AM=2 ,在 RtA FCM 中，CM=6

5、 , AC=8,在 RtA ABC 中，AB=AC ?sin45 °8 >=4 , S 正方形 ABCD =AB =160 ,圆的面积为：n? （） 2=80 n,正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80 n- 160.故答案为：80 n- 160.点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形与圆的面积的求解方法，以及勾股定理的应用此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用.2、如图，弦和弦相交于一点，求证：思路点拨：题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用证明：连接，在 s.3 .如图

6、， ABC ADE且Z ABC玄ADE Z ACBZ AED BC. DE交于点 O.则下列四个结论中，Z 1 = Z 2;BC=DE厶ABBSA ACEA. O C. E四点在同一个圆上，一定成立的有（）A.1个B. 2个C.3个D. 4个【答案】D模型三：字母型1. 如图，点 A, B, C, D为OO上的四个点，AC平分Z BAD AC交BD于点E, CE=2, CD=3则AE的长为（）A. 2 B . 2.5 C . 3 D . 3.5【答案】B.2 . (2015?)的长为(如图，AB为O O的直径，C为OO上一点，弦 AD平分/ BAC，交BC于点E, AB=6 , AD=5，贝U

7、 AE ）A . 2.5 B.考占：P 八、2.8 C. 3 D. 3.2专题：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理. 压轴题.分析：连接BD、CD，由勾股定理先求出 BD的长，再利用 ABDBED，得出=，可解得DE的长，由AE=AD -DE求解即可得出答案.解：如图1，连接BD、CD，解答:点评:5/ AB 为 O O 的直径， / ADB=90 ° BD=，/ 弦 AD 平分 / BAC， CD=BD=， / CBD= / DAB， 在厶ABD和厶BED中， ABD BED，=，即=，解得 DE=， AE=AD - DE=5 - =2.8 .故选：B此题主要考查了三角形

8、相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出 ABD BED .3、已知如图，CD是RtA ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交 CA于F。 求证：ACgCF BCgDF证明： CD是RtA ABC斜边AB上的高，E为BC的中点 CE=EB=DEB=Z BDE = Z FDA/ B+ / CAB=90°，/ ACD+ / CAB=90°B=Z ACDFD ADFC CD/ F= / FFDA FCD/ ADC = / CDB=90° / B= / ACD ACD sCBDAD ACCD BCFDFCACBC即 ACgCF BCgDF模型四：1

9、.已知:45°.一线三等角如图， ABC 中，/ BAC= 90°, AB= AC = 1,点D是BC边上的一个动点（不与B, C点重合），/ ADE =(1) 求证： ABD s DCE ;设BD = x, AE = y,求y关于x的函数关系式;当 ADE是等腰三角形时，求 AE的长. 答案：(1) AA '判定(一线三等角)(2) y x22x 1(3)三种情况舍去一种，AE=2- . 2，或AE=1/23DAE<ZEAC=9d'，EADE=4矿.肖厶如E是尊朝三比冊时，里一种可配是AD-CE， 又 vAiBDwZlDCSf- HABAEHDCE

10、.Atn=A=i, *bi-4I-uVBD=CE i-AE-AC-CE-2-j2，(2)vi DC Z -r AB 一嗣.当出型三星等區三律題时，第二种可能呈EAEk-C 1 J if :冷 ZlAEt 中，ZEAC = 90* MME，BD=s>/社* 3A ZAK-/AC3-4?0 'CD=BC-BD=j2-i.:址时肖EDEET 号 ZADt=dS* *L X01AAD|g亘耳二旬聒.47-J： C£ * AE=Dz=-ACs- yzaOA+ZEAD-125, 'CE-j23r-s£*2 2肖上XE划W点r与点E豆台不台曲盍斯以舍去'AE

11、-AC-CE-l- iJTi-i1) -f-Jas+l -4二 AA&DADCE .却厂宀2<*1 £3.已知点2A、B分别在反比例函数 y 28(x>0) , y(x >0)的图象上，且OAL OB则xxOA的值为()A.-2B. 2C.3D. 3能：ilAffAy丄土轮于几 过mem丄工轴于h.V Q-LC-BA .NC-nkO-A03-90L，.-丄 1-三2=就° T Z£-+Z3=fl&s .- AOAItw ZkBOM r/i駅在戸尢剖區1勲一二 UO八1- （x>0）乂X险 S*AOM"i * S*B

12、Ob?"4 *A（相似三帝时的面聊比寺亍掘帼比的平万）+故 ijm.【答案】B模型五：旋转相似和八字模型1.如图，O为矩形ABCD勺中心，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC AB相交,交点分别为 M N.如果AB=4, AD=6 OM=x ON=y贝U y与x的关系是（）a 263A. y x B . yC . y=x D . y x3x2解：Bab干前，倔耳刍He于点q.v JtiPON-FOM=30 ' * FOM-/MCfl=9Q'> MM卜丄MOQ，Hv ZNPO-MQO I.- iOMPOWQ-0=： GQ-AD :丄异号

13、OM-2 2斷以厂討配普宪为厂c【答案】D2点A,B,C都在半径为r的圆上，直线 AD丄直线BC,垂足为D，直线BE丄直线AC,垂足为E,直线AD与BE相交于点H，若BH "3AC,则/ ABC所对的弧长等于 （长度单位）156.（弦所对的劣弧与优弧长）33解；VAD 丄班 t BE 丄AS.- ZH+DBH=90° ，ZC4ZDEH=90e ，/- ZH=C.R'/ZEDH-ADC-SO* -AACD« ABHD.,BD BH = IAD ACV6H-j3AC，婆0AD 7 ZABC=3OS I- ABC所对的弧长所对的HI己角为X 2=60°

14、 ，- ABC所対的弧长=- r -ISO 3如囹2, SABC-liO*时,MABC所对的弧长所对的圆心角为北厂，二眩所对的弧长岁:驚岭壮*1803故曹案为：丄吒r或丄牡*3、如图1 , ABC和厶GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形 有（）A . 1对B . 2对C. 3对D . 4对答案：C（不包括全等）共A（图1)334.如图，在 PAB中，点 C D在边 AB上, PC= PD= CD, / APB= 120°.（1）试说明 APC与 PBD相似. 若CD= 1, AC= x, BD= y,请你求出y与x之间的函数关系式.小明猜想：若 PC= PD= 1,Z C

15、PD=a,Z APB=3,只要a与B之间满足某种关系式，问题 （2）中的函数关系式 仍然成立你同意小明的观点吗？如果你同意，请求出a与B所满足的关系式；若不同意，请说明理曲.(I) vpc=FD=C： 'FC=FD -A ZPCD-ZPDC-ZCPD-60,-ZPCD-ZPDC*-*- ACP=GDP=12C d >- zrcAzpnB,v ZAi-APC-fO* - -APC*-iBPD-Z4?B- ZCFU-L2DQ 60 -GC*当AC rD时.则有厶APCs也PBD,几 A=BFL i.'.2 A= 21PB -门 AAPCAPED f(2)由(1 li ffi

16、AAPCm APBD -T ZAFC+ DPE=*： AFB- C?D= & - « j* AC_PD- Z PCO ZPDC= A+ ZPC= is - a :PC 3D1在 A?CD+ - 2PCB+PDC* -CFD-iaO，- = 7(>0 ) ip _ m 亠金一 B + CL = 1目)d , ®P- CL-I.? =150° -1 yx5、（ 2015?，第17题4分）如图，在矩形 ABCD中，AB=8, AD=12，过点A, D两点的O O与BC边相切于点E，则OO的半径为【课堂练习】1、（ 2015 年 12 分）如图，在 ABC中

17、（BC>AC）,/ ACB=90，点 D在 AB边上，DEI AC于点 EAD 1（1 ）若DB 3 , AE=2求EC的长（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F, C, G为顶点的三角形与 EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P,问：线段CP可能是 CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由【分祈】（O证deBS由平行线分线段成比例走理列比例式即可求命分三种情;見讨i仑：若ZCF&-ZECD，此时的FG边上的中线若Z CFG-ZED 此时CPACFG的FG边上的鬲逐的平分銭时CPBSACFG的彩边上的高绒 又是中线.（2）少打匡1，SZCFt-ZECns it

18、Id if CF是厶前拈边上的中歩“质閒：匚祁, ,TECD'Z<H-r hCFG-ECDt-'-eZPCC.CF=P&*7 ZCF4-ZUI ' CF-FP*PF«f &=C?-'践血F杲匚FG翻阳it上的申战»肋图2,若ZCFt-ZEDC，就时线屋CF为也匚弼的FG边上的葛纯.证明：VDElACi- E3C*ECD=9Ofl fV ZCFC-ZEDC-A ZCFG'ECD-90 -/- ZCPf =&0 *，:、CPjACFGFGiS上的鬲魏.如囹3,当匚D为"CE的平分线时，CF舐是乂恥的

19、FG边上的高线冥是中如(1)2、如图所示，M为线段 AB的中点，AE与BD交于点C,/ DMEM A=/ B=a,且DM交AC于F, ME交BD于G 写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG如果a=45°, AB=4, AF=3,求FG的长力析1 （；）根捋已知罢岸，:沪口，結音圉形上昉公扶角，艮冋推出AD耶g皿X，AEMFAEA«5 ZblF« ABOl?（?）相据拒佩三筆形的性质.雄岀丽的怅度惦拐跟角三角西埶推出肮的芒庸即可求出"、CT的 长黄，鑑面掘出贺的炭度.解：（1） AAM£« AWFE - ABMDAMC

20、D - AaMFABCW， -心分）/ ZA5ID-ZB+ZD - BGM-ZDHS-hD又 ZB=ZA=ZDME=* ZAMF=ZBtM，/ AAiiFAE&W，“ 佔分（2）连播FG由门）知，ZUMF"时M，BG_BM 口严_SAM AF3Z a=45c -3、如图 ABC中,AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE:ED=2AFFB解=过匸作FUJJ ABxCE于H， ACFH® ACAE -证明：如圏，过戌D作DNyCF,交朋于宜NvDC=DBAFN=NB=-5FS1/ DN 卩 CF s二 AF : FM=AE : DE =即AF

21、：分F=AE： DE，.- AE*FB = 2DE*AF 4、如图，在三角形 ABC中，AB=AC点E、F分别在AB和AC上，CE与BF相交于点 D,若AE=CF, D为BF的中点，则AE AF 为1分忻】过F作FH"戕交CE于H，i先证明厶BED兰AfHD (SAS)-得FH=BE ：再述明CFHsACAE，得到HF：AR=Cr： AC，由口知可f<CF=AE . AF=BE=KF，1§A=EA=1 - AE = x -世入丰目像比中"即可帑得 即可得 ffiAE ； AF * FH=BI ，FU / AB ，vFHABf*' HF : AE-CF

22、s AC i» ZHFD=EBD)*. AC-AB j CF7E，VD>t)E-的中直AF-BE-HF -/SD-DF -i殳 A<=AB= 1 r AE=x r 则"F-YF 即为 1_E设A=AB=1r AE=x»在ABED和巴FHD中£ebd = ZhfdAE AC 工心寺唏JZ1BED空 AFHD ( AAS ) j能力提升训练：动点(与点 A不重合)，BP与AC相交于点E,设AF=x .(1 )求AC的长；(2)如果AABP和ABCE相似，请求出X的值；(3 )当厶ABE是等腰三角形时，求 X的值。解：(1)例1如图，在平行四边形

23、ABCDh AB=4, AD=6,/ AB(=60°点P是射线AD上的一个过点A作AFBC于F在RtAFB 中，AFB90 ,ABF60- AFABsinABF4 sin 60432 32BFAB cosABF 4 cos 601422在RtAFC 中，AFC90 AC.AF2FC2i(2i3)2 422 7过点P作PGBC于G在RtBPG 中，PGB90 BPBG2PG2.(2.3)? (2x)2 x2如果ABP和BCE相似APBEBC又BAPBCDECB ABEC日仃46X2.764x 166BP BCx2 4x 16 ABP ECB4解得Xi 8, X2(不合题意，舍去)3 x

24、 8(3) 1 当 AE AB 4 时即x64解得x 4.782 J42 当BEAB4时PEAP AP/ BCBEBC即x24x164x 解得x112 ,x2465 AP / BC03 在 Rt AFC 中，AFC 90AP AEBC EC FC 42 3 AF 在线段FC上截取FH AF FAE FAH 45 BAE 453060 ABC ABE AE BE综上所述，当 ABE是等腰三角形时，x 4 78或125例2、如图，矩形 EFGD的边EF在 ABC的BC边上，顶点D、G分别在边 AB、AC上.已知 AB AC 5, BC 6，设 BE x , S矩形efgd y -(1 )求y关于x

25、的函数解析式，并写出自变量 x的取值围；1(2) 联结EG，当 GEC为等腰三角形时，求 y的值ABAC , BHHC 3.在RtABH中，AHiAB2 AH 2四边形EFGD是矩形，EF在BC上，.DEAHtan BBEBHDE44, DExx33ABAC ,BC,又DEBGFC90 , DE GF解：(1)过点A作AHL BC,垂足为H.4.DBE也 GFC ,FCBEx. DE BC EF 6 2xy 3x(6 2x) ；x338x ( 0x 3)(2)当 GEGC时，可证BEDG EF ,得：x6 2x，解得x2，此时，y3当CGCE时，可求：GC55-x，得：一 x 6x，解得：x9

26、-，此时，9 y3342当EGEC时，过E作EFAC 于 F，贝U CF151CG 5x，” CF可证 cosC32 6CE53口53” 口108 ,6048即: CFCE，得:x(6 x)，解得：x此时，y565431849综上述，169y的值是16或9或6048。321849练习：1如图，已知一个三角形纸片ABC , BC边的长为8,BC边上的高为6，B和C都为锐角，M为AB 一动点(点M与点A、B不重合)，过点M作MN / BC，交AC于点N，在 AMN中，设MN的长为x， MN上的高为h .(1 )请你用含x的代数式表示h .(2)将 AMN沿MN折叠，使 AMN落在四边形BCNM所在

27、平面，设点 A落在平面的点为 A, A.MN与四边形BCNM重叠部分的面积为 y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？【答案】解：(1) Q MN / BC AMN abcx8 3x4(2) Q AMNAiMN AiMN的边MN上的高为h , 当点A落在四边形BCNM或BC边上时，c 1133 2,ySa amn=MNh x x_x(0x <4)2248 当A1落在四边形BCNM外时，如下图(4 x 8),设厶A1EF的边EF上的高为h1 ,Q EF / MN A1EFa1MNQ AMNABC A1EFABCSa a1efSa ABChi6Q Sa ABC6 824SA A1EF3x 6

28、26243x 12x 242Q ySA A1MN'所以y9 2_x8综上所述：当0当4x8时，取x163,y最大Q86 AiEF12x8当3 2 -x812x24212x 2424(48)，取xy最大69 2y 8x12x 24,y最大，y最大8AI2: y的顶点D、E分别在直线Il、l2上，顶点2x 16相交于点C, h、l2分别交x轴于A、B两点.矩形DEFGF、G都在x轴上，且点G与点B重合.(1)求 ABC的面积；(2)求矩形DEFG的边DE与EF的长;(3)若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t(0 < t < 12)

29、 秒, 矩形DEFG与厶ABC重叠部分的面积为 S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的 t的取值围.yl2广E 1 /ZA OF(G,)B x【答案】(1)解：由2x330,得x 4 A点坐标为由2x160,得x8.B点坐标为8,0 . AB412.2x32x83解得16.5 C点的坐标为6.5,6 . & ABC 2AB，yc12 636-(2)解：点D在li上且xDXb8,2yD 3 D点坐标为8,8 .又点E在l2上且yE yD 8,2xE168. xE4. E点坐标为4,8 . OE 8 4 4, EF 8.(3)解法一：当0 < t 3时，如图1,矩形DEFG与厶AB

30、C重叠部分为五边形 CHFGR (t 0时，为四BG陰即3罟RGs RtA AMC,，即二BM CM Q RtA AFH2t.Sa abcSa brg Sa afh364t238时，如图443 .2,为梯形面积，T（8 1,0）. GR=23（8t）43（4 七）8 8 肖8t380312时，如图3,为三角形面积,1 2t2（83）（12 t）8t483 .已知：把 Rt ABC和Rt DEF按如图甲摆放(点 C与点E重合)，点B、C (E)、F在同一条直线上./ BAC= / DEF=90 ° / ABC=45 ° BC=9cm , DE=6cm , EF=8cm .如图

31、乙， DEF 从图甲的位置出发，以 1cm/s 的速度沿 CB 向厶ABC匀速移动，在厶DEF移动的同时，点P从厶DEF的顶点F出发，以3cm/s的速度沿FD向点D匀速移动.当 点P移动到点D时，P点停止移动， DEF也随之停止移动.DE与AC相交于点Q，连接BQ、PQ，设移动时间为 t (s).解答下列问题：(1 )设三角形BQE的面积为y (cm2)，求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值围；(2) 当t为何值时，三角形 DPQ为等腰三角形？(3) 是否存在某一时刻 t，使P、Q、B三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由./LA> 5 圈甲FBE C

32、图乙【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行线分线段成比例.【专题】 压轴题；分类讨论.【分析】(1)在Rt DEF中由勾股定理可以得到 DF=10 .同理，在 Rt ABC中，/ ABC=45 °所以 ABC为等腰 直角三角形；由 DE丄BC，Z ACB=45 °知厶QEC也是等腰直角三角形，所以， QE=CE=t，贝U BE=BC - CE=9 - t ； 则厶 BQE 的面积 y=BE?QE (0v t<)；(2) 在 Rt DEF 中，DE=6，DF=10，所以，cos/ D=，sin/ D=;在 Rt PDG 中，通过 sin/D 求得 PG、

33、cos/ D 解 得DG，那么GQ=DQ - DG ;在Rt PGQ中，利用勾股定理，求得PQ2.若厶DPQ为等腰三角形时，分三种情况：若DP=DQ ； 若DP=PQ ；当DQ=PQ时；(3) 当t=0时，点B、P、Q在同一条直线上；当B、Q、P在同一直线上时，过点 P作DE的垂线，垂足为 G,贝U PG/ BE , DPGDFE;然后由相似三角 形的对应边成比例求得 PG、DG的值，而DQ=6 - t,所以求得GQ=DQ - DG的值，根据平行线的判定定理知GP/BE，可证 GPQQBE，所以，GP: BE=GQ : EQ,从而解得t=，点B、Q、P在同一直线上.【解答】 解：（1）Z AC

34、B=45 ° / DEF=90 °/ EQC=45 ° EC=EQ=t , BE=9 - t., （2 分）即：（）（1分）（2） 当 DQ=DP 时， 6- t=10 - 3t，解得：t=2s . （2 分） 当PQ=PD时，过P作PH丄DQ，交DE于点H ,贝U DH=HQ=，由 HP/ EF,则，解得s （2分） 当QP=QD时，过Q作QG丄DP,交DP于点G,贝U GD=GP=，可得： DQGDFE ,则，解得s （ 2分）（3）假设存在某一时刻t,使点P、Q、B三点在同一条直线上.则，过P作PI丄BF，交BF于点I, PI / DE,-T.曰于是:,则，

35、解得：S.答：当s,点P、Q、B三点在同一条直线上.（3分）【点评】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例解答（2）题时，需注意分类讨论，全面考虑等腰三角形的腰与底的各种情况.4.如图，已知 ABC是边长为6cm的等边三角形，动点 P、Q同时从A、B两点出发，分别沿 AB、BC匀速运动, 其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间 为t （s）,解答下列问题：（1 ）当t = 2时，判断 BPQ的形状，并说明理由；（2）设厶BPQ的面积为S （cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR/

36、BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时， APRs PRQ?【答案】 解： BPQ是等边三角形，当t=2时,AP=2 X 1=2,BQ=2X 2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP又因为 / B=6C°,所以 BPQ是等边三角形.过 Q作 QEL AB,垂足为 E,由 QB=2y,得 QE=2t sin60 C= 3 t,由 AP=t,得 PB=6-t,所以 SA BPQX BPX QE=1 (6-t) X . 3 t=二3 12+3 3 t ；2 2 2因为 QR/ BA,所以/ QRCM A=6C0,/ RQCM B=60°,又因为/ C=6C

37、76;,1所以 QRCi等边三角形，所以 QR=RC=QC=6-2t因为 BE=BQ cos60°= X 2t=t,2所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以 EP/ QR,EP=QR所以四边形 EPRQ是平行四边形，所以 PR=EQ= 3 t,又因为/ PEQ=90,所以/ APR* PRQ=90.因为 APR-A PRQ,所以/ QPRM A=6d),所以 tan60 0= QR ,即 62- v 3 ,所以 t= 6 ,PR<'3t5所以当 t= 6 时， APR-A PRQ55、如图，已知过 A (2, 4)分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为 M

38、、N，若点P从0点出发，沿0M作匀速运动, 1分钟可到达 M点，点Q从M点出发，沿 MA作匀速运动，1分钟可到达A点.(1) 经过多少时间，线段 PQ的长度为2 ?(2) 写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和 t的取值围；(3) 在P、Q运动过程中，是否可能出现 PQ丄MN ?若有可能，求出此时间 t;若不可能，请说明理由；(4) 是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与厶 MON相似？若存在，求出此时间 t;若不可能，请说明理由.【考点】相似形综合题.【分析】(1)在直角 PQM中利用勾股定理，PM2+MQ2=PQ2，即可列方程求得t的值；(2) 根据(1)中的式子即可直接求

39、解；(3) 首先求得直线 MN的解析式，PQ丄MN则两直线的一次项系数乘积是-1，据此即可求解；(4) 分当 PMQMON和厶QMPMON，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解.【解答】解: (1)v A ( 2, 4),OM=AN=2 , AM=ON=4 ,点P1分钟可到达 M点，点Q1分钟可到达 A点，点P的运动速度是2个单位每分钟，点 Q的运动速度是4个单位每分钟.设经过t分钟，则PM=2 - 2t, MQ=4t ,在直角 PQM 中，PM2+MQ2=PQ2,即(2 - 2t) 2+16t2=4，解得：t=或 0 (舍去)，即经过分钟，线段 PQ的长度为2;(2) y= ( 2 -2t

40、) 2+16t2, 即卩 y=20t2 - 8t+4;(3) M的坐标是(2, 0), N的坐标是(0, 4),设直线MN的解析式是y=kx+b，则， 解得：,则直线MN的解析式是：y= - 2x+4,当PQ丄MN时：=，解得：t=,即当t=时，PQ丄MN ;(4) 当厶 PMQMON 时，=，即：=，解得：t=;当厶QMPMON时，=，即=，解得：t=.故当t=或时，P、Q、M构成的三角形与厶 MON相似.【点评】本题是相似三角形的性质以及勾股定理、一次函数的性质的综合应用，正确进行讨论是关键.6、( 2013?)如图，已知正方形 ABCD的边长为4，对称中心为点 P,点F为BC边上一个动点

41、，点 E在AB边上, 且满足条件/ EPF=45 °图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1.(1) 求证：/ APE= / CFP;(2) 设四边形CMPF的面积为S2, CF=x,. 求y关于x的函数解析式和自变量 x的取值围，并求出 y的最大值； 当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求 y的值.【考点】四边形综合题.【专题】压轴题.【分析】（1）利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论；（2）本问关键是求出 y与x之间的函数解析式. 首先分别用x表示出S1与S2,然后计算出y与x的函数解析式这是一个二次函数，求出其最大值； 注意中心对称、轴对称的几何性质.【解答】（1）证明：/ EPF=45 ° / APE+ / FPC=180°- 45° °而在 PFC中，由于PC为正方形 ABCD的对角线，贝U / PCF=45 °则/ CFP+Z FPC=180 °- 45° ° / APE= / CFP.（2）解： / APE= / CFP，且/ FCP=