信号与系统第八章1郑君里

1、1第一节第一节 引言引言第八章第八章 Z变换、离散时间系统的变换、离散时间系统的Z域分析域分析本章主要讨论：本章主要讨论：Z变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏变变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏变换的关系；利用换的关系；利用z变换解差分方程；变换解差分方程；利用利用z平面零极点的分布研究系统的特性平面零极点的分布研究系统的特性。2二z变换的导出抽样信号的拉氏变换抽样信号的拉氏变换离散信号的离散信号的z变换变换) t () t (x) t (xTsnn)nTt ()nT(x)nTt () t (x对对 取拉氏变换取拉氏变换)(stxnss)nTt ()nT(xL) t (xL)s

2、 (XOt txsTT2 nTtnTx On nx1 23 nnsnTnTxnTtLnTxsXe)()()(s sj 其其中中为为连连续续变变量量，引引入入复复变变量量 e sTz )()(| )(eszXznxsXnnzsT )(变变换换式式为为的的（双双边边）对对任任一一信信号号znx nnznxzX)()( nxnTx表示为表示为，将，将4 zTsezzssXeXzXZezsTasTezsTsTln1，为平面的映射，映射关系平面到量两变量的关系，由复变信号的拉斯变换变换就等于其理想抽样时，抽样序列的当。js其中ssTjTeez 后的傅立叶变换。该序列乘以变换可看成的这时一个序列变换存在的

3、只要令：nnnnnjnnnjjTrznxznxrnxernxrenxzXrezTers,5 Z变换演变为离散序列的傅里叶变换（DTFT）3. Z空间与s空间映射规律S平面上的复变量s是直角坐标，z平面的复变量是极坐标形式,S中实部 为零对应于虚轴 , z平面r=1对应于单位园 当s在 轴上取值，拉氏变换变为傅氏变换 0对应于s平面左半边， r1对应于z平面单位园内由s平面到z平面的映射不是单一的。 nnjjezenxeXzXrj则如,1jTrezTersjsjj6 在单位园上Z变换演变为离散序列的傅里叶变换（DTFT） sXeXzXZezasTezsTsT。信号的拉斯变换变换就等于其理想抽样时

4、，抽样序列的当 后的傅立叶变换。该序列乘以变换可看成的序列nnnjnrznxernxzX7nnz)n(x)z(X的负幂的正幂zn210z12z)n(xz)2(xz) 1 (xz)0(xz) 1(xz)2(x 三对z变换式的理解变变换换单单边边zznxzXnn,)()(0 列列的的负负幂幂级级数数构构成成右右边边序序zn 0 列列的的正正幂幂级级数数构构成成左左边边序序zn 1 若双边序列取单边若双边序列取单边z变换，或对因果信号（有起因序变换，或对因果信号（有起因序列）列） 存在的序列取存在的序列取z z变换变换 0 n8z变换的定义 变换变换双边双边变换变换单边单边nnnnznxzXzznx

5、zXz)()()()(0 的的生生成成函函数数。为为某某些些文文献献中中也也称称数数）；的的幂幂级级数数（亦亦称称罗罗朗朗级级复复变变量量)(1nxzXz 第二节第二节 z z变换的定义、典型序列的变换的定义、典型序列的z z变换变换9一单位样值函数 0 001)(nnn 1)()( nnznzX 二单位阶跃序列 0001)(nnnu1 z1111)(1321 zzzzzzzXnO)(n 1nO)(nu112 310三斜变序列的z变换？， 0)()()(nnnzzXnnunx已知已知 1 11)(10 zzznuZnn求求导导两两边边，对对式式对对11011 zzznn21011)1(1)(

6、zznnn两边同时乘以两边同时乘以z-1 ，可得，可得 1 z 20)1( zzznnnuZnn（用间接方法求）（用间接方法求）11同理可得同理可得302211)()()( zzzznnunnn42033114)()()( zzzzznnunnn )(dd)()(11zXzznxnZnxnmmm n是离散变量，所以对是离散变量，所以对n没有微积分运算；没有微积分运算；z是连续变量，所以对是连续变量，所以对z有微积分运算。有微积分运算。12四指数序列)()(nuanxn az bbnzznuZe)(e 则则,e,ebbza 设设当当, 1,e0j za设设当当 00jje)( nzznueZ 则

7、则 0nnnzazXazzaz 1111 1右边序列右边序列 1 2 nuanxn左左边边序序列列.注意：注意：z 变换相同时，左边序列的定义。变换相同时，左边序列的定义。 azzzX 1 nanaz 13五正弦与余弦序列 nun0cos 2eecos 00jj0nnn 因为因为 nnzznuZ00jjee 1 z单边余弦序列单边余弦序列 1cos2cosee21cos 020jj000zzzzzzzznunZ所以同理同理 1cos2sineej21sin 020jj000zzzzzzznunL14一收敛域的定义收敛的所有收敛的所有z 值之集合为收敛域。值之集合为收敛域。 nnznxzX)()

8、(）的区域（的区域（即满足即满足ROC )( nnznx对于任意给定的序列对于任意给定的序列x(n) ，能使，能使ROC: Region of convergence不同的不同的x(n)的的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的同的z 变换，故在确定变换，故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。变换时，必须指明收敛域。第三节 z变换的收敛域15二两种判定法1 1比值判定法比值判定法 nna 1limaannn 令令若有一个正项级数，若有一个正项级数，则：则： 1：发散：发散 nnnalim即令正项级数的一般项即令正项级数的一般项na的的n次根的极限等于次根的极

9、限等于 ，则则 1：发散：发散2 2根值判定法根值判定法16三讨论几种情况1有限长序列的收敛域21nnnnx ),(2右边序列的收敛3左边序列的收敛4双边序列的收敛 nnuanxn0)( 11)( nnuanxn 0 bnbnxn172右边序列的收敛 nuanxn )(zazazazazXnnnnnnn 11lim)(100时时收收敛敛，即即当当azza 1 azzzazX 11az ROC：183左边序列的收敛 azzzaaazzX 1111 11)( nnuanxn 1nnnzazX)(nm 令令 000011)(mmmmmmmmmzazazazazX azazazmmmm11lim111

10、0时时收收敛敛，即即当当azaz 1ROC: az 194双边序列的收敛 0 bnbnxn 11111 bzbzznubnubnn bzbzznubn n nbnx 10 b1n nbnx 1 b1bbb 110 若若bzb1:ROC 则则 001 nnnnnubnubnx或或20四小结x(n)的收敛域（的收敛域（ROC）为）为 z 平面以原点为中心平面以原点为中心 的圆环；的圆环； ROC内不包含任何极点（以极点为边界）；内不包含任何极点（以极点为边界）；有限长序列的有限长序列的ROC为整个为整个 z 平面平面 （可能除去（可能除去z = 0 和和z = ）；）；右边序列的右边序列的ROC为

11、为 的圆外；的圆外；1Rz 左边序列的左边序列的ROC为为 的圆内；的圆内；2Rz 双边序列的双边序列的ROC为为 的圆环。的圆环。21RzR 21 32)()()(21nnnnnnznxznxzX3221 nn,0321012)3()2()1( )0()1()2( zzzxzxzxzxzxzx常常数数所以，收敛域为所以，收敛域为 的的z平面。平面。 例1 z022例2变换的收敛域。变换的收敛域。的的求信号求信号znnnxn 0 00 31)( 32)3(1)3(1311zzz若该序列收敛，则要求若该序列收敛，则要求131 z 0003131nnnnnnnzzznxzX)()(即收敛域为：即收

12、敛域为： 31 z的圆外半径为31)Re(z)Im(jz03123例3:变换的收敛域。变换的收敛域。的的求信号求信号znnnxn 0 210 0)(2222321 zzzzznnnnnnnnnnzzzznxzX 111122121)()(收敛域为：收敛域为：12 z所以所以2 z)Re(z)Im(jz0224例4 021031)(nnnxnnROC:231 z)Re(z)Im(jzO23 / 125第四节 逆z变换部分分式展开法部分分式展开法幂级数展开法幂级数展开法围线积分法围线积分法留数法留数法26一部分分式展开法 aznuaaznuaazzznn)1( )( 变变换换的的基基本本形形式式1

13、z变换式的一般形式 zRz包括包括收敛域收敛域右边序列右边序列因果序列因果序列,。即即必必须须满满足足于于分分母母多多项项式式的的阶阶次次的的阶阶次次不不能能大大处处收收敛敛，其其分分子子多多项项式式为为了了保保证证 , rkz kkkkrrrrzazazazaazbzbzbzbbzDzNzX 112210112210)()()( stut 1e 拉氏变换的基本形式：拉氏变换的基本形式：272求逆z变换的步骤Z提出一个 为真分式zzx 再部分分式展开 zzzx 查反变换表 283极点决定部分分式形式 NmmmzzzAAzX10)(0,)()()()()( 22110 nzAzAzAnAnxnN

14、Nnn 对一阶极点对一阶极点NNNmmmzzAzzAzzAzAzzAzAzzX 2211010)(的的系系数数极极点点0 000 zabA的的系系数数极极点点mzzmmzzzzXzzAm )()(NNzzzAzzzAzzzAAzX 22110)( 所所以以 点点和和高高阶阶极极点点。的的极极点点也也可可分分为为一一阶阶极极 zX29高阶极点（重根） sjjijzzzBzX1)()( 设设阶极点。阶极点。为为szzi izzsijsjsjzzXzzzjsB )()(dd)!(1 则则30例5:221)( zzzzzX)n(u)2(2)n(u)n(xn nun122 。求求，已已知知nxzzzzzX, 2:ROC)2)(1()(2 zzX除以