全等三角形几种类型总结

1、全等三角形几种类型总结1 / 18全等三角形与角平分线全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形.全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. 全等多边形的对应边、对应角分别相等.如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE也五边形ABCDE.这里符号“也”表示全等，读作“全等于”.全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形.全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等.全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等.全等三角形的概念与表示：

2、能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角全等符号为么”.全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.(2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.(3) 有公共边的，公共边常是对应边.(4) 有公共角的，公共角常是对应角.(5) 有对顶角的，对顶角常是对应角.全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三

3、角形全等.(2) 角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3) 边边边定理(SSS :三边对应相等的两个三角形全等.(4) 角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.判定三角形全等的基本思路：找夹角 SAS已知两边 找直角 HL找另一边SSS边为角的对边T找任意一角TAAS找这条边上的另一角TASA 找这条边上的对角TAAS 找该角的另一边TSAS找两角的夹边ASA已知一边一角边就是角的一条边全等三角形几种类型总结2 / 18找任意一边AAS3 / 18全等三

4、角形几种类型总结全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：平移全等型由全等可得到的相关定理： 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上. 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角

5、的平分线上.它们具有互逆性.角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2.过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3.OA OB，这种对称的图形应用得也较为普遍，三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.中位线判定定理： 经过三角形一边中点且平行于另一边的直线

6、必平分第三边.中线中位线相关问题（涉及中点的问题）匕/Y对称全等型旋转全等型全等三角形几种类型总结4 / 18见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理（以后还要学习中线长公式），尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见.全等三角形几种类型总结5 / 18平例题精讲板块一、全等三角形的认识与性质在AB、AC上各取一点E、D，使AE AD，连接BD、CE相交于0再连结AO、BC，若12，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由.板块二、三角形全等的判定与应用【例 2】（2008 年巴中市高中阶段教育学校招生考试AF BD.）如图，AC II DE,BC I

7、I EF,AC DE.求证:【例 3】（2008 年宜宾市）已知：如图，AD BC,AC BD，求证：C D.【例1】【巩固】 如图所示,AB AD,BC DC,E、F在AC上，AC与BD相交于P.图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由.全等三角形几种类型总结6 / 18【巩固】如图， AC、BD相交于 0 点，且AC BD,AB CD，求证：OA OD.DA -07B【例 4】（哈尔滨市 2008 年初中升学考试）已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB DC,BE CF，B C.求证：OA OD.【例 5】 已知，如图，AB AC,CE AB,BF AC，求证：BF

8、 CE.【例6】F分别是正方CF.求证：AE BF.【巩固】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点,BG CF BC.GE EF,GE EF.求证:DF全等三角形几种类型总结7 / 18板块三、截长补短类【例 1】 如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作DMN 60, 射线MN与/DBA外角的平分线交于点 N ,DM与MN有怎样的数量关系？【巩固】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN DM且与ZABC外角的平分线交于 点 N ,MD与MN有怎样的数量关系？【例 2】 如图，AD 丄 AB, CB 丄 AB, DM =CM =a,

9、AD=h, CB=k,ZAMD =75ZBMC=45 贝 U AB的长为（）ik h,A.aB.kC.D.h2【例 7】在凸五边形中,B E,C D,BC DE,M为CD中点求证：AM CD.全等三角形几种类型总结8 / 18【例 3】 已知：如图， ABCD 是正方形，/ FAD= / FAE.求证：BE + DF=AE.【例 4】 如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为 120的等腰三角形，以D为顶点作一个 60的MDN，点M、N 分别在AB、AC 上，求AMN的周长.【例 5】 五边形 ABCDE 中，AB=AE, BC+DE=CD，/ ABC+ / AED = 180 求

10、证：AD 平分/ CDE板块四、与角平分线有关的全等问题【例 1】 如图，已知ABC的周长是21,OB,OC分别平分OD 3，求ABC的面积.ABC和ACB,OD BC于D，且DFCCC全等三角形几种类型总结9 / 18在ABC中，D为 BC 边上的点，已知BAD CAD,BD CD，求证：AB AC.【例2】【例3】已知ABC中，AB AC,BE、CD 分别是ABC及ACB平分线.求证:【例4】已知ABC中，A 60o,BD、CE 分别平分 断BE、CD、BC 的数量关系，并加以证明.ABC和ACB,BD、CE 交于点 O，试判【例5】如图，已知E34.求证：ED EB.CD BE.DB全等

11、三角形几种类型总结10 / 18【例 6】（“希望杯”竞赛试题）长方形 ABCD 中，AB=4, BC=7,/ BAD 的角平分线交 BC 于点 E,EF 丄 ED 交 AB 于 F，贝 U EF=_【例 7】 如图所示，已知ABC中，AD平分BAC ,E、F分别在BD、AD上.DE CD , EF AC.求 证：EF/AB【巩固】如图，在ABC中，AD交 BC 于点D，点E是 BC 中点，EF/AD交 CA 的延长线于点F,交AB于点 G，若BG CF，求证：AD为BAC的角平分线.E DC【巩固】在ABC中，AB AC,AD是BAC的平分线.P是AD上任意一点.求证：AB AC PB PC

12、.全等三角形几种类型总结11 / 18BAC的平分线AD交BC与D.求证：AB BD AC.如图所示，在ABC中，AC AB,M为 BC 的中点，AD是BAC的平分线，若CF且交AD的延长线于F，求证 MF1AC AB .2【巩固】如图所示，DE II ABAD是ABC中BAC的外角平分线， 且 DE丄(AB AC).2CD AD于D,E是 BC 的中点，求证ADJBEC【巩固】如图所示，在ABC中，AD平分BAC,AD AB,CM【例 8】如图，在ABC中,【例9】ADAD于M ,求证AB AC 2AM.CC全等三角形几种类型总结12 / 18【例 10】如图，ABC中，AB AC,BD、C

13、E 分别为两底角的外角平分线，AD BD于D,AE CE于E.求证：AD AE.【巩固】已知：AD和BE分别是ABC的ZCAB和/CBA的外角平分线,1证：DE II AB: DE AB BC CA 2【例 11】在 ABC 中，MB、NC 分别是三角形的外角ABE、 ACF 的角平分线,1AN CN垂足分别是M、N .求证：MNIBC, MN AB AC BC2【巩固】在 ABC 中，MB、NC 分别是三角形的内角垂足分别是M、ABC、ACB 的角平分线,AMBM,AN CNN.求证：MNIBC, MN1-AB2ACBCCD AD,CE BE，求AM BM,全等三角形几种类型总结13 / 1

14、81并且AE -(AB AD)，贝U ABC ADC等于多少?2版块一、倍长中线1【例 1已知：ABC中，AM是中线.求证： AM 一（AB AC）. 2【巩固】（北京市中考模拟题）如图，在四边形ABCD中，AC平分AMBAD，过C作CEAB 于E,【例 12如图，A1探讨线段2探讨线段D 180,BE平分ABC, CE 平分AB、CD和BC之间的等量关系.BE与 CE 之间的位置关系.BCD，点E在AD上.全等三角形几种类型总结14 / 18【巩固】（2002 年通化市中考题）在ABC中，AB 5, AC 是什么？【例 2】 如图，ABC中，ABvAC，AD是中线.求证：DAC DAB.BC

15、 于 G,求证 GD=GE.A【例3】如图,AF已知在ABC中,EF，求证：ACAD是 BC 边上的中线,BE.【例4】已知 ABC, / B= / C,AE是AD上一点，延长BE交 AC 于F,D, E 分别是 AB 及 AC 延长线上的一点，且BD=CE，连接 DE 交底9，则 BC 边上的中线AD的长的取值范围全等三角形几种类型总结15 / 18【例 5】 已知AM为ABC的中线,AMB,AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F.求证:BE CF EF.全等三角形几种类型总结16 / 18【例 6】 在Rt ABC中，A 90，点D为 BC 的中点，点E、F分别为AB、AC 上的点，且E

16、D FD.以线段BE、EF、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？求证 AD21AB2AC24【巩固】如图所示，在ABC中，D是 BC 的中点,DM垂直于DN，如果 BM2CN2DM2DN2【例 7】（2008年四川省初中数学联赛复赛在边 CA、CB 上，满足DFE初二组）在Rt ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别90若AD 3,BE 4，则线段DE的长度为_ .AM全等三角形几种类型总结17 / 18版块二、中位线的应用全等三角形几种类型总结118 / 18【例 8】AD是ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交 AC 于E求证：AE -

17、AC .3【例9】如图所示，在CD，求证CD【巩已知 ABC 中,证 CD=2CEABC中，AB AC,延长AB到D，使BD AB,E为AB的中点,2EC.AB=AC, BD 为 AB 的延长线，且 BD=AB, CEABC 的 AB 边上的中线. 求【例10】已知：ABCD 是凸四边形，且 AC/ GNM .M ; EF全等三角形几种类型总结19 / 18【例 12】如图，在五边形ABCDE中，ABC AED 90，BAC EAD，F为 CD 的中点.求证:BF EF【例 13】(祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，P是ABC内的一点，PAC PBC，过P作PM AC于M

18、, PL BC于L,D为AB的中点，求证DM DL【例 14】(全国数学联合竞赛试题)如图所示，在ABC中，D为AB的中点，分别延长 CA、CB 到点E、F，使DE DF过E、F分别作直线 CA、CB 的垂线，相交于点P,设线段PA、PB的中点分别为M、N .求证：(1)DEM 也 FDN;(2)PAE PBF.【例 11】在ABC中，ACB 90, AC求证：AE EB且AE BE1BC ,以 BCBCD，E是 CD 的中点,全等三角形几种类型总结20 / 18【习题 1】如图，已知AC BD,AD AC,BC BD，求证：AD BC.【习题 2】点 M , N 在等边三角形 ABC 的 AB 边上运动, 证MN=MB+NC.CAMBD=DC,/ BDC=120,/ MDN=60,求全等三角形几种类型总结21 / 18BAC的平分线交 BC 于D，过B作BE AD,E