圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典)

1、圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1.直线方程的形式(1)直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。(2)与直线相关的重要内容倾斜角与斜率k tan ,0,)点到直线的距离dA%_ B%_C-Ta2 b7夹角公式：tank2 k11 k2k1(3)弦长公式直线 y kx b上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离：AB|v1k2|x1x2J(1 k2)(xi X2)2 4X1X2或 AB J1y2(4)两条直线的位置关系 l1 l2k1k2=-1 l1/l2 k1卜2且4b22、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)22标准方程：y

2、 1(m 0, n 0且mn)m n距离式方程：, (x c)2 y21 (x c)2 y2 2a参数方程：x a cos , y bsin(2)、双曲线的方程的形式有两种22标准方程：1(m n 0) m n2a距离式方程：| . (x c)2 y2 (x c)2 y2 |、三种圆锥曲线的通径你记得吗?22椭圆：2b_；双曲线：生；抛物线：2P aa、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?如:已知F22F2是椭圆 3 1的两个焦点,平面内一个动点M足MFiMF2I 2则动点M的轨迹是(A、双曲线;B、双曲线的一支；C、两条射线;D、一条射线b2 tan 2b2 cot2P在双曲线上时，S F1PF2(

3、6)、记住焦 半 径公式(5)、焦点三角形面积公式：P在椭圆上时，SFiPF2,t pf |2 pf |2 4c2 uur uuuu uur uimr(其中 F1PF2,cos|f1J1f2-|- ,PF1? PF2 | PF1 | PF21cos|PF1| |PF2|椭圆焦点在x轴上时为a e%;焦点在y轴上时为a ey0,可简记为“左加右减，上加下减”。双曲线焦点在x轴上时为e|x0| a抛物线焦点在x轴上时为|不 |弓,焦点在y轴上时为| % |(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗?第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题)2设 A x1, y1、B x2, y2 , M a, b

4、为椭圆21的弦AB中点则有322222222 匕 1, 2匕 1;两式相减得ax2y纥 0434343xi X2 xi X2yi y2 yi y23a43kAB=瓦2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？ 经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0,以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(x,yi),B(X2,y2),将这两点代入曲线方 程得到两个式子，然后 -Q),整体消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点， 则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向

5、量的关系，则寻 找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。 一旦设直线 为y kx b ,就意味着k存在。例i、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x2 5y2 80上，且点A 是椭圆短轴的一个端点(点 A在y轴正半轴上).(i)若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC的方程； (2)若角A为900 , AD垂直BC于D ,试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点 弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为900可得 出ABLAC,从而得X2 yi y2 i4(y y2) i6 0,然后利用联立消元 法及交轨法求出点D的轨迹方程

6、；解：(i)设 B (xi,yi) ,C(X2,y2 ),BC 中点为(x, y ),F(2,0)则有2222X_y_1 匡_y!12016,2016两式作差有(XiX2)(Xi X2)(yiy2)(yiw)20160 xoygk540 (1)F（2,0）为三角形重心，所以由X1X23得X03,y243y 2，代入（1）得k直线BC的方程为6x 5y 282)由 AB LAC 得X1X2 yi y214( yi y2)16(2)(4直线 BC 方程为y5k2 )x2 10bkX 5b2 80 0kXb,代入4x25y280X110kb5b2 80X2 2 , X1X2 24 5k24 5k2y

7、18ky2 K，y1y24b2 80k2-代入4 5k(2)式得- 2 -9b 32b 164 5k20 ,解得b 4（舍）或b直线过定点(0,(X,y)一 22 29y 9x 32y16 0所以所求点D的轨迹方程是X2 （y16、2 ?)4、设而不求法4y1/20、2/(Jy例2、如图，已知梯形ABCD中|ab2CD点E分有向线段34AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当：时，求双曲线离心率e的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系X3,如图，若设C2，h，代入yb21,求

8、得h L ,1建立目标函数22进而求得Xe L ,yE L ,再代入3匕1 , a bf(a,b,c, ) 0,整理f(e, ) 0,此运算量可见是难上加难.我们对h可 米取设而不求的解题策略，建立目标函数f(a,b,c, ) 0,整理f(e, ) 0,化繁为简.解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴,建立直角坐标系xOy ,则CD，y轴因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知 C、D关于y轴对称依题意，记A c,0 , C c,h2E X0, y0 ,其中 c 1 |AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高,由定比分点坐标公式得hy0厂22设双曲线的方程为3与

9、1, a b则离心率由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e 代入双曲线方a程得h21由式得h2b2将式代入式，整理得2 e 4 412,4故i Y-e2 1由题设23得,2 i义3343 e2 2 4解得7 e ,10所以双曲线的离心率的取值范围为 7 ,月分析：考虑AE , AC为焦半径，可用焦半径公式，AE , AC用E,C的横坐标表示，回避h的计算，达到设而不求的解题策略.解法二：建系同解法一,XecC 222 c121AEa exE , AC，代入整理号，由题设13得，” K解得、7 e ,10所以双曲线的离心率的取值范围为V7 ,而5、判别式法例3已知双曲线C：E X2 1,直线

10、l过点A42o ,斜率为k,当0 k 1 22时，双曲线的上支上有且仅有一点 B到直线l的距离为V2 ,试求k的 值及此时点B的坐标。分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因 此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有” 这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B作与l平行的直线，必 与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0.由此出发，可设计如下解题思路:l: y k(x .2)0 k 1直线1在1的上方且到直线1的距离为2 1: y kx 2k2 2.2k把直线1的方程代入双曲线方程，消去y,令判别式0解得k的值解题过程略.分析2:如果从代数

11、推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点 B到直线1的距离为& ”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：问题ikx 2 x2 亚关于x的方程2 2 0 k 1有唯一解Jk711转化为一元二次方程根的问题求解简解：设点MJ-)为双曲线C上支上任一点，则点 M到直 线1的距离为：于是，问题即可转化为如上关于x的方程.由于0 k 1,所以TTV x kx,从而有kx 22 x2 72kkx42 x2 12k.于是关于x的方程kx 2 x22k .2(k21)22 x2( 2(k2 1). 2k kx)2,2(k2 1), 2k kx 02 k2 1 x2 2k

12、2(k2 1) 2kx 2(k2 1) . 2k 2 0, 2(k2 1) 2k kx 0.由0 k 1可知： _ _2万程 k2 1x2 2kf2(k2 1) V2kx 2(k2 1) 2k2 0 的二根同正，故J2(k2 1) 72k kx 0恒成立，于是 等价于cc-z -I 一 2k 1 x 2k .2(k1), 2k x , 2(k1).2k 2 0.由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式0,就可解得,2.5 k .5点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了 全局观念与整体思维的优越性.例4已知椭圆C：x2 2y2 8和点P (4, 1),过P作直线交椭圆于A、B两点

13、，在线段AB上取点Q,使笑 笑，求动点Q的轨迹所Pb QB在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往 往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何将乂丫与卜联系起来？ 一方面利用点 Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件： 空 处来转化.由A、B、 PB QBP、Q四点共线，不难得到x 4(XA XB) 2xaXb ,要建立X与k的关系，只需 8 (XA XB)将直线A

14、B的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.点Q的轨迹方程在得到x f k之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参,目的不过是得到关于x,y的方程(不含k),则可由y k(x 4) 1解得k y-1 ,直接代入x f k即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过 x 4程。简解：设A,B(x2, y2),Q(x, y),则由空 处可得：土心！ 土心！,PB QBx2 4 x2 x解之得：x 4(x1 x2)2xix2(1)8 (xi x2)设直线AB的方程为：y k(x 4) 1,代入椭圆C的方程，消去y得出

15、关于x的一元二次方程：_ 22_2k2 1 x2 4k(1 4k)x 2(14k)2 8 0(2)x1x24k(4k 1)2k2 1x1x22(1 4k)2 82k2 1代入 (1)化 简得4k 3 x k 2与y k(x 4) 1联立，消去k得:在(2)中，由 64k2 64k 24可求得 16 2 1016 2 10.99故知点Q的轨迹方程为：2x y2x y 4 (x 4) 0.0,解得W k 3,结合(3)444 0( 16 2V110 x 16 2Y10).点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元 二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在 引出参，

16、活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参” 三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道6、求根公式法22例5设直线l过点P （0, 3）,和椭圆七 人1顺次交于A、B两点， 94试求誓的取值范围. PB分析：本题中，绝大多数同学不难得到： 丝=上，但从此后却一 PB Xb筹莫展，问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取 值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个） 参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则 是构造关于所求量的一个不等关系.分析1：从第一条想法入手，AB=已经是一个关系式，但由于 有两个变量Xa,Xb,同时这两个变量的

17、范围不好控制，所以自然想到利 用第3个变量一一直线AB的斜率k.问题就转化为如何将Xa,Xb转化 为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去 y得 出关于X的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.简解1：当直线l垂直于x轴时，可求得黑5;当l与x轴不垂直时，设 Ax1,yi,B(X2, yz),直线l的方程为:y kx 3,代入椭圆方程，消去y得9k2 4 x2 54kx 45 0解之得x1 227k 6 9k2 59k2 4因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k 0的情形.当k0 时，x1 .27k 6 9k2 5v_227k 6 9k 52 x29k 4279 k2

18、4所以AP %.9k 2 9k2 5.- 118k_PB x29k 2.9k2 59k 2，. 9k2 51由 （54k）2 180 9k2 4 0,解得 k2 5,9189 2 9 5k2所以 11 185,I I9 2 95 25k综上1 AP 1.PB 5分析2:如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定 k的取值 范围，于是问题转化为如何将所求量与 k联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因 在于AB自不是关于x，,x2的对称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以

19、构造关于 Xi,X2的对称关系式.简解2:设直线l的方程为：y kx 3,代入椭圆方程,消去y得9k2 4 x54kx 45 0(*)X2Xi则XiX254k2,9k 445令土X2324 k.9k2 445k2 20在（*）由判别式0,可得k2从而有2324 k4245k2036,所以36,解得5.结合0综上,点评:不等式法,1 得-1.5/ AP 11.PB 5匚围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能 说明问题，有时甚至会被局部所纠缠

20、而看不清问题的实质所在，只有 见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里 .第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基 本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、 公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标， 得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题 之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考缜密、推 理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。例6椭圆长轴端点为A,B, O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且 AF FB 1 , OF-1 .(I )求椭圆的标准方程；(II)记椭圆

21、的上顶点为M ,直线l交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线l ,使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由。思维流程：(n)a 2,b 1uurOF写出椭圆方程由F为PQM的重心两根之和, 两根之积解题过程:(a c)(a c) 1 , c 1P PQ MF,MP FQ_ 2 ._ 2 _ _3x 4 mx 2m 2 0UULTuuirMP? FQ0得出关于m的方程(I)如图建系，设椭圆方程为x2a2亡b21(ab 0)gk PQ解出m又 AF FB 1 即(a c) (a c) .x2c故椭圆方程为，y21的垂心,(H)假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且F恰为P

22、QM设 P(Xi,yJQ(X2,y2),M(0,1),F(1,0),故 kpQ 1,于是设直线l为 yxm,由2yx2m 得，x2 2y 23x2 4mx 2m2 2 0uur uuu.MP FQ 0 xi(x2 1) y2(yi 1)又 y X m(i 1,2)得 xi(x2 1) (x2 m)(x1 m 1) 0 即22x2 (x1 x2)(m 1) mm 0由韦达定理得2m2 24m2(m 1) m 34 ,4解得m 4或m 1 (舍) 经检验m ,符合条件.33点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边， 然后转化为两 向量乘积为零.例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上

23、，且经过A( 2,0)、B(2,0)、C 1,?三点.2(I )求椭圆E的方程：(H)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F( 1,0), H (1,0),当ADFH内切圆的面积最大时，求 DFH内心的坐标;思维流程:由椭圆经过A、B、C三点(D1设方程为mx2ny2 1. 得到m,n的方程解出m,n(日) 由 DFH内切圆面积最大转化为 DFH面积最大转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大D为椭圆短轴端点. 3得出D点坐标为0,3解题过程：(I )设椭圆方程为mx2 ny2 1 m 0,n 0 将A( 2,0)、B(2,0)、C(1,3)代入椭圆E的方程，得4m 1，.229 解得m -,

24、n -.椭圆E的方程2y 1 .m -n 1434341(n ) | FH | 2 ,设 ADFH 边上的身为 S DFH 2 h h2当点D在椭圆的上顶点时，h最大为有,所以S dfh的最大值为73 .设ADFH的内切圆的半径为R,因为ADFH的周长为定值6.所以,Sdfh 1R 62所以R的最大值为所以内切圆圆心的坐标为哈点石成金： S的内切圆例8、已知定点-的周长r2C( 1,0)及椭圆的内切圆x2 3y2 5 ,过点C的动直线与椭圆相交于A, B两点.(I )若线段AB中点的横坐标是 ：，求直线AB的方程;(n)在x轴上是否存在点m ,使MA MB为常数？若存在，求出点m的坐标；若不存

25、在，请说明理由.思维流程:y k(x 1),(I )解：依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为将 y k(x 1)代入 x2 3y2 5,消去y整理得(3k2221)x2 6k2x23k2 5 0.设 A(。y) BG, y2),36k4 4(3k2 1)(3k2 5) 6k20,X223k2 1白线段AB中点的横坐标是3k23k2 1k也，符合题意。3所以直线AB的方程为x岛10,0.(n)解：假设在x轴上存在点M (m,0),使MA MB为常数.当直线AB与 x轴不垂直时xx26k2 33k23k2 5XiX2-23k 1uuur 所以MAuurMBm)(x2 m) V1V2m)(

26、x2 m)2k2(X 1)(x2 1)八 22、，(k1)x1x2 (km)(x1x2) k2m2.将(3)代入，整理得uur uurMA MB(6m1)k2512(2m 3)(3k2141) 2m -323k2 123k2 12 c 1 6m 14m 2m - 23 3(3k1)注意到MA而是与k无关的常数,从而有6m 14 0uurMAuur 4 MB -.9当直线AB与x轴垂直时,此时点A, B的坐标分别为1,1,、,uuu uuu 4 亦有MA MB 9综上，在x轴上存在定点M10,使MA MB为常数.点石成金:uur umrMA MB2(6m 1)k2 53k2 112(2m -)(

27、3k2 1) 2m 33k2 114三m2思维流程:22解：(1)设椭圆方程为二4 1(a b 0) a ba 2b2a22则41解得a2 8椭圆方程为-L 12 1b2 282a b(H) .直线l平行于OM,且在y轴上的截距为m又K0M = 1l的方程为：y gx m1 y x m 由 2 2 2x2 2mx 2m2 4 0土 L 1 82直线l与椭圆交于 A、 B两个不同点，(2m)2 4(2m2 4) 0,解得 2 m 2,且m 0(m)设直线MA、MB的斜率分别为k1, k2,只需证明K+k2=0即可设 A(x1，y1)，B(x2, y2),且xx?2m,xx22m2 4则 k1U,

28、k2x12y 1x22由 x2 2mx 2m24 0可得x1 x22m,x1x22m24而k1k2以x12y 1(y1 1) (x2 2) (y2 1)(x1 2)x22(x1 2)(x2 2)11(2xi m 1)(x2 2) (2x2 m 1)(x1 2)(Xi 2)(X22)x1x2(m 2)(x1 x2) 4(m 1)(x1 2)(x2 2)22m2 4 (m 2)( 2m) 4(m 1)(x1 2)(x2 2)222m 4 2m 4m 4m 4 0(K 2)(x2 2)k1 k20故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.k1k20点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三

29、角形2例10、已知双曲线3 ai 1的离心率e 233,过“哂旧0)的直线到原点的距离是u(1)求双曲线的方程;D且C, D都(2)已知直线y kx 5(k 0)交双曲线于不同的点在以B为圆心的圆上，求k的值.思维流程:出原点到直线AB:f 1的距离ab;2. 2.a b1, a x 3.abc故所求双曲线方程为(2 ) 把y kx 5代入x2 3y23中消整理得设 C(Xi,yJD(X2,y2),CD 的中点是 E(xo, y0),则X。k BEX1 X2_21y o 1Xo15 k3k2 y1. kkX o 55201 3k 2X0 ky k 0,15 k5k即T 21 3k 21 3k

30、20,又 k 0,故所求k= 士 Ti.点石成金：C, D都在以B为圆心的圆上BC=BD BE LCD;例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的得(3 4k2)X2 8mkX 4(m2 3) 0 ,则点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程；B不是(II)若直线I ：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线I过定点，并求出该定点的坐标.思维流程:5 1(a b 0),2解：(I)由题意设椭圆的标准方程为 a由已知得：a ca 2, c 1,.222 cb a c 32椭圆的标准方程为-4(II

31、 )设 A(Xi,0)B(X2, y2).y kX m, 联乂 X2v王L 1.432 2222264m k 16(3 4k )(m3) 03 4km 0,8mkXi X22，3 4k4(m2例12、已知双曲线斗、1(a 0,b 0)的左右两个焦点分别为FF2, a b 点P在双曲线右支上. 3)X1X2 2-._223(m 4k )Z 23 4k23 4k又 y1y2 (kx1 m)(kx2 m) k2x1x2 mk(x1 x2) m2因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kAD kBD1 ,即 -1 .y1 y2 x1x2 2(x1x2) (I)若当点p的坐标为(日J)时而 M,求双曲线