第9章 正弦量与相量

1、第第9 9章章 正弦量与相量正弦量与相量 l 重点：重点： 1. 1. 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念 2. 2. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 3. 3.电路元件与定律的相量模型电路元件与定律的相量模型 9.1 9.1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念1. 1. 正弦量正弦量瞬时值表达式：瞬时值表达式：i(t)=Imcos(w w t+y y)波形：波形：tiOy y/ /w wTNSIw wAZBXCY周期周期T (period)和和频率频率f (frequency) :频率频率f f ：每秒重复变化的次数。：每秒重复变化的次数。周期周期T T ：重复变化一次所需的时间。：重

2、复变化一次所需的时间。单位：单位：Hz(Hz(赫兹赫兹) )单位：单位：s(s(秒秒) )1fT频率周期正弦量为周期函数正弦量为周期函数y y( (t t)=)=y y( (t t+k+kT T ) ) 交流电的角频率交流电的角频率就是角位移与所用的时间就是角位移与所用的时间之比，它表示了交流电每秒所经过的电角度。交之比，它表示了交流电每秒所经过的电角度。交流电变化一周，就相当于变化了流电变化一周，就相当于变化了弧度。角频弧度。角频率的单位是弧度秒，它与周期、频率的关系为率的单位是弧度秒，它与周期、频率的关系为 =2/2Tfw周期周期T 、频率、频率f 与角频率与角频率l 正弦电流电路正弦电流

3、电路激励和响应均为正弦量的电路激励和响应均为正弦量的电路（正弦稳态电路）称为正弦电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。或交流电路。（1 1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。要的地位。l 研究正弦电路的意义：研究正弦电路的意义：1 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数运算后仍是同频率的正弦函数优点：优点：2 2）正弦信号容易产生、传送和使用。）正弦信号容易产生、传送和使用。（2 2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号）正弦信号是

4、一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。可以分解为按正弦规律变化的分量。)cos()(1knkktkAtf w w 对正弦电路的分析研究具有重要的理论价对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。值和实际意义。幅值幅值 (amplitude) ( (振幅、振幅、 最大值最大值) )Im(2) (2) 角频率角频率(angular frequency)2. 2. 正弦量的三要素正弦量的三要素tiOy y/ /w wT(3) (3) 初相位初相位(initial phase angle) y yIm2 y yw wtTf w w22 单位：单位： rad/s ，

5、弧度，弧度 / 秒秒反映正弦量变化幅度的大小。反映正弦量变化幅度的大小。相位变化的速度，相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。反映正弦量变化快慢。 反映正弦量的计时起点，反映正弦量的计时起点，常用角度表示。常用角度表示。 i(t)=Imcos(w w t+y y)同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。一般规定一般规定：|y y | 。y y =0y y = y y = /2ti0例例已知正弦电流波形如图，已知正弦电流波形如图，w w10103 3rad/srad/s，（1 1）写出）写出i(t)表达式；表达式；（2 2）求最大值发生的时间）求最大值发生

6、的时间t t1 1ti010050t1解解)10cos(100)(3y y ttiy ycos100500 t3 y y 由于最大值发生在计时起点右侧由于最大值发生在计时起点右侧3 y y )310cos(100)(3 tti有有最最大大值值当当 310 13 tmst047. 110331 3. 3. 同频率正弦量的相位差同频率正弦量的相位差 (phase difference)。设设 u(t)=Umcos(w w t+y y u), i(t)=Imcos(w w t+y y i)则则 相位差相位差 ：j j = (w w t+y y u)- - (w w t+y y i)= y y u-

7、-y y ij j 0， u超前超前i j j 角，或角，或i 落后落后u j j 角角(u 比比i先到达最大值先到达最大值) )； j j 0， i 超前超前 uj j 角角，或或u 滞后滞后 i j j 角角,i 比比 u 先到达最大值。先到达最大值。w w tu, iu iy yuy yij jO等于初相位之差等于初相位之差规定：规定： |j j | (180)。j j 0， 同相：同相：j j = ( 180o ) ，反相：反相：特殊相位关系：特殊相位关系：w w tu, iu i0w w tu, iu i0j= /2/2：u 领先领先 i /2/2, 不说不说 u 落后落后 i 3

8、/2；i 落后落后 u /2/2, 不说不说 i 领先领先 u 3 /2。w w tu, iu i0同样可比较两个电压或两个电流的相位差。同样可比较两个电压或两个电流的相位差。例例计算下列两正弦量的相位差。计算下列两正弦量的相位差。)15 100sin(10)( )30 100cos(10)( )2(0201 ttitti )2 100cos(10)( )43 100cos(10)( )1(21 ttitti)45 200cos(10)( )30 100cos(10)( )3(0201 ttuttu )30 100cos(3)( )30 100cos(5)( )4(0201 ttitti 解解

9、045)2(43 j j43452 j j 000135)105(30 j j000120)150(30 j j)105100cos(10)(02 tti 不能比较相位差不能比较相位差21w ww w )150100cos(3)(02 tti 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。号，且在主值范围比较。 4. 4. 周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。平均效果工程上采用有效值

10、来表示。l 周期电流、电压有效值周期电流、电压有效值(effective value)定义定义R直流直流IR交流交流ittiRWTd)(20 TRIW2 电流有效电流有效值定义为值定义为 TttiTI02defd)(1有效值也称均方根值有效值也称均方根值(root-meen-square)物物理理意意义义同样同样，可定义电压有效值：，可定义电压有效值： TttuTU02defd)(1l 正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值设设 i(t)=Imcos(w w t+ )ttITITd ) (cos1022m w wTtttttTTT2121d2) (2cos1d ) (cos 0002 w

11、 ww wmm2m707. 0221 IITITI ) cos(2) cos()(mtItIti w ww wII2 m 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：UUUU2 21mm 或或若一交流电压有效值为若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为，则其最大值为Um 311V；U=380V， Um 537V。（1 1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应

12、按指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。最大值考虑。（2 2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。般为有效值。（3 3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。I,I, im注注9.2 9.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示1. 1. 问题的提出：问题的提出：电路方程是微分方程：电路方程是微分方程：两个正弦量的相加：如两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。方程运算。+_RuLCi)(2tuudtduRCdtudLCCCC ) cos(2111y

13、yw w tIi) cos(2222y yw w tIi若干个正弦量叠加若干个正弦量叠加1( )0nkki t1( )0nkku t2. 2. 解决的思路解决的思路 可以将正弦量用一个矢量来进行图示，即用矢量的模可以将正弦量用一个矢量来进行图示，即用矢量的模表示正弦量的幅值，而用矢量与横轴的夹角表示正弦量的表示正弦量的幅值，而用矢量与横轴的夹角表示正弦量的相位角，如图所示。相位角，如图所示。 mI()itw显然，随着时间的连续变化，这个矢量将会逆时针旋转。显然，随着时间的连续变化，这个矢量将会逆时针旋转。 将这个旋转矢量与将这个旋转矢量与正弦量对应起来正弦量对应起来当正弦曲线上的一点沿着的正当

14、正弦曲线上的一点沿着的正方向向前运动时，左边对应的方向向前运动时，左边对应的矢量将会逆时针旋转。矢量将会逆时针旋转。mI向量图向量图波形图波形图( )i A()t radw26mI()itwi1I1I2I3w ww ww wi1+i2 i3i2 1 2 3角频率：角频率：有效值：有效值：初相位：初相位：因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值要确定初相位和有效值( (或最大值或最大值) )就行了。因此，就行了。因此，w w tu, ii1 i20i3正弦量正弦量复数复数实际是变实际是变换的思想换的思想l 复数复数A的表示形

15、式的表示形式) 1(j为为虚虚数数单单位位 AbReIma0A=a+jbAbReIma0 |A|jbajAeAAj )sin(cos| 3. 3. 复数及运算复数及运算jbaA |AeAAj jeAA| 两种表示法的关系：两种表示法的关系：A=a+jb A=|A|ej =|A| 直角坐标表示直角坐标表示极坐标表示极坐标表示 ab baAarctg| 22 或或 A b|A|asin|cos l 复数运算复数运算则则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2)(1)(1)加减运算加减运算采用代数形式采用代数形式若若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2A1A2ReIm0AbReIma0 |A|图

16、解法图解法复数也是矢量复数也是矢量(2) (2) 乘除运算乘除运算采用极坐标形式采用极坐标形式若若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 22121)j(212j2j1221121 | e|e|e| | |211AAAAAAAAAA 除法：模相除，角相减。除法：模相除，角相减。例例1. 乘法：模相乘，角相加。乘法：模相乘，角相加。则则:2121)(212121 2121 AAeAAeAeAAAjjj?2510475 )226. 4063. 9()657. 341. 3(2510475jj 569. 047.12j 61. 248.12 解解例例2. ?5 j20j6)(4 j9)(17 35

17、220 (3) (3) 旋转因子：旋转因子：复数复数 ej =cos +jsin =1 A ej 相当于相当于A逆时针旋转一个角度逆时针旋转一个角度 ，而模不变。，而模不变。故把故把 ej 称为旋转因子。称为旋转因子。 解解2 .126j2 .180 原原式式04.1462.203 .56211. 79 .2724.19 16.70728. 62 .126j2 .180 329. 6 j238. 22 .126j2 .180 365 .2255 .132j5 .182 AReIm0A ej jjej 2sin2cos,22 jjej )2sin()2cos(,221)sin()cos(, je

18、j故故 +j, j, - -1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。几种不同几种不同 值时的旋转因子值时的旋转因子ReIm0II j I j I 4. 4. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示AbReIma0 |A|mI()itw 观察表示观察表示正弦量的矢量和复数矢量正弦量的矢量和复数矢量这两个旋转矢量的差异是：这两个旋转矢量的差异是：表示复数的旋转矢量则是随着表示复数的旋转矢量则是随着角的变化发生旋转的，它角的变化发生旋转的，它与时间和角频率无关。与时间和角频率无关。 表示正弦量的旋转矢量是随着表示正弦量的旋转矢量是随着 的变化发生旋转的变化发生旋转的，它与时间和角频率有关；的，它与时间

19、和角频率有关；()twj旋转因子旋转因子构造一个新构造一个新的复数矢量的复数矢量观察下面两个复数：观察下面两个复数：A=|A|ej =|A| AbReIma0 |A|ejttejtReIm0tt1()AAj tjj tjtAee eewww根据欧拉公式根据欧拉公式()AAj tjj tjtAee eewwwcos( )jsin( )AtAtww但这部分正是我们需但这部分正是我们需要的正弦函数要的正弦函数无物理意义无物理意义对对Aejtt取实部：取实部：Recos( )j tAeAtww得到一个有物理得到一个有物理意义的正弦量意义的正弦量于是我们可以用新构造的复数矢量来于是我们可以用新构造的复数

20、矢量来“表示表示”正弦正弦量量例例 解解已知已知 01( )=100cos(60 )u ttw02( )=200cos(30 )u ttw求求 12( )( )=?u tu t01( )=100cos(60 )u ttw00(60 )60100100jtjj teeeww02( )=200cos(30 )u ttw00(30 )30200200jtjj teeeww用复矢量表示为用复矢量表示为00(60 )60100100(5086.6)jtjj tj teeejewww00(30 )30200200(173.2100)jtjj tj teeejewww00(60 )(30 )22010020

21、0(5086.6)(173.2100)13.4(223.213.4)223.213.4(arctan)223.2223.6 ( 3.43 )jtjtj tj tj tj tj teejejejeeewwwwwww 000(60 )(30 )0(3.43 )00100200223.6 ( 3.43 )223.6223.6cos(3.43 )223.6sin(3.43 )jtjtj tjteeeetjtwwwwww 取其实部可得取其实部可得 012( )( )=223.6cos(3.43 )u tu ttw观察整个演算过程你会发现，复数观察整个演算过程你会发现，复数 并未参与并未参与运算，它只是在

22、运算的开始和结束时用于描述。运算，它只是在运算的开始和结束时用于描述。 j tew这是因为：频率相同的正弦量叠加后频率不变这是因为：频率相同的正弦量叠加后频率不变 真正参与运算的实际上是复数真正参与运算的实际上是复数 (A)jAej即因此，我们索性就用复数因此，我们索性就用复数 来表示正弦量。来表示正弦量。但由于这个复数与普通复数并不一样，它后面还隐含但由于这个复数与普通复数并不一样，它后面还隐含了了tt，所以，将这个特殊的复数称为，所以，将这个特殊的复数称为“相量相量”，并，并在字母的上端加上一个圆点在字母的上端加上一个圆点“”，以表示此量为相量，以表示此量为相量，而不是普通复数。而不是普通

23、复数。AjAej比如，相量比如，相量A要写成要写成: AjAej正弦交流电压和正弦交流电流在用相量表示时有幅正弦交流电压和正弦交流电流在用相量表示时有幅值相量（如值相量（如 ）和有效值相量（如）和有效值相量（如 ）的不）的不同表示同表示. ,mmIU, I U ) cos(2)(IItIti w w ) cos(2)(UUtUtu w w称称 为正弦量为正弦量 i(t) 对应的相量。对应的相量。 II 相量的模表示正弦量的有效值或幅值相量的模表示正弦量的有效值或幅值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系

24、：( )2 cos( ) 2 mmi tItIIIw或或 ( )2cos( )2 mmu tUtUUUw 例例2试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解解 A)15314cos(250 ti. 50Hz A,1550 fI已已知知例例1 1试用相量表示试用相量表示i, u .)V6014t311.1cos(3A)30314cos(4 .141oo uti解解V60220A30100oo UI已知已知在复平面上用向量表示相量的图在复平面上用向量表示相量的图 IItosIti) (c2)(UUtosUtu ) (c2)(w wl 相量图相量图 U IReIm0 AAA对于相量对于相量

25、可在复平面上用向量表示为可在复平面上用向量表示为5. 5. 相量法相量法(1) (1) 同频率正弦量的加减同频率正弦量的加减故同频正弦量相加减运算变成故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。对应相量的相加减运算。i1 i2 = i3321 III )2(R) cos(2)()2(R) cos(2)( j2222 j1111tteUetUtueUetUtuw ww ww ww w )(2(R)22(R )2(R)2(R)()( )( j21j2j1j2j121ttttteUUeeUeUeeUeeUetututuw ww ww ww ww w U21UUU 可得其相量关系为：可得其相量关系

26、为：例例V )60314cos(24)(V )30314cos(26)(o21 ttuttu也可借助相量图计算也可借助相量图计算V604 V 306o2o1 UUV )9 .41314cos(264. 9)()()(o21 ttututu60430621 UUUReIm301U9 .41UReIm9 .41301U602UU46. 32319. 5jj 46. 619. 7j V 9 .4164. 9o 602U首尾相接首尾相接 （2 2）正弦量的微分、积分运算）正弦量的微分、积分运算 ) cos(2iiIItIiy yy yw w 2Re 2Re tjtjejIeIdtddtdiw ww w

27、w w tjtjejIteIti 2Re d 2Redw ww ww w微分运算微分运算:积分运算积分运算:2 y yw ww w iIIjdtdi2 y yw ww w iIjIidt djdtw1 dtjw例例 ) cos(2)(itItiy yw w 1)( idtCdtdiLRituRi(t)u(t)L+- -C用相量运算：用相量运算： CjIILjIRUw ww w 相量法的优点：相量法的优点：（1 1）把时域问题变为复数问题；）把时域问题变为复数问题；（2 2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；）把微积分方程的运算变为复数方程运算；（3 3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电

28、路；）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；注注 正弦量正弦量相量相量时域时域 频域频域 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。 相量法用来分析正弦稳态电路。相量法用来分析正弦稳态电路。N线性线性N线性线性w w1w w2非非线性线性w w不适用不适用正弦波形图正弦波形图相量图相量图9.3 9.3 电路元件与定律的相量模型电路元件与定律的相量模型 1. 1. 电阻元件电阻元件VCR的相量形式的相量形式时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：iRiRIUII 相量模型相量模型)cos(2)( itIti w w已已知知)cos(2)(

29、)( iRtRItRitu w w则则uR(t)i(t)R+- -有效值关系有效值关系相位关系相位关系R+- -RU IUR u相量关系：相量关系：IRUR UR=RI u= i瞬时功率：瞬时功率：iupRR 波形图及相量图：波形图及相量图： iw w tOuRpRRUI u= iURI瞬时功率以瞬时功率以2w w交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率) (cos22i2tIUR ) (2cos1itIUR 同同相相位位时域形式：时域形式：i(t)uL(t)L+- -相量形式：相量形式：) cos(2)( itIti w w已已知知)2 cos( 2 )

30、sin(2d)(d)( iiLtILtILttiLtuw ww ww ww w则则相量模型相量模型jw w L+- -LU I相量关系：相量关系：IjXILjULL w w有效值关系：有效值关系： U=w w L I相位关系：相位关系： u= i +90 2. 2. 电感元件电感元件VCR的相量形式的相量形式2 w w iLiLIUII感抗的物理意义：感抗的物理意义：(1) (1) 表示限制电流的能力；表示限制电流的能力； (2) (2) 感抗和频率成正比；感抗和频率成正比；w wXL相量表达式相量表达式:XL=w w L=2 fL，称为感抗，单位为称为感抗，单位为 ( (欧姆欧姆) )BL=

31、1/w w L =1/2 fL， 感纳，单位为感纳，单位为 S S 感抗和感纳感抗和感纳: ,ILjIjXULw w ; , ,; , 0 ),(0开路开路短路短路直流直流 w w w wLLXXULjULjUjBILw w w w 11功率：功率：) (2sin ) sin()cos( miLiimLLLtIUttIUiup w ww ww ww w t iOuLpL2 瞬时功率以瞬时功率以2w w交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消LUI i波形图及相量图：波形图及相量图：电压超前电电压超前电流流900时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：)cos(2

32、)( utUtu w w已已知知)2 cos(2 ) sin(2d)(d)( uuCtCUtCUttuCtiw ww ww ww w则则相量模型相量模型iC(t)u(t)C+- - UCI +- -Cj1有效值关系：有效值关系： IC=w w CU相位关系：相位关系： i= u+90 相量关系：相量关系：IjXICjUC w w13. 3. 电容元件电容元件VCR的相量形式的相量形式2 w w uCuCUIUUXC=1/w w C， 称为容抗，单位为称为容抗，单位为 ( (欧姆欧姆) )B B C = w w C， 称为容纳，单位为称为容纳，单位为 S S 频率和容抗成反比频率和容抗成反比,

33、w0， |XC| 直流开路直流开路( (隔直隔直) )w w ，|XC|0 0 高频短路高频短路( (旁路作用旁路作用) )w w|XC|容抗与容纳：容抗与容纳：相量表达式相量表达式:UCjUjBIICjIjXUCCw ww w 1功率：功率：)(2sin )sin()cos(2 uCuuCCCtUIttUIuip w w t iCOupC2 瞬时功率以瞬时功率以2w w交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消UCI u波形图及相量图：波形图及相量图：电流超前电电流超前电压压9004. 4. 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 0)(ti同频率的正弦量

34、加减可以用对应的相量形式来进行同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和和KVL可用相应可用相应的相量形式表示：的相量形式表示：上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足表示时仍满足KVL。 02Re)( 21tjeIItiw w 0I 0)(tu 0U )5(CjIUCCw w例例1 1试判断下列表达式的正、误：试判断下列表达式的正、误：Liju )1(w w 005 cos5 )2( tiw wmCUjI )3(mw w LLIUX L )4(LILjU )6(Lw w dtdiCu )7(UImUmmIUIU Cjw w1L例例2 2A1A2A0Z1Z2U已知电流表读数：已知电流表读数：A18AA26ACjXZRZ 21 , 1 ）（若若A0?为何参数为何参数）（21 ,