九年级数学专题复习第一讲数与式的运算

1、九年级数学复习第一讲数与式的运算、乘法公式【公式 1】(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca2222证明：(a b c) (a b) c (a b) 2(a b)c ca2 2ab b2 2ac 2bc c2a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca等式成立 c1c【例1】计算：(x2 V2x -)2 3解：原式=x2 (2x) -2 32 221 22211-(x )( . 2x)(-)2x ( . 2 )x 2x -2-( ,2x)3334 C C 38 22.21x 2 . 2x - x x 一339说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降哥或升哥排列._2233、【

2、公式2】(a b)(a ab b ) a b (立方和公式)、 r, ，、/ 2,2、32, 22,2,33 , 3证明：(a b)(a ab b ) a a b ab a b ab b a b说明：请同学用文字语言表述公式2.22【例2】计算：(a b)(a ab b )3333a ( b) a b. 一.22解：原式=a ( b)a a( b) ( b)我们得到：_2233、.【公式3】（a b）（a ab b ） a b （立方差公式）请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式 1、2、3均称为乘法公式.【例3】计算：(1) (4 m)(16 4m m2)(3) (a 2)(a 2)

3、(a44a216)(2)(4)(1m5(x21 n)( m22251一 mn1012、2xy22y )(xxy2X2 y )解：（1）原式二43 m364 m31 、31 、3(2)原式=(m)3 (-n)3521 m 125一， ,2, , 4(3)原式=(a 4)(a 4a242 )/ 23.3(a )46a 64(4)原式二(x、2/ 2y) (xxy2、2y )(x y)(x2 xy y2)2/ 3(x32 y )3 32x y说明：(1)在进行代数式的乘法、除法运算时, 的结构.(2)为了更好地使用乘法公式，记住要观察代数式的结构是否满足乘法公式1、2、3、4、20的平方数和 1、2

4、、3、4、10的立方数，是非常有好处的.【例4】已知x3x解：x2 3x原式二(x-)(x2 x说明：本题若先从方程4) x3x(x1 -)(x x1)2 3 3(32 3) 18 x烦琐.本题是根据条件式与求值式的联系,0中解出x的值后，再代入代数式求值, 用整体代换的方法计算，简化了计算.体代换法.本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知,则计算较请注意整 是明智之举.【例5】已知1) cb(- c-) ac(1 a1-1)的值. b解： a bc 0,b c, ba,c原式二ab cbcaca baba(a)b(b)c(c)bcacabb2abca3b3b3(ac3b)

5、(a3abcb)2 3ab c(c2，把代入得原式说明：注意字母的整体代换技巧的应用. 引申：同学可以探求并证明：a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2、根式式子Va(a 0)叫做二次根式，其性质如下:(1) ( a)2 a(a 0)(2) a2 | a |3ab)c3 3abc3abc3 abcab bc ca). ab x a b(a 0, b 0)b b / Va7a(a 0，b 0)【例6】化简下列各式:(3 2)2( 3 1)2(2) . (1 x)2, (2 x)2 (x 1)解：(1)原式二|褥 2| |73 1| 2 73 用 1 1(2)原式二|x 1| |x

6、 2|(x 1) (x 2)(x 1) (x 2)2x 3 (x 2)1 (1 x 2)说明：请注意性质 ja2 |a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字 母的取值分类讨论.【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1) 一 (2) J1 1(3) 2 后后反2,3a b，2解：(1)原式=_3(2一电32 6 36(23)(2,3)23a b(2)原式=匕丁a2b ab2abx x2, 2 22x2x x x 2 2x 3 2x说明：(1)二次根式的化简结果应满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被 开方数不含能开得尽方的因数或因式.(2)二次根式的化简常见

7、类型有下列两种：被开方数是整数或整式.化简时，先将它分解3因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；分母中有根式(如，_)或被开方2.3数有分母(如x).这时可将其化为形式(如可化为分母中有根式的情况.化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化，3.简.(如上三化为2.33(2.3)(2. 3)(23)，其中2 J3与2 J3叫做互为有理化因式).【例8】计算:( a ,b 1)(1.a . b) (.a b)2*a ab解：(1)原式=(1 而)2 (扃 (a 2&b b)2a 2 ab 2 .b 1a(2)原式=6(右血)aa(.a b)(；ab)

8、( . a b)(a b)( a b)乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式说明：有理数的的运算法则都适用于加法、 二次根式的运算.例92.3=,y一 .323十k,求、32.323原式二(x y)(x2(2.3)222xy7 4 3, yy2)(x y)(x说明：有关代数式的求值问题:y3的值.7 4 3 x y 14, xy 1y)2 3xy 14(142 3) 2702（1）先化简后求值；（2）当直接代入运算较复杂时,可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量.三、分式A三就叫做繁分式，繁分式的化简常用BA当分式A的分子、分母中至少有一个是分式时,B以下两种方法

9、：（1）利用除法法则；（2）利用分式的基本性质.【例10】化简一x一1 xx 1x x解法一：原式=x1 x x2 1x(1 x) x(x 1)(x 1)x-2 x x xx 1x(x 1) x 1解法一：原式=(1 x) x x (x -) xxxx(1 x)x2 1x(x 1)-2x x x说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手,采取通分的方式逐步脱掉繁分式,. A法二则是利用分式的基本性质-B般根据题目特点综合使用两种方法.x2 3x 9【例11】化简x Jx 9 x2 279x6x x 1x26 2x2x 3x 9解：原式=；(x 3)(x2 3x 9)6xx(9 x2x 12(3

10、 x)(x 3)(x 3)2(x 3)2(x 3) 12 (x 1)(x 3)2(x 3)2(x 3)(x 3)2(x 3)(x 3)2(x 3)分母为多项式时，应先因式分说明：（1）分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、解再进行约分化简；（2）分式的计算结果应是最简分式或整式.1.二次根式A.a2 0a成立的条件是B.C.D. a是任意实数2.若x3,则 9 6x|x61的值是（A.3.计算:B.C.D. 9(x3y 4z)2(2)(2a 1 b)2(a b)(a2b)(ab)(a2 abb2)(ab)2(4)(a4b)(4 a24b2 ab)4.化简（卜列a的取值范围均使根式有意义）：8

11、a31(2)aav4aba、b b a(4)5.化简:m 9mm10m251m2m2(2).322x 2y x2x(xy 0)2,A.2.计算:3.设x,_ 24.当 3a5.设 x、6.已知a的值.x xyB.、.c)( .a3y的值为（ y）：. b c)C.(2)(-1- -1-)(.2、.3)1T 2,yab 2b21一一，求代数式3xy y的值.的值.1x 20,b20ba0(ay为实数，且xy-x2022a bx 19, c20_ 2221,求代数式a babbc ac51_ 427 .设x ，求x x 2x 1的值.2一_ 48 .展开(x 2)9 .计算(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)10.计算(xy z)( xy z)(x y z)(x y z)11.化简或计算:(.18：213)(2)夜拒而2F第一讲习题答案A组1. C 2. A(2) 3a2 5ab 3b2 4a 2b2223. (1) x 9y 16z 6xy 8xz 24yz22133(3) 3ab 3ab(4) - a 16b44. 2