-解析函数与调和函数

1、第七节 解析函数与调和函数的关系 一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系三、小结与思考2一、调和函数的定义一、调和函数的定义定义定义. ),( 0, , ),( 2222内的调和函数内的调和函数为区域为区域那末称那末称并且满足拉普拉斯方程并且满足拉普拉斯方程有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数内具内具在区域在区域如果二元实变函数如果二元实变函数DyxyxDyx 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用问题中有很重要的应用.拉普拉斯拉普拉斯3二、解析函数与调和函数的关系二、解析函数与调和函数的关系1. 两者的关系两者的关系定理定理 任何在区

2、域任何在区域 D 内解析的函数内解析的函数, ,它的实部它的实部和虚部都是和虚部都是 D 内的调和函数内的调和函数.证证 ,)( 内的一个解析函数内的一个解析函数为为设设Divuzfw . , xvyuyvxu 那末那末. , 222222yxvyuxyvxu 从而从而4根据解析函数高阶导数定理根据解析函数高阶导数定理, , 数数具有任意阶的连续偏导具有任意阶的连续偏导与与vu, 22yxvxyv , 0 2222 yuxu从而从而, 0 2222 yvxv同理同理 . 都是调和函数都是调和函数与与因此因此vu证毕证毕5. , , ,的共轭调和函数的共轭调和函数称为称为两个调和函数中两个调和函

3、数中的的内满足方程内满足方程在在换句话说换句话说uvxvyuyvxuD 2. 共轭调和函数的定义共轭调和函数的定义. ),( ),( , ),( 的共轭调和函数的共轭调和函数称为称为函数函数内构成解析函数的调和内构成解析函数的调和在在们把使们把使我我内给定的调和函数内给定的调和函数为区域为区域设设yxuyxvDivuDyxu 区域区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数和函数. .63. 偏积分法偏积分法 如果已知一个调和函数如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而从

4、而构成一个解析函数构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为这种方法称为偏积分法偏积分法.解解例例1 . ),( , 3),( 23数数和由它们构成的解析函和由它们构成的解析函其共轭调和函数其共轭调和函数并求并求为调和函数为调和函数证明证明yxvyxyyxu ,6 xyxu 因为因为,6 22yxu ,33 22xyyu ,6 22yyu 7, 0 2222 yuxu于是于是 . ),( 为调和函数为调和函数故故yxu,6 xyxuyv 因为因为 yxyvd6),(32xgxy ),(32xgyxv yuxv 又因为又因为,3322xy 8 xxxgd3)( 2故故,3cx ,3),(23cxy

5、xyxv )(32xgy ,3322xy 得一个解析函数得一个解析函数).3(32323cxyxiyxyw 这个函数可以化为这个函数可以化为).()(3czizfw 答案答案课堂练习课堂练习. , 236),( 3223并求其共轭调和函数并求其共轭调和函数调和函数调和函数为为证明证明yxyyxxyxu .263),(3322cxyxyyxyxv ) ( 为任意常数为任意常数c) ( 为任意常数为任意常数c9例例2 . 0)0( ,)( , )sincos(),( fivuzfyxyxyyeyxvx使使求一解析函数求一解析函数和函数和函数为调为调已知已知解解, 1)sinsincos( yyxy

6、yexvx, 1)cossin(cos yxyyyeyvxyvxu 由由, 1)cossin(cos yxyyyex xyxyyyeuxd1)cossin(cos 得得10),()sincos(ygxyyyxeux , 得得由由yuxv 1)sinsincos( yyxyyex),()sincossin(ygyyyyxex ,)( cyyg 故故,)sincos( cyxyyyxeux 于是于是11,)1(czizez , 0)0( f由由, 0 c得得所求解析函数为所求解析函数为.)1()(zizezfz ivuzf )(ciiyixeiyeexeiyxiyx )1()1(124. 不定积分

7、法不定积分法. , ),( ),( 不定积分法不定积分法求解析函数的方法称为求解析函数的方法称为用不定积分用不定积分或或已知调和函数已知调和函数yxvyxu不定积分法的实施过程不定积分法的实施过程: , )( )( 仍为解析函数仍为解析函数的导数的导数解析函数解析函数zfivuzf xxivuzf )( 且且yxiuu xyivv , 来表示来表示用用与与把把zivviuuxyyx ),()(zUiuuzfyx ),()(zVivvzfxy 13将上两式积分将上两式积分, 得得,d)()(czzUzf ,d)()(czzVzf , )( zfu求求适用于已知实部适用于已知实部 , )( zfv

8、 求求适用于已知虚部适用于已知虚部14例例3 3).( 1)( , )( , . , 22zfifivuzfvkyxuk的的并求并求为解析函数为解析函数使使再求再求为调和函数为调和函数使使值值求求 解解根据调和函数的定义可得根据调和函数的定义可得, 1 k,2 xxu 因为因为, 2 22 xu,2 kyyu ,2 22kyu yxiuuzUzf )()( 因为因为kyix22 15kyix22 yix22 ,2z zzzfd2)( 根据不定积分法根据不定积分法,2cz , 1)( if由由 , 0 c得得所求解析函数为所求解析函数为.2)(222zxyiyxzf 16用不定积分法求解例用不定

9、积分法求解例1中的解析函数中的解析函数 yxiuuzUzf )()()2(322yxyixi ,32iz zizzfd3)(2,13ciz ) , , )( (1为任意纯虚数为任意纯虚数所以常数所以常数实的任意常数实的任意常数不可能包含不可能包含的实部为已知函数的实部为已知函数因为因为czf例例4 4 .3),( 23yxyyxu 实部实部解解 ) ( 为任意实常数为任意实常数c).()( 3czizf 故故)(zf17例例5 解解用不定积分法求解例用不定积分法求解例2中的解析函数中的解析函数 )(zf .)sincos(),( yxyxyyeyxvx 虚部虚部xyivvzVzf )()(1)

10、sinsincos( yyxyyeix1)cossin(cos yxyyyexiyeiyxyeiyxiyiyexxx 1cos)(sin)()sin(cos18iyiyeiyxyiyexx 1sincos)()sin(cosieiyxeiyxiyx 1)(,1izeezz zzVzfd)()(zizeezzd)1( .)1(czizez ) ( 为任意实常数为任意实常数c19例例6 解解.)( ),(2)4)( 22ivuzfyxyxyxyxvu 试确定解析函数试确定解析函数已知已知, 2)42)()4(22 yxyxyxyxvuxx两边同时求导数两边同时求导数, 2)24)()4(22 yx

11、yxyxyxvuyy , , xvyuyvxu 且且所以上面两式分别相加减可得所以上面两式分别相加减可得20, 23322 yxvy,6xyvx xyivvzf )(xyiyx623322 , 232 z zzzfd)23()(2.23czz ) ( 为任意实常数为任意实常数c21三、小结与思考三、小结与思考 本节我们学习了调和函数的概念、解析函数本节我们学习了调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.应应注意注意的是的是: 1. 任意两个调和函数任意两个调和函数u与与v所构成的所构成的函数函数u+iv不一定是解析函数不一定是解析函数. 2. 满足柯西满足柯西黎曼方程黎曼方程ux= vy, vx= uy,的的v称为称为u的共轭调和函数的共轭调和函数,