内切球和外接球例题

1、d3高考数学中的内切球和外接球问2一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为27例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24 ,则该球的体积为 . 43 .2、求长方体的外接球的有关问题例3 （ 2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个 顶点上的三条棱长分别为 123 ,则此球的表面积为.14 .例4、（ 2006年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为（）.C.A. 16 B. 20 C. 24 D. 323, 求多面体的外接球的有关问

2、题例5.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的9顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 ,底面周长为3 ,则这个球的体积为.解 设正六棱柱的底面边长为X ,高为h ,则有11X ,2 1一、一一一h 5.二正六棱柱的底面圆的半,2 ,球心到底面的径6x3, 距离.，外接球的半93 % x?h84径4 v球 ,3二、构造法（补形法）1、构造正方体例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3 ,则其外接球的表面积是 . 9解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，把这个三棱 锥可以补成9一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接

3、球4 .谩翼外接球外接球的半径为 R,则有2R 2 3 3 39 R2的表面积S4 R2 9小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c ,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长222就是该三 棱锥的外接球的直径 .设其外接球的半径为 R ,则有2Ra2b2c2.由现“墙角”结构禾f 用补形知识，联系长方体。【例题】：在四面体 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为,若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为的长即：所以球的表面积为例6. 一个四面体的所有棱长都

4、为2 ,四个顶点在同一球面上，则此球的表DA=AB=BC= 3 ,则球O的体积等于AB=AD=AE=BD=DE BE2,由此可求得正方体的棱长为1,体对角线A.例7.在等腰面积为（）A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6解析：一般解法，需设由球心，作由高线，构造直角三角形， 再计算球的半 径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的 线段，所 以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，四面体 A BDE满足条件, 即为3 ,从而外接球的直径也为 3 ,所以此球的表面积便可求得，故选模型很快便可找到球的直径，由于DA平面ABC , AB BC ,联想长方体 中的相应线段关

5、系，构造长方体， 又因为DA=AB=BC= 3 ，则此长方体为正方 体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解由 CD=3 .故球O的体积等9于2 .2、构造长方体例9.已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB平面BCD , BC DC ,若AB 6, AC=2将ADE与BEC梯形 ABCD 中，AB=2DC=2 , DAB=60 0, E 为 AB 的中点,13,AD=8,则球的体积是分布沿ED、 EC向上折起，使 A、B重合于点P,则三棱解析：首先可联想到例 8,构造下面的长方体，于是AD为球的直径，O为球锥P-DCE的外接球的体积为（心，OB=OC=4为半径，要求 B、C两点间的球

6、面距离，只要求由BOC即43A. 27B. 2C. 8D. 24解析：因为AE=EB=DC=1DAB= CBE= DEA=60 0 ,所以AD AE=EB=BC=DC=DE=CE=1,即三棱锥 P-DCE为正四面体，至此，这 与例6就完全相同了，故选 C.例8 .已知球。的面上四点 A、B、C、D, DA平面ABC , AB BC ,可，在 Rt ABC中，求生 BC=4 ,所以BOC=60 0 ,故B、C两点间的球面距4离是3 .三.多面体几何性质法例1 0.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4 ,体积为16,则这个球的表面积是A.16B.20 C. 24 D.322解设正四棱柱的底

7、面边长为x ,外接球的半径为 R ,则有4x2 16 ,解得x2解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半.而利用长方体径A. 12B. 9C. 6D. 324 R 24 .选C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球 的直径”这一性质来求解解设矩形对角线的交点为 O,则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD .，点O到四面体的四个顶点 A、B、C、D的距离相等,四.寻求轴截面圆半径法例11.正四棱锥 S ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点R OA5即点O为四面体的外接球的球心，外接球的半径2 .故S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为解 设正四棱锥的底面中心为O1,外接球的球心为O，如图1所示.，由球的截面的性质，可得 OO1平面ABCD4 R3 1253 6.选C.例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且又SO1平面 ABCD，球心 O必在SO1所在的直线上. ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆,外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC中，由SA SC 2AC 2 得 SA2 SC2 AC2,求球的体积。解：且，ACASC是以AC为斜边的Rt . 21是外接圆的半径，也是外接球的半 径V球故3五.确定球心位置例法在矩形ABCD中，AB 4,BC 3沿AC将