山东省沂水县高中数学第二章点、直线、平面之间的位

1、2. 3.1 直线与平面垂直的判定【学习目标】1.理解直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用；3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题.问题导学新知探究点点落实知识点一直线与平面垂直的定义思考1 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？答案不变，90° .定义如果直线l与平面a内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线l与平面a互相垂直记法11a有关概念直线1叫做平囿a的垂线,平囿 a叫做直线1的垂面,它们唯一的公共点 P 叫做垂足图示iJ画法画直线

2、与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直知识点二 直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片 ABCg折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 （BD DC与桌面接触）.观 察折痕AD与桌面的位置关系.思考1折痕AD与桌面一定垂直吗？答案不一定.思考2当折痕AD满足什么条件时，A时桌面垂直?答案 当ADL BD且ADL CD时，折痕 AW桌面垂直.文字语后一条直线与一个平囿内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平囿垂直何语日1 1a, 1 ±b, a? a , b? a , a.nb = P? 1 1 a知识点三直线与平面所成的角有美概念对应图形斜线与平面a相交,

3、但不和平面a垂苴,图中直线PA斜足斜线和平囿的交点，图中点_A/射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂绳_ 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平 面内的射影，图中斜线PA在平面a上的 射影为直线AO7直线二H卸所成的角定义：平囿的一条斜线和它在平囿上的射影所成的锐角，图中/ _PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 90_; 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0_取值范围设直线与平囿所成的角为e , o° w e w90°题型探究重点难点个个击破类型一直线和平面垂直的定义例1下列命题中，正确的序号是 .若直线l与平面a内的无数条直线垂直，则 l，a ；若直

4、线l与平面a内的一条直线垂直，则 l，a ；若直线l不垂直于平面 a ,则a内没有与l垂直的直线；若直线l不垂直于平面 a ,则a内也可以有无数条直线与 l垂直；过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.答案解析 当直线l与平面a内的-无数条平行直线垂直时，l与a不一定垂直，所以不正确；当 l 与a内的一条直线垂直时，不能保证 l与平面a垂直，所以不正确；当 l与a不垂直时，l可 能与a内的无数条平行直线垂直，所以不正确，正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平 面，所以正确.故填.反思与感悟1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的

5、含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直 线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.2.由定义可得线面垂直 ？线线垂直，即若 a± a , b? a ,则a±b.跟踪训练1下面叙述中：若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线.其中正确的有()A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个答案 B解析 中若两条直线

6、为平行直线，则这条直线不一定与平面垂直，所以不正确；由定义知正确；中直线与梯形的两腰所在直线垂直，则与梯形所在平面垂直， 由定义知也与两底边所在直线垂直,所以正确；中直线与梯形两底边所在直线垂直，则不一定与梯形所在平面垂直，故不一定与两腰所在直线垂直，不正确.故选 B.类型二线面垂直的判定例2 在平面a内有直角/ BCD A9平面a ,求证CDL平面ABC解如图所示.ABL aCD? aAB! CD/ BCD= 90 ? BCL CDCDL平面ABC13ABH BC= B反思与感悟1.使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决

7、.2.线面垂直的定义具有双重作用：判定和性质，证题时常用它作为性质使用，即“如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线”.跟踪训练2 如图，在三棱锥 S-ABC中，Z ABC= 90° , D是AC的中点，且 SA= SB= SC(1)求证：SDL平面ABC设正方体的棱长为1, .AB= 2, AO=申.(2)若AB= BC求证：BD，平面SAC 证明 (1)因为SA= SC D是AC的中点, 所以 SDL AC 在 RtA ABO43, AD= BD 由已知SA= SB 所以 AD华 BDS所以 SDL BD 又 A6 BD= D,所以SDL平面ABC(2

8、)因为AB= BC D为AC的中点，所以 BDL AC 由(1)知 SDL BD又因为Sm AC= D,所以BD，平面SAC类型三直线与平面所成的角 例3如图，在正方体 ABCDAB1GD中， 求A1B与平面AADD所成的角；(2)求A1B与平面BBDD所成的角.解 (1).ABL平面AADD,AAB就是AB与平面AADD所成的角, 在 RtAAB 中，/ BAA= 90 , AB= AA, ./AAB= 45 , AB与平面AADD所成的角是45。(2)连接AC1交BD于点O,连接BQ. AOL BiD, BBXA1Q . AOL平面 BBDD,./A1BO就是AB与平面BBDD所成的角,又

9、. / AOB= 90 , A1O 1/ABO= A1B= 2. Z A1B0= 30 .AB与平面BBDD所成的角是30° .反思与感悟 求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足 作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角. 计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.跟踪训练3 如图，在三棱锥 ABCABG中，/ BAC= 90° , AB= AG= 2, AA = 4, A在底面ABC勺射 影为BC的中

10、点，D为BC的中点.(1)证明：AiD，平面ABC(2)求直线 “B和平面BBCC所成的角的正弦值.解(1)取BC的中点E,连接AiE, DE AE由题意得 AiE，平面ABC所以AE±AEE, 因为AB= AC所以AEL BC故AE1平面ABC由D E分别是BiG, BC的中点，得 DE/ BB且DE= BB,所以DE/ AiA,所以四边形AAED平行四边形，故 AD/ AE又因为AE!平面ABC所以ADL平面ABC(2)作AiFDE垂足为F,连接BF因为AEL平面ABC所以BC± AE因为BCL AE所以BCL平面AADE所以BCLAF,AiF,平面 BBCC所以/ A

11、BF为直线AB与平面BBCC所成的角.由 AB= AC= 2, / CAB= 90 ,得 EA= EB= .'2.由/ AiEA= / AEB= 90 ,得 AA= AiB= 4, AE=币Z由 DE= BB=4, DA=EA=® / DAE= 90 , 得 AF= 27.所以 sin / ABF=号.8达标检测当堂检测巩国反依i ,空间中直线l和三角形的两边 AC BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交D.不确定答案 B解析 由于直线l和三角形的两边 AC BC同时垂直，而这两边相交于点Q所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三

12、角形的第三边AB在这个平面内，所以l，AB2 .直线l，平面a ,直线n? a ,则l与m不可能（）A.平行B.相交C.异面D.垂直答案 A解析若 l / m l ? a , n? a ,- l / a ,这与已知，a矛盾.所以直线l与m不可能平行.3 .如图，在正方形 SGGG中，E、F分别是边 GG, GG的中点，D是EF的中点，现沿 SE SF及EF把这个正方形折成一个如图所示的几何体，使G、G、G三点重合于点 G则下面结论成立的是A. SGL平面 EFGC. GFL平面 SEF答案 AB. SDL平面 EFGD. GDL平面 SEF解析在图中，SGXGE,SGL GF,因此在图中，SG

13、L GESGL GR又GEH GF= G,SGL平面EFG4 .如图，RHBM计，余边 BM= 5,它在平面 ABC上的射影 AB长为4, / MB660° ,求 MCW平面 CA所成角的正弦值.MB C解 由题意知，A是M在平面ABCft的射影，.MA平面 ABC，MC&平面CA汕的射影为 AC/MC网为直线MC平面CA所成的角.又.在 RtBM阱，BM= 5, / MBC60 ,.MC= BMin / MBC= 5sin 60在 RtAMAO, sin / MCA=故MCT平面CA断成角的正弦值为2/3.5.如图，已知PA!圆O所在平面,AB为圆O的直径,C是圆周上的任意

14、一点，过A 作 AEEL PC于 E.在 RtAMAB, MA <bM- bA = 52- 42 = 3.求证：AE1平面PBC证明 PAL平面 ABC BC?平面 ABC - PA± BCACL BC A6 PA= A .BCL 平面 PAC . AE?平面 PACBCL AE又. PC! AE BS PC= C,PC?平面PBC BC?平面PBC.AEL平面 PBC规律与方法1 .线线垂直和线面垂直的相互转化七息两静平行假,中的1含荏堆与一个平面曲5,邛依另外一条有”此与此平百段总2 .证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义.(2)线面垂直的判定定理.(3)如果两条平行直线

15、的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.40分钟课时作业强化调愫拓展提开一、选择题1 .下列条件中，能判定直线 l，平面a的是（）A. l与平面a内的两条直线垂直B. l与平面a内的无数条直线垂直C. l与平面a内的某一条直线垂直D. l与平面a内的任意一条直线垂直答案 D解析 根据线面垂直的定义可知，l垂直于a内的所有直线时，l，a.2 .如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是（）三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边.A.B .C .D .答案 A

16、解析 由线面垂直的判定定理知，直线垂直于图形所在的平面.而图形中的两边不一定相交，故该直线与它们所在的平面不一定垂直.3 .空间四边形 ABCD勺四边相等，则它的两对角线 AC BD的关系是（）A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D,不垂直也不相交答案 C解析如图，取BD中点Q连接AO CO/则 BDL AQ BDL COBDL面 AOC又 AC?面 AOCBDL AC又BD A*面，不相交.故选C.4.如图所示，定点 A和B都在平面a内，定点P?a , PBL a , C是平面a内异于A和B的动点,且 PCL AC 则 ABC为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.

17、无法确定答案 B解析易证ACL面PBC所以Ad BC5 .下列说法中错误的个数是 （）若直线m/平面a ,直线l，m则l，a .若直线l和平面a内的无数条直线垂直，则直线 l与平面a必相交.过平面a外一点有且只有一条直线和平面a垂直.过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直.A. 0 B . 1 C . 2 D . 3答案 C解析 错误.若直线 m/平面a ,直线l Lm,则l与a平行、相交或l在a内、l，a都有可 能.错误.若直线l和平面a内的无数条直线垂直，则直线 l与平面a平行、相交或l在a内都有 可能.正确.如图，假如ll与l 2都过点P,且都与平面a垂直，设垂足分别为 A与B在平面

18、PAB内,过一点有两条直线ll, l2与已知直线垂直，这是不可能的.所以 ll和l2重合.正确.不论点 A是否在直线a上（如图），设过点A与直线a垂直的平面为a .如果还有一个平面3过点A与直线a垂直，且a n B = l ,设过点A和直线a且不过l的平面为丫，且a n 丫 = b, 3 n y = c.因为si± a , si± （3 ,所以a±b, a±c,这样在同一平面 丫内，过一点 A就有两条直线 b, c都与a垂直，这是不可能的.所以，过点 A和直线a垂直的平面只有一个.6 .如图，三棱锥 V ABC中，VOL平面 ABC OC CD VA=

19、VR AD= BQ则下列结论中不一定成立的是（）A. AC= BCB. VCL VDC. ABI VCD. S> VCD AB= Sa ABC VO答案 B解析 因为VA= VB,所以VD± AB因为VOL平面 ABC AB?平面ABC所以VOL AB又 VS VD= V, VO?平面 VCD VD?平面 VCD所以ABL平面VCD又CD?平面VCD VC?平面VCD所以 ABL VC AB± CD又AD= BQ所以AC= BC线段垂直平分线的性质).因为VOL平面 ABC所以 Vabc=13SAABC VO因为ABL平面VCD 所以V ABk Vs- VCD-p %

20、VCD-Sx VCD , B> 3SAvcd - AD1=3&VCD- ( BA AD13S VCD- AB一,1一 一所以 3SAABC VO=1c"Sa VCD- AB,即& VCD- AB= Sa ABC- VO 综上知，A, C, D 正确.二、填空题E为AD的7 .如图，在空间四边形 ABC珅，AB, BC CQ DA的长和两条对一角线AC BD都相等, 中点，F为BC的中点，则直线 BE和平面ADF所成的角的正弦值为 .解析 由已知得， BDG口 ABB全等的等边三角形且 F是BC的中点，所以 BF± FD, BF± AF.又 F

21、m AF= F,故 BF，平面 AFD连接EF,则EF是BE所在平面AFCrt的射影，/ BEF是BE与平面AFD所成的角.13设空间四边形 ABCDi长为a,则在等边三角形 AB计 BE= g-a；在RtA BFE中,1-1 BF= -BC= -a.22故 sin / BEF=坐.BE 38 .如图所示，在正方体 ABCP A1B1CD中，M N分别是棱 AA和AB上的点，若/ BMh直角，则/ CMN答案 900解析BC，面 ABEA1, BGXMFN又 MNL BMMNL面 CBM又 CM?面 CBM, .MN- CM，/ GMN= 90 .9 .在直三棱柱 ABC-ABC中，BC= C

22、C,当底面 ABC1满足条件 时，有AB± B（C.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）答案 /ACB = 90°解析 如图所示，连接 BG由BC= CC,可得BG± BC,因此，要证 AB±BC,则只要证明BC,平 面ABC,即只要证 ACL BC即可，由直三棱柱可知，只要证 ACL BC即可.因为 AC/AC BC/BC 故只要证 ACBC即可.（或者能推出 ACBC的条件，如/ AOB1 = 90等）3,10 .如图，四棱锥 S-ABC稣面为正方形，SDL底面ABCD则下列结论中正确的有 个.18 ACL SRAB/平面SC

23、DSA与平面ABC所成的角是/ SADAB与SC所成的角等于DC与SC所成的角.答案 4解析 .SDL平面ABCD .SDLAC四边形 ABCM正方形，. BDL AC，ACL平面 SBD. ACL SB,故正确. AB/ CD AB?平面 SDC，AB/平面SCD故正确. SDL平面 ABCDSA在底面上白射影为ADSA与底面ABC而成的角为/ SAD正确. AB/ CD故也正确.三、解答题11.如图，正方体 ABCDA1BCD的棱长为2.(1)求证：ACL BD;(2)求三棱锥GBDB的体积.BB，平面 ABCD(1)证明 如图，: ABCDABCD为正方体,. AC?平面 ABCD BB

24、± AC又底面 ABC时正方形，ACLBD. BBABD= B,. AC，平面 BBDBD?平面 BDB. ACL BD(2)解由(1)知 ACL BD,又 ACL BQ二ACL平面 BDB,设AC与BD交于点Q则CO为三B隹CBDB的高，1VC bdb = «CO' SVBDB C -BDBiBDBi1 14=X 寸2X5X2 22X2=- 3234三棱锥G BDB的体积为-. 312.如图，四棱锥 P-ABCDK 底面ABC时矩形，PDL底面ABCD AD= PD E,人F分别为CD PB的中点. 求证：EFL平面PAB夕匚(2)设AB= 42BQ求ACW平面AEF所成角的正弦值.监二，*Afl解 (1)连接BE, EP由题意知/ PDE= / BCE= 90因为 ED= CE PD= AD= BC所以 RtPD除