《光纤光学教学》第三讲

1、 HUST 20121/1/2022.第二章 光纤光学的基本方程 HUST 20121/1/2022.光纤光学的研究方法几何光学方法：几何光学方法： 光纤芯径远大于光波波长0时, 可以近似认为00，从而将光波近似看成由一根一根光线所构成, 因此可采用几何光学方法来分析光线的入射、传播(轨迹) 以及时延(色散) 和光强分布等特性，这种分析方法即为光线理论。优点：优点：简单直观，适合于分析芯径较粗的多模光纤。简单直观，适合于分析芯径较粗的多模光纤。缺点：缺点：不能解释诸如模式分布、包层模、模式耦合以及光场分不能解释诸如模式分布、包层模、模式耦合以及光场分布等现象，分析单模光纤时结果存在很大的误差。

2、布等现象，分析单模光纤时结果存在很大的误差。 HUST 20121/1/2022.波动光学方法：波动光学方法： 是一种严格的分析方法，从光波的 本质特性电磁波出发，通过求解电磁波所遵从的麦克斯韦方程，导出电磁波的场分布。优点：具有理论上的严谨性，未做任何前提近似，因此适用于各种折射率分布的单模和多模光纤。缺点：分析过程较为复杂。 HUST 20121/1/2022.光纤光学的研究方法比较几何光学方法波动光学方法适用条件dd研究对象光线模式基本方程射线方程波导场方程研究方法折射/反射定理边值问题研究内容光线轨迹模式分布 HUST 20121/1/2022.光线理论与波动理论分析思路 HUST 2

3、0121/1/2022. HUST 20102010-3-26补充数学知识 HUST 20121/1/2022. HUST 20102010-3-27补充数学知识zererezeyexezrzyx.1 HUST 20121/1/2022.2.1 麦克斯韦方程与亥姆赫兹方程一、麦克斯韦方程一、麦克斯韦方程光纤是一种介质光波导，具有如下特点：无传导电流；无自由电荷；线性各向同性。00/BDtBEtDH HUST 20121/1/2022.0材料在真空中的磁导率；0材料在真空中的介电常数；n材料折射率边界条件：在两种介质交界面上电磁场矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要连续,D与B的法向分量连

4、续： 12121212ttttnnnnEEHHBBDD212121210000nDDnBBnEEnHH HUST 20121/1/2022.电场、磁场关系式电场、磁场关系式矢量关系式矢量关系式电场强度电场强度E E的波动方程式的波动方程式该方程只与电场强度该方程只与电场强度E E有关，与磁场有关，与磁场H H无关。无关。8电磁矢量分离：波动方程 HUST 20121/1/2022.9 HUST 20102010-3-2矢量波方程矢量波方程这是电磁波普遍适用的精确方程。这是电磁波普遍适用的精确方程。在光纤中，折射率变化非常缓慢，可近似认为在光纤中，折射率变化非常缓慢，可近似认为于是上述方程可简化

5、为于是上述方程可简化为标量波方程标量波方程Notice：该方程为近似结果，适用于光纤中的一般问该方程为近似结果，适用于光纤中的一般问题。若要进行精密分析，要用矢量方程。题。若要进行精密分析，要用矢量方程。矢量矢量E(x,y,z,t)和和H(x,y,z,t)的每一个分的每一个分量均满足该式！量均满足该式！22/2222tHHtEE HUST 20121/1/2022.分离变量分离变量: 时空坐标分离令场分量为： 得到关于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式，即亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程：0/2/nkVkp0),(),(22zyxkzyxtiezyxtzyx),(),( HUST 20121/

6、1/2022.2.2 程函方程与射线方程一、程函方程：光程函数方程可确定等相位面。,),(constzyxQ HUST 20121/1/2022.二、光线方程由光程函数方程可推得光线方程：由光程函数方程可推得光线方程：drdrdrudsQ /un ddrnn rdSdS HUST 20121/1/2022.单位矢量相等：单位矢量相等：drunQnds 又有：又有：iiidxddrdsdsxds22QQn ndrnQn nds HUST 20121/1/2022.dnQn nds ddrnndsds 光线方程 HUST 20121/1/2022.光线方程的物理意义：当光线与当光线与z 轴夹角很小

7、时，有：轴夹角很小时，有： ddrnn rdzdz 物理意义： 将光线轨迹(由r r描述)和空间折射率分布(n)联系起来; 由光线方程可以直接求出光线轨迹表达式; dr r/dS是光线切向斜率, 对于均匀波导，n为常数,光线以直 线形式传播;对于渐变波导,n是r r的函数,则dr r/dS为一变量, 这表明光线将发生弯曲。而且可以证明,光线总是向折射率 高的区域弯曲。 HUST 20121/1/2022.光线总是向折射率高的区域弯曲光线总是向折射率高的区域弯曲nNrnR.)(11课后作业题：证明上式。课后作业题：证明上式。 HUST 20121/1/2022.典型光线传播轨迹反射型折射型 HU

8、ST 20121/1/2022.麦克斯韦方程麦克斯韦方程场的波动方程场的波动方程亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程波导场方程波导场方程电、磁分离电、磁分离时、空分离时、空分离纵、横分离纵、横分离直角坐标系直角坐标系 or 圆圆柱坐标系下研究柱坐标系下研究任意场分量都满足任意场分量都满足.选哪个场分量选哪个场分量 研究呢？研究呢？能方便求出其他场分量！能方便求出其他场分量！2.3 波导场方程 HUST 20121/1/2022.波动理论 亥姆霍兹方程：亥姆霍兹方程： 特征：特征：拉普拉斯算符作用在场分量函数上的结果拉普拉斯算符作用在场分量函数上的结果等于该函数与一常数等于该函数与一常数-k2的乘积。的乘积

9、。 这类方程在数学上称为这类方程在数学上称为本征方程本征方程，常数，常数k称为称为本征值本征值，该函数称为，该函数称为本征函数本征函数。波动理论：波动理论：对于给定的边界条件求本征方程的解对于给定的边界条件求本征方程的解 本征解及对应本征值本征解及对应本征值12121212ttttnnnnEEHHBBDD HUST 20121/1/2022.光纤波导光波传输特征：光纤波导光波传输特征： 在纵向（轴向）以在纵向（轴向）以“行波行波”形式存在，横向以形式存在，横向以 “驻波驻波”形式存在。场分布沿轴向只有相位变化，形式存在。场分布沿轴向只有相位变化， 没有幅度变化。没有幅度变化。进行空间坐标纵、横

10、分离，令进行空间坐标纵、横分离，令代入亥姆霍兹方程得到代入亥姆霍兹方程得到空间坐标纵横分离：波导场方程空间坐标纵横分离：波导场方程 HUST 20121/1/2022. 由此得到电场由此得到电场E和磁场和磁场H的场分布满足的的场分布满足的 波导场方程：波导场方程：数学物理意义：数学物理意义： 是波动光学方法的最基本方程。它是一个典型的是波动光学方法的最基本方程。它是一个典型的 本征方程本征方程,其本征值为其本征值为或或。当给定波导的边界条。当给定波导的边界条件时件时,求解波导场方程可得本征解及相应的本征值。求解波导场方程可得本征解及相应的本征值。通常将本征解定义为通常将本征解定义为“模式模式”

11、. HUST 20121/1/2022.模式及其基本性质 每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波电磁波; 每一个模式对应于某一每一个模式对应于某一本征值本征值并满足全部边界条件并满足全部边界条件; 模式具有确定的模式具有确定的相速群速和横场分布相速群速和横场分布. 模式是波导结构的模式是波导结构的固有电磁共振属性固有电磁共振属性的表征。给定的表征。给定 的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的,外外 界激励源只能激励起光波导中允许存在的模式而不界激励源只能激励起光波导中允许存在的模式而不 会改变模式的固有性

12、质。会改变模式的固有性质。(和和及边界条件均由光纤及边界条件均由光纤本身决定，与外界激励源无关本身决定，与外界激励源无关) HUST 20121/1/2022. 横模 光波在传输过程中，在光束横截面上将形成具有各种不同形式的稳定分布，这种具有稳定光强分布的电磁波，称为横模。横模（表现在光斑形状）的分布是和光波传输区域的横向（xy面）结构相关的； 光纤中的模式：光纤中的模式： HUST 20121/1/2022.纵 模 相长干涉相长干涉 条件：条件：2 nLK 纵模是与激光腔长度相关的，所以叫做纵模是与激光腔长度相关的，所以叫做“纵纵模模”，纵模是指频率而言的，纵模是指频率而言的。 HUST 2

13、0121/1/2022.模式的场分量 模式场分布由六个场分量唯一决定：模式场分布由六个场分量唯一决定：直角坐标系：直角坐标系：Ex Ey Ez Hx Hy Hz圆柱坐标系：圆柱坐标系：Er E Ez Hr H Hz Ez 和和 Hz 总是独立满足波导场方程总是独立满足波导场方程 场的横向分量可由纵向分量来表示场的横向分量可由纵向分量来表示6个场个场分量可分量可简化简化为为2个纵向场分量的求解个纵向场分量的求解。说明：光纤为圆柱型波导，通常说明：光纤为圆柱型波导，通常在圆柱坐标系下研究更为方便。在圆柱坐标系下研究更为方便。此时其两个横向分量相互交叠，此时其两个横向分量相互交叠，没有如此简单的分量

14、方程，只有没有如此简单的分量方程，只有纵向分量满足独立的波导场方程。纵向分量满足独立的波导场方程。 HUST 20121/1/2022.直角坐标系纵横关系式 HUST 20121/1/2022.圆柱坐标系纵横关系式 HUST 20121/1/2022.30横纵关系式已知场的横向向分量，可知场的纵向分量已知场的横向向分量，可知场的纵向分量直角坐标系下直角坐标系下圆柱坐标系下圆柱坐标系下 HUST 20121/1/2022.纵横关系式推导 对于单色波，任一场分量对于单色波，任一场分量 由麦克斯韦方程组可得：由麦克斯韦方程组可得： 直角坐标系下：直角坐标系下： 柱坐标系下：柱坐标系下： HUST 2

15、0121/1/2022.直角坐标系各分量方程 HUST 20121/1/2022.1、模场分布 即波导场方程满足边界条件的本征解即波导场方程满足边界条件的本征解 直角坐标系：直角坐标系：(Ex、Ey、Ez) (Hx、Hy、Hz) 圆柱坐标系：圆柱坐标系：(Er、E、Ez) (Hr、H、Hz)2.4 2.4 模式及其基本性质模式及其基本性质 HUST 20121/1/2022.342、模式命名 根据场的纵向分量根据场的纵向分量Ez和和Hz的存在与否的存在与否,可可将模式命名为将模式命名为: (1)横电磁模横电磁模(TEM): EzHz0; (2)横电模横电模(TE): Ez0, Hz0; (3)

16、横磁模横磁模(TM): Ez0, Hz0; (4)混杂模混杂模(HE或或EH):Ez0, Hz0。 光纤中存在的模式多数为光纤中存在的模式多数为HE(EH)模模,有有时也出现时也出现TE(TM)模。模。 HUST 20121/1/2022.3、纵向传播常数（、纵向传播常数（b b） b实际上是等相位面沿z轴的变化率； b数值分立，对应一组导模； 不同的导模对应于同一个b数值，我们称这些导模是简并的；z方向单位长度位相变化率; 波矢量k k的z-分量0coszzk enkb纵向传播常数（纵向传播常数（b b）：）：即与本征解相对应的本征值 HUST 20121/1/2022.3、归一化频率（V）

17、 给定光纤中,允许存在的导模由其结构参数所限定。光纤的结构参数可由其归一化频率V表征: V值越大，允许存在的导模数就越多。2212010022Va nnk ank a NA 2)2(2VggM HUST 20121/1/2022.4、横向传播常数（U、W）横向分量：（对应于纤芯）（对应于包层）定义横向传播常数：满足：场归一化传播常数：芯区：c1为实数; 包层：c2为纯虚数 HUST 20121/1/2022.横向传播常数（U、W）的特性 HUST 20121/1/2022.5、相速度与群速度相速度：场的等相位面沿z轴的传播速度群速度：光脉冲或波包中心或光能量沿z轴的传播速度 在光纤中,Vp大于光速c/n1而Vg小于光速c/n1,并有如下关系式: Vp c/(n1cosz ) c /n1 Vg(c/ n1)cosz c /n1 其中z是波矢K与z轴夹角。仅当z0时才有VpVgc/n1。 不同的z角相应于不同的导模,对应于不同的相速Vp和群速Vg