南通市2020届高三数学一调有答案

1、南通市2020届高三第一次调研测试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1 .已知集合 U=1,2, 3, 4, M=1,2 , N=2, 3,则6(乂口N) =.2 .复数工; (i是虚数单位)的虚部为 .(1 i)3 .设向量 a, b满足：|a| 1, a b 2 , |a b 2-42,则 |b|.4 .在平面直角坐标系 xOy中，直线x (m 1)y 2 m与直线mx 2y 8互相垂直的 充要条件是m=.5 .函数f (x) cosx(sin x cosx)(x R)的最小正周期是 .nn6 .在数列an中，若对于nCN*,总有 ak=2n 1,则a/二 .k 1k 1

2、7 .抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1, 2, 3, 4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为 x, y,则j为整数的概率是 .8 .为了解高中生用电脑输入汉字的水平，随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉 字个数测试，下图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分 钟输入汉字个数的范围是50 , 150,样本数据分组为50 , 70), 70 , 90), 90 , 110), 110, 130), 130, 150,已知样本中每分钟输入汉字个数小于 90的人 数是36,则样本中每分钟输入汉字个数大于或等于70个并且小于130个的人数是 .9 .运行如图所示程序框图后，

3、输出的结果是.(第9题图)10 .关于直线m, n和平面,有以下四个命题：若 m , n , / ，贝U m/n ;若 mn, m , n，贝U;若 I m, m n ,则n/且n ；若m n, I m ,则n 或n .其中假命题的序号是 .2.x 2x. x 011 .已知函数f(x) 2 右f(2 a2) f(a).则实数a的取俏范围是.2x x , x 0,12 .已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，G D的坐标分别是后,0 ,拒，0 ,则PC PD的最大值为 .13 .设面积为S的平面四边形的

4、第i条边的边长记为a (i=1 , 2, 3, 4), P是该四边形内任意一点，P点到第i条边的距离记为h,若; 号 k,则4(ihi)空.类比上述结论，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S (i=1 ,i 1k2, 3, 4), Q是该三棱锥内的任意一点，Q点到第i个面的距离记为H,则相应的正确命题是：若牛|母. k ,则.14 .在平面直角坐标系xOy中，设直线y &x 2m和圆x2 y2 n2相切，其中m,n N , 0 1m n | 1 ,若函数 f (x) mx1 n 的零点 xO (k, k 1), k Z ,则 k= .【填空题答案】1.4；21;2 ;3. 2;4.5

5、.兀;6.3 4n 1 ； 371 2 ?8. 90;9.10;10.；11. ( 2, 1);12 . 4;13.4(iHi)/；i 1k14.0.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 .(本小题满分14分)在 ABC中，a, b, c分别是角A B、C所对的边，且b2=ac, 向量 m cos(A C), 1 和 n (1 cosB)满足 m n 2.(1)求 sinAsinC 的值；(2)求证:2三角形ABE等边三角形.【解】(1)由 mn 3 得，cos(A C) cosB , 2分又 B=Tt(A+C),得 cos(A C) cos(A

6、+C)=-,24分即 cosAcosC+sinAsinC (cosAcosCsinAsinC尸-, 所以2sinAsinC= 3. 6 分4【证明】(2)由b2=ac及正弦定理得sin2B sin AsinC ,故sin2B -. 48分4 4222以 cos B -,故 B . 11 分23于是 cos2 B 1 3 -,所以 cosB 1或-.因为 cosB = - cos(A C)>0,所由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB ,即b2 a2 c ac ,又b2=ac ,所以224日 _ac a c ac, w a=c.因为B -,所以三角形ABC为等边三角形. 314分16

7、.(本小题满分14分)如图，已知 AB1平面ACD D旦平面ACD AC=ADD± 2AB, F 为 CD的中点./B(1) 求证：AF/平面BCE (2) 求证：平面BC已平面CDE/a【证明】(1)因为AB1平面ACD D旦平面ACD所以AB/ DE 6)口CF D,(第 16 d取CE的中点G,连结BG GF因为F为CD的中点，所以GF/ ED/ BA GF= 1 ED2=BA从而ABGF是平行四边形，于是AF / BG.4分因为AF 平面BCE BG 平面BCE所以AF/平面BCE 7分(2)因为AB1平面ACD AF 平面ACD)所以AB!AF,即ABGF矩形，所以AF&#

8、177;GF9分又 AC=AD,所以 AF ± CD.11分而cm G已F,所以AF，平面GCD即AF，平面CDE.因为AF/ BG 所以BGL 平面CDE.因为BG 平面BCE所以平面BCEL平面CDE14分17.(本小题满分15分)设等差数列an的前n项和为Sn,且a5 ai3 34, S3 9 .(1)求数列%的通项公式及前n项和公式；(2)设数列bn的通项公式为bn ，二，问：是否存在正整数t,使得b1, b2, bm an t(m 3, m N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明 理由.【解】(1 )设等差数列an的公差为d.由已知得a5 a13 34&#

9、39; 2 分3& 9,口4 a18d17ali2即解得 4分.故an 2n 1, Sn n .a1d3,d2.6分(2)由(1)知bn 2n 1 .要使D , b2, bm成等差数列，必须2b2 D bm ,即2n 1 t2 2m 1 ,8分.整理得m 3 , 11分3 t 1 t 2m 1 tt 1因为m, t为正整数，所以t只能取2, 3, 5.当t 2时，m 7;当t 3时，m 5;当t 5时，m 4.故存在正整数t ,使得n ,以bm成等差数列.15分18.(本小题满分15分)某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC勺三个顶点处，已知AB=AC=6km现计划在BC边的高A

10、O上一点P处建造一个变电站.记P到三个村庄的距离之和为y. (1)设PBO ，把y表示成 的 函数关系式;(2)变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小?【解】(1)在 Rt AOB 中，AB 6,所以 OB=OA=3V2.所以 ABCa由题意知0工.B442分o(第18题图)所以点P至IJA、B、C的距离之和为y 2PB PA 2 三2 (3 2 3 2tan ) 3 2 3.2 2 sin coscos故所求函数关系式为y 3行372 2 sin 0 工cos47分由(1)得y 3耳胃令y 0即sin 1'又04'从而.9分.当0时，y 0;当 时，y 0.6664所以

11、当 工时，y 4 3夜2 sin取得最小值，16cos3分止匕时OP66 (knj),即点P在OA上距。点66 km处.15分【答】变电站建于距。点76 km处时，它到三个小区的距离之和最小2219.(本小题满分16分)已知椭圆C：4+x2=1 a ba>b>0的离心率为*过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且B( 1,3).(1)求椭圆C和直线l的方程;(2)记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D.若曲线x22mx y24ym2 4 0与D有公共点，试求实数 m的最小值.【解】(1)由离心率e冬即a2又点B( 1,3)在椭圆22一 yxC :

12、2 +2ab(3) , ( 1)2 十 2- b2 y12圆.解得故 所2 x 1.4由 A(2, 0),(2)曲线B(212, b 4,求 椭 圆 方1, 3)得直线l的方程为y2,22mx y 4y m 4 0,即圆(x m)2 (y 2)2 8 ,其圆心坐标为G(m,即%23b .2),半径r242 ,表示圆心在直10分由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑 m 0的情形.设eG与直线l相切于点T,则由1a 2 2| 2点，得m 4, 122分当m 4时，过点G( 4, 2)与直线l垂直的直线l的方程为x y 6 0,解方程组x V 6 °，得T( 2, 4).x y 2

13、014分因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为1, 2 ,所以切点T D ,由图可知当e G过点B时，m取得最小值，即2 一 一 2 一(1m)( 3 2)8 ,解得mmin" 1.16分(说明：若不说理由，直接由圆过点B时，求得m的最小值，扣4分)20.(本小题满分16分)已知二次函数g (x)对任意实数x者B满足g x 1 g 1 x x2 2x 1 ,且g 11 .令f (x) g x -1 mln x "9(m R,x 0) . 28(1)求g(x)的表达式；(2)若x 0使f(x) 0成立，求实数m的取值范围；(3)设 1 m e, H (x) f (x)

14、 (m 1)x ,证明：对 xb x2 1, m，恒有 |H (x1)H (x2)| 1.【解】(1)设g x ax2 bx c ,于是_ 1 22ag x 1 g 1 x 2a x 1 2c 2 x 12,所以2c 1.又 g 11 ,则 b 1 ,所以 g x1 x2 2x 1.4分(2)f (x) g x 2 mln x 9 2x2 mlnx(m R, x 0).当m>0寸,由对数函数性质,f (x)的值域为R;2当m=O寸，f(x) 0对x 0 f(x) 0包成立; 2，6分当m<0寸，由fx m 0 x m m，列表：xx(0, /"m)m m(Jm,)f (x

15、)一0十f(x)减极小增这时，f (x) min f ( m) m2 mln . m.f(x) min 0分m 一一mln . m 0,2e<m 0.m 0所以若x 0, f(x) 0恒成立，则实数m的取值范围是(e, 0.故x 0使f(x) 0成立，实数m的取值范围(，eU 0,10(3)因为对 x 1, m , h (x) (x 1)(x m) 0, x于是 |H(x1) H(x2)| H (1) H (m) -m2 mln m -.22所以H(x)在1,m内单调递减.|H(x)H(x2)| 11 2m2mln m1-121-m ln m2记 h(m)1-m ln2m(12mme)则

16、 h' (m)1 12 m3 32m2 21 m2133 0，上0. 12分2m所以函数h(m) - m ln m '在1, e是单调增函数, 22m14分所以 h(m) h(e) e 1 -e 0 , 故命题成立 .2 2e 2e16分附加题部分21.【选做题】在A, B, C, D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修41几何证明选讲如图，AB是。0的直径，G F为。0上的点，且CA平分/BAF过点C作CD!AF交AF的延长线于点D.求证：DC是。0的切线.【证明】连结OC所以/ OAC=OCA 又因为CA平分/

17、BAF所以/ OAC=FAC 于是/ FACW OCA 所以 OC/AD.又因为CD!AF,所以CD!OC 故DCOO的切线. 10分B.选修4-2矩阵与变换变换T是绕坐标原点逆时针旋转日的旋转变换，求曲线2x2 2xy y2 1在变换T 作用下所得的曲线方程.【解】变换T所对应变换矩阵为M01，设y是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是；，则M ；y,即 y； yx,代入 2x02 2x0y0 y。2 1,即 x2 2xy 2y2 1 ,所以变换后的曲线方程为22x 2xy 2 y10分C.选修44参数方程与极坐标(本题满分10分)已知圆Oi和圆O2的极坐标方程分别为2 , 2 242

18、 cos( ；) 2 .(1)把圆Oi和圆。2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.【解】(1 )22 4 ,所以 x2 y2 4;因为 2 242 cos - 2,4'所以 2 2 姓 cos cos - sin sin - 2 ,所以 x2 y2 2x 2y 2 0 . 544分(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x y 1.化为极坐标方程为 cos sin 1 ,即sin 才乌.10分D.选修4-5不等式证明选讲(本题满分10分) 222已知m 0, a, b R,求证：/再ba mb .1 m 1 m,22, 2【解】因为m

19、 0,所以1 m 0,所以要证 上bmb-,1 m 1 m即证(a mb)2 (1 m)(a2 mb2), 即证 m(a2 2ab b2) 0,cc,22, 2即证(a b)2 0,而(a b)2 0 显然成立，故 a-ba mb . 101 m 1 m分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.动点P在x轴与直线l : y = 3之间的区域(含边界)上运动，且到点 F (0, 1)和直线l的距离之和为4.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)过点Q(0, 1)作曲线C的切线，求所作的切线与曲线 C所围成区域的面积.【解】(1)设P (x, y),根据题意，得Jx2 (y 1)2 + 3 - y = 4,化简，得y =1x?4(y<3) .(2)设过Q的直线方程为y = kx 1,代入抛物线方程，整理得x2 4kx + 4=0.2由= 16k 16=0.解得 k = ± 1.于是所求切线方程为y=±x-1 (亦可用导数求得切线方程)切点的坐标为(2, 1), ( 2, 1). .2由对称性知所求的区域的面积为S= 20121x (x 1)dx34.10分23.如图，直三棱柱ABC- ABC中，底面是等腰直角三角形,AB= BC=/2, BB = 3, D为A1C