2021年内蒙古通辽市数学中考真题含详解

1、试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共10题）1、 的倒数是（ ） A B C 2 D 2、 下列计算正确的是（ ） A B C D 3、 为迎接中国共产党建党一百周年，某班 50 名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖 成绩 / 分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 1 2 3 5 6 8 10 12 下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） A 平均数，方差 B 中位数，方差 C 中位数，众数 D 平均数，众数 4、 关于 x 的一元二次方程 的根的情况，下列说法正确的是（ ） A 有两个不相等的实数根

2、B 有两个相等的实数根 C 无实数根 D 无法确定 5、 如图，是由若干个相同的小正方形搭成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方形的个数不可能是（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 6、 随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从 2018 年到 2020 年，我国快递业务量由 507 亿件增加到 833.6 亿件，设我国从 2018 年到 2020 年快递业务量的年平均增长率为 x ，则可列方程为（ ） A B C D 7、 如图，在 中， ，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ） A B C D 8、 定义：一次函数 的特征数为 ，若一次函数 的图象

3、向上平移 3 个单位长度后与反比例函数 的图象交于 A ， B 两点，且点 A ， B 关于原点对称，则一次函数 的特征数是（ ） A B C D 9、 如图，已知 ， ， ，点 E 为射线 上一个动点，连接 ，将 沿 折叠，点 B 落在点 处，过点 作 的垂线，分别交 ， 于 M ， N 两点，当 为线段 的三等分点时， 的长为（ ） A B C 或 D 或 10、 如图，在矩形 中， ， ，动点 P ， Q 同时从点 A 出发，点 P 沿 A B C 的路径运动，点 Q 沿 A D C 的路径运动，点 P ， Q 的运动速度相同，当点 P 到达点 C 时，点 Q 也随之停止运动，连接 设点

4、 P 的运动路程为 x ， 为 y ，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（共7题）1、 冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为 0.00000012 米，数据 0.00000012 科学记数法表示为 _ 2、 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关 ， ， 中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 _ 3、 一副三角板如图所示摆放，且 ，则 的度数为 _ 4、 我国古代数学著作增删算法统宗记载 “ 绳索量竿 ” 问题： “ 一条竿子一条索，索比竿子长一托 . 折回索子却量竿，却比竿子短一托 .” 其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳

5、索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺 . 设绳索长 尺，竿长 尺，则符合题意的方程组是 _ 5、 若关于 x 的不等式组 ，有且只有 2 个整数解，则 a 的取值范围是 _ 6、 如图， 是 O 的弦， ，点 C 是 O 上的一个动点，且 ，若点 M ， N 分别是 ， 的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 _ 7、 如图， ， ， ， 都是斜边在 x 轴上的等腰直角三角形，点 ， ， ， ， 都在 x 轴上，点 ， ， ， ， 都在反比例函数 的图象上，则点 的坐标为 _ （用含有正整数 n 的式子表示） 三、解答题（共9题）1、 计算； 2、 先化简，再求值： ，

6、其中 x 满足 3、 如图，甲、乙两个转盘均被分成 3 个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为 x ， y 请用树状图或列表法求点 落在平面直角坐标系第一象限内的概率 4、 如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行，为测量其宽度，小明在南岸边 B 处测得对岸边 A 处一棵大树位于北偏东 60° 方向，他以 的速度沿着河岸向东步行 后到达 C 处，此时测得大树位于北偏东 45° 方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据： ） 5、 暑期将至

7、，某校组织学生进行 “ 防漏水 ” 安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为 100 分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图 测试成绩扇形统计图 测试成绩频数分布直方图 其中 A 组的频数 a 比 B 组的频数 b 小 15 请根据以上信息，解答下列问题： （ 1 ）本次共抽取 _ 名学生， a 的值为 _ ； （ 2 ）在扇形统计图中， n =_ ， E 组所占比例为 _% ； （ 3 ）补全频数分布直方图； （ 4 ）若全校共有 1500 名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在 80 分以上的学生人数 6、 为做好新冠疫情的防控工作，某单

8、位需购买甲、乙两种消毒液经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多 6 元，该单位以零售价分别用 900 元和 720 元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液 （ 1 ）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？ （ 2 ）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共 300 桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的 ，由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了 20 元 / 桶， 15 元 / 桶的批发价求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？ 7、 如图， 是 O 的直径，过点 A 作 O 的切线 ，点 P 是射线 上的动点，连接 ，过点 B 作 ，

9、交 O 于点 D ，连接 （ 1 ）求证： 是 O 的切线 （ 2 ）当四边形 是平行四边形时，求 的度数 8、 已知 和 都是等腰直角三角形 ， （ 1 ）如图 1 ，连接 ， ，求证： ； （ 2 ）将 绕点 O 顺时针旋转 如图 2 ，当点 M 恰好在 边上时，求证： ； 当点 A ， M ， N 在同一条直线上时，若 ， ，请直接写出线段 的长 9、 如图，抛物线 交 x 轴于 ， 两点，交 y 轴于点 C ，动点 P 在抛物线的对称轴上 （ 1 ）求抛物线的解析式； （ 2 ）当以 P ， B ， C 为顶点的三角形周长最小时，求点 P 的坐标及 的周长； （ 3 ）若点 Q 是平面

10、直角坐标系内的任意一点，是否存在点 Q ，使得以 A ， C ， P ， Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 =参考答案=一、选择题1、 1 A 【分析】 先化简绝对值，再根据乘积是 1 的两个数叫做互为倒数解答 【详解】 解： =2 ， 的倒数是 ， 故选 A 【点睛】 本题考查了绝对值的意义和倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键 2、 C 【分析】 根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案 【详解】 A. ，故该选项计算错误，不符合题意， B. ，故该选项计算错误，不符合题意， C. ，

11、故该选项计算正确，符合题意， D. ，故该选项计算错误，不符合题意， 故选： C 【点睛】 本题考查合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键 3、 C 【分析】 由题意可知，被遮盖的两个数据的和为 3 ，故不影响众数和中位数 【详解】 根据题意，共有 50 名学生，被遮盖的数据为 50-1-2-3-5-6-8-10-12=3 ， 可以求得众数为 100 ，中位数为第 25,26 个数的平均数，为 98 ； 所以统计过程中与被遮盖的数据无关是中位数和众数 故选 C 【点睛】 本题考查了平均数，方差，中位数，众数的概念，在计算平均数和方差时，每一个数据都要用上，而中

12、位数是排列好后，找中间的数据，众数直接找出现次数最多的那个数，理解平均数，方差，中位数，众数的求法是解题的关键 4、 A 【分析】 先计算判别式，再根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案 【详解】 =- （ k -3 ） 2 -4 （ - k +1 ） = k 2 -6 k +9+4 k -4 = （ k -1 ） 2 +4 ， （ k -1 ） 2 0 ， （ k -1 ） 2 +44 ， 方程有两个不相等的实数根， 故选： A 【点睛】 本题考查的是根的判别式，对于一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 （ a 0 ），判别式 = b 2 -4 ac ，当 0 时，方程有两个不

13、相等的实数根；当 =0 时，方程有两个相等的实数根；当 0 时，方程无实数根 5、 D 【分析】 根据主视图和左视图画出可能的俯视图即可解答 . 【详解】 由主视图和左视图得到俯视图中小正方形的个数可能为： 这个几何体的小正方形的个数可能是 3 个、 4 个或 5 个， 故选： D. 【点睛】 此题考查由三视图判断几何体，正确掌握各种简单几何体的三视图是解题的关键 . 6、 C 【分析】 根据题意，业务量由 507 亿件增加到 833.6 亿件， 2020 年快递业务量为 833.6 亿件，逐年分析即可列出方程 【详解】 设从 2018 年到 2020 年快递业务量的年平均增长率为 x ， 2

14、018 年我国快递业务量为： 507 亿件， 2019 年我国快递业务量为： = 亿件， 2020 年我国快递业务量为： + ， 根据题意，得： 故选 C 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程 7、 B 【分析】 先通过作图过程可得 AD 平分 BAC , DE AB , 然后证明 ACD AED 说明 C 、 D 正确，再根据直角三角形的性质说明选项 A 正确，最后发现只有 AE = EB 时才符合题意 【详解】 解：由题意可得： AD 平分 BAC , DE AB , 在 ACD 和 AED 中 AED = C ， EAD = CAD ,

15、 AD = AD ACD AED （ AAS ） DE = DC , AE = AC , 即 C 、 D 正确； 在 Rt BED 中， BDE =90°- B 在 Rt BED 中， BAC =90°- B BDE = BAC ，即选项 A 正确； 选项 B ，只有 AE = EB 时，才符合题意 故选 B 【点睛】 本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键 8、 D 【分析】 先求出平移后的直线解析式为 ，根据与反比例函数 的图象交于 A ， B 两点，且点 A ， B 关于原点对称，得到直线 经过原点，从而求

16、出 m ，根据特征数的定义即可求解 【详解】 解：由题意得一次函数 的图象向上平移 3 个单位长度后解析式为 ， 直线 与反比例函数 的图象交于 A ， B 两点，且点 A ， B 关于原点对称， 点 A ， B ， O 在同一直线上， 直线 经过原点， m +3=0 ， m =-3 ， 一次函数 的解析式为 ， 一次函数 的特征数是 故选： D 【点睛】 本题考查了新定义，直线的平移，一次函数与反比例函数交点，中心对称等知识，综合性较强，根据点 A ， B 关于原点对称得到平移后直线经过原点是解题关键 9、 D 【分析】 因为点 为线段 的三等分点，没有指明线段 的占比情况，所以需要分两种情

17、况讨论： ； 然后由一线三垂直模型可证 ，再根据相似三角形的性质求得 的值，最后由 即可求得 的长 【详解】 当点 为线段 的三等分点时，需要分两种情况讨论： 如图 1 ，当 时， ， ， ， 四边形 为矩形， ， ， 由折叠的性质可得 ， 在 中， ， ， ， ， ，即 ，解得 ， 如图 2 ，当 时， ， ， ， 四边形 为矩形， ， ， 由折叠的性质可得 ， 在 中， ， ， ， ， ，即 ，解得 ， 综上所述， 的长为 或 故选： 【点睛】 本题考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由 为线段 的三等分点，分两种情况讨论线段 的占比情况，以及利用 型相似进行相关计算是解决

18、此题的关键 10、 C 【分析】 分 0 x 3 ， 3 x 4 ， 4 x 7 三种情况，分别画出图形，列出函数关系式，根据函数图象与性质逐项排除即可求解 【详解】 解：如图 1 ，当 0 x 3 时， ， A 选项错误，不合题意； 如图 2 ，当 3 x 4 时，作 QE AB 于 E ， ， B 选项错误，不合题意； 如图 3 ，当 4 x 7 时， ， 选项 D 错误，不合题意 故选： C 【点睛】 本题为根据点的运动确定函数图象，考查了分类讨论、列函数解析式，二次函数图象、勾股定理等知识，综合性较强，根据题意分类讨论，列出函数关系式是解题关键 二、填空题1、 1.2×10

19、-7 【分析】 将 0.00000012 写成 a×10 n (1 |a | 10,n 为负整数 ) 的形式即可 【详解】 解 : 0.00000012=1.2×10 -7 故填 1.2×10 -7 【点睛】 本题主要考查运用科学记数法 , 将原数写成 a×10 n (1 |a | 10,n 为负整数 ), 确定 a 和 n 的值成为解答本题的关键 2、 【分析】 根据题意画出树状图，得到共有 6 种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光有 2 种等可能性，根据概率公式求解即可 【详解】 解：画树状图得 ， 由树状图得共有 6 种等可能性，其中能让两个小灯

20、泡同时发光应同时闭合 ， ，故有 2 种等可能性，所以概率为 故答案为： 【点睛】 本题考查了根据题意列表或画树状图求概率，正确列表或画出树状图是解题关键 3、 【分析】 根据三角板的 2 个三角形中的特殊角求出即可 【详解】 如图， 故答案为 【点睛】 本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，利用三角形的外角来求 的度数是解题的关键 4、 【分析】 设绳索长为 x 尺，竿子长为 y 尺，根据 “ 索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托 ” ，即可得出关于 x 、 y 的二元一次方程组 【详解】 解：根据题意得： 故答案为： 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正

21、确列出二元一次方程组是解题的关键 5、 -1< a 1 【分析】 分别求出两个不等式的解集，根据不等式组只有 2 个整数解列不等式即可得答案 【详解】 解不等式 得： ， 解不等式 得： ， 不等式的解集为 1 x ， 不等式组只有 2 个整数解， 不等式组的整数解为 1 、 2 ， 2 3 ， 解得： -1 a 1 ， 故答案为： -1 a 1 【点睛】 本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求解不等式组，根据 x 的整数解得出关于 a 的不等式组是解题关键 6、 【分析】 阴影面积由弓形 ADB 面积加上 MNB 的面积，而弓形面积不变，因此只需要求出 MNB 的最大面积，由 M

22、 , N 为 AB , BC 的中点，所以 MN 是 ABC 的中位线，所以 BMN BAC ，所以 S BMN = S ABC ，求出 ABC 的最大面积即可，而 AB 边为定值，当点 C 到 AB 的距离最大，三角形面积最大，当 CM AB 时，三角形面积最大，即可求出阴影面积最大值 【详解】 连接 OA , OB ，连接 OM ，如图 , ， M 为 AB 中点， OM AB ， , , 设 OM = x ，则 AO =2 x ，在 Rt AOM 中 即 ， 解得 x =1 ， 即 , S 弓形 ADB = S 扇形 OADB = ， M , N 为边 AB , BC 的中点， AC ，

23、 , , 当 C , O , M 在同一直线上时， ABC 的面积最大， 由垂径定理可知， AC = BC , 又 ACB =60° ， ABC 为等边三角形， , 在 Rt ACM 中， , 的最大值为： , , 阴影面积的最大值为： 故填： 【点睛】 本题考查弓形面积，扇形面积，圆心角与圆周角关系，三角形的中位线，相似三角形的性质，垂径定理，勾股定理，解题关键是将不规则面积转化为规则图形的面积 7、 【分析】 根据等腰直角三角形的性质，得到 的横，纵坐标相等，在结合反比例函数解析式求得该点的坐标，再根据等腰三角形的性质和反比例函数的解析式首先求得各个点的坐标，发现其中的规律，从而

24、得到答案 【详解】 为等腰三角形 直线 的解析式为 由题意得： 解得 为等腰三角形 设直线 的解析式为 ，解得 直线 的解析式为 解得 点 为等腰三角形 设直线 的解析式为 解得 直线 的解析式为 解得 综上可得：点 ，点 ，点 总结规律可得 坐标为： 故答案为： 【点睛】 本题综合考查了等腰直角三角形的性质以及结合反比例函数的解析式求得点的坐标，解答本题的关键是找出其中的规律求出坐标 三、解答题1、 【分析】 利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、代入特殊角的三角函数值分别化简计算即可得答案 【详解】 =2+1-2× + = 【点睛】 本题考查了实数的计算，包含负

25、整数指数幂、 0 指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，熟练掌握运算法则并熟记特殊角的三角函数值是解题关键 2、 x （ x +1 ）； 6 【分析】 先求出方程 的解，然后化简分式，最后选择合适的 x 代入计算即可 【详解】 解： x =2 或 x =-1 = = = = x （ x +1 ） x =-1 分式无意义， x =2 当 x =2 时， x （ x +1 ） =2× （ 2+1 ） =6 【点睛】 本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及解一元二次方程等知识点，化简分式是解答本题的关键，确定 x 的值是解答本题的易错点 3、 【分析】 分别列出 x ， y 的所

26、有取值情况，然后选择 x ， y 均大于 0 的情况，再根据概率公式求解即可 【详解】 解：由题意可知， x ， y 的所有取值情况如下所示： 共有 9 种可能的情况，其中点 落在平面直角坐标系第一象限内的可能情况有 (1,2) ， (5,2) ， (1,6) ， (5,6) 共 4 种， 故 P ( 点 落在平面直角坐标系第一象限内 )= 【点睛】 此题为反比例函数与概率的综合，考查的是用列表法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件等可能事件的概率 = 所求情况数与总情况数之比 4、 82m 【分析】 作 AD BC 于 D ，根据题意证明 AD = CD ，

27、设 AD = CD = x m ，则 m ，根据题意列出方程，解方程即可求解 【详解】 解：如图，作 AD BC 于 D ， 由题意得 EBA = DAB =60° ， FCA = DAC =45° ， AD = CD ， 设 AD = CD = x m ，由题意得 BC =1.5×40=60m ， 在 Rt ABD 中， m ， ， 解得 答：此河段的宽度为 82m 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，添加辅助线构造直角三角形，利用三角函数表示出线段，列出方程是解题关键 5、 （ 1 ） 150 ， 12 ；（ 2 ） 144 ， 4 ；（ 3 ）

28、见解析；（ 4 ）估计成绩在 80 分以上的有 660 名学生 【分析】 （ 1 ）根据总数、频数、频率之间的关系即可得出总人数，利用总数乘以频率可得 a 值； （ 2 ）利用频数除以总数可得 D 组占比，再由扇形统计图中圆心角度数与所占比例关系可求得 n 的值， E 组占比为总数 1 减去各组占比即可； （ 3 ）利用频数等于总数乘以频率可得 C 组学生人数； （ 4 ）利用总人数乘以满足条件的占比即可求得满足条件的学生人数 【详解】 解：（ 1 ） A 组的频数 a 比 B 组的频数 b 小 15 ，且由扇形统计图可得： A 组占比 8% ， B 组占比 18% ， 总人数： （名）， （

29、名）， 共抽取 150 名学生， a 的值为 12 ； （ 2 ） D 组占比为： ， ， E 组占比为： ， 在扇形统计图中， ， E 组所占比例为 4% ； （ 3 ） C 组学生人数为： （名）， 如图所示： （ 4 ） 80 分以上的学生为 D 组和 E 组， 一共占比为： ， （名）， 估计成绩在 80 分以上的学生有 660 名 【点睛】 题目主要考察扇形统计图与条形统计图的综合运用，难点是对公式的灵活变化及运用 6、 【分析】 （ 1 ）根据该单位以零售价分别用 900 元和 720 元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，可以得到相应的分式方程，从而可以得到甲、乙两种消毒剂的零售价

30、，注意分式方程要检验； （ 2 ）设购买甲种消毒液 m 桶，则购买乙种消毒液（ 300- m ）桶，根据甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的 ，即可得出关于 m 的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果 【详解】 解：（ 1 ）设甲种消毒液每桶的单价为 x 元，乙种消毒液每桶的单价为（ x -6 ）元， 依题意，得： ， 解得： x =30 ， 经检验， x =30 是原方程的解，且符合实际意义，则 x -6=24 答：甲种消毒液每桶的单价为 30 元，乙种消毒液每桶的单价为 24 元； （ 2 ）设购买甲种消毒液 m 桶，则购买乙种消毒液（ 300- m ）桶

31、，根据题意得到不等式： m (300- m ) ，解得： m 75 ， 75 m 300 ， 设总费用为 W ，根据题意得： W =20 m +15(300- m )=5 m +4500 ， k =5>0 ， W 随 m 的减小而减小， 当 m =75 时， W 有最小值， W =5×75+4500=4875 元 甲种消毒液购买 75 桶时，所需资金总额最少，最少总金额是 4875 元 【点睛】 本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验 7、 （ 1 ）见解析；（ 2 ） 【

32、分析】 （ 1 ）连接 OD ，证明 即可； （ 2 ）证明四边形 是正方形，即可求解 【详解】 （ 1 ）如图，连接 OD ，则 是 O 的切线 又 在 和 中 是 O 的切线 （ 2 ）如图，连接 OD 四边形 是平行四边形 , 四边形 是平行四边形 又 四边形 是菱形 四边形 是正方形 【点睛】 本题考查了圆的切线的性质，三角形全等的证明，平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，圆的切线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键 8、 (1) 见解析； (2) 见解析； 或 【分析】 (1) 证明 AMO BNO 即可； (2) 连接 BN ，证明 AMO BNO ，得到 A = OBN

33、 =45° ，进而得到 MBN =90° ，且 OMN 为等腰直角三角形，再在 BNM 中使用勾股定理即可证明； 分两种情况分别画出图形即可求解 【详解】 解： (1) 和 都是等腰直角三角形， ， 又 ， , ， ， ； (2) 连接 BN ，如下图所示： ， ， 且 ， ， ， ， ， 且 为等腰直角三角形， ， 在 中，由勾股定理可知： ，且 ； 分类讨论： 情况一：如下图 2 所示，设 AO 与 NB 交于点 C ，过 O 点作 OH AM 于 H 点， , 为等腰直角三角形， , 在 中， , ； 情况二：如下图 3 所示，过 O 点作 OH AM 于 H 点， , 为等腰直角三角形， , 在 中， , ； 故 或 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属