Get清风2量子力学的矩阵表示

1、4.2量子力学的矩阵表示一、态的表示二、算符的表示三、量子力学公式的矩阵表示用力学量完全集反的正交、归一和完备的本征态 矢量的集合巾作基底的表象,称为4总表象.为书写简便,用户代表4瓦,用时代表也,用九代表本征值谱m仇.把口,反表象 简称为户表象.以分立谱为例本征方程：邱2= 4M基底： ； = 1,2,3,正交归一化：m3尸爆封闭关系：刃| = /H一、态的表示态悭在户表象上的表示为一个列矩阵矩阵元q = 阳代表态悭在基底的上的投影,或称 为展开系数.它可在坐标表象上计算态悭和网的内积可以通过列矩阵相乘得到其中1|巧巧这是由于 假设+f=o ,那么称态中和中正交.而乎+乎=1那 么是指态乎是

2、归一化的.基底 在自身表象上的表示为0 叱=1 -第机行. .0基底的正交归一化写成态向基底的展开写成展开系数q=叫乎对于连续谱情况本征方程： a冈二q4基底：正交归格化：4田=54-下+ 8封闭关系：J |2d22| = ZoO态悭在声表象上的表示矩阵成为本征值a的函数态田和网的内积为由于归一化条件为/ I +8*平田=J T 4 W4 = LoO而基底W在自身表象上表示为 二、算符的表示1 .算符用矩阵表示算符是通过对态的作用定义的.由于态用列矩阵表示,所以算符应该用矩阵表示.矩阵l是算符在表象上的表示 矩阵元为 可以在坐标表象上计算.下面会看到,在坐标表象上矩 阵元乙的计算公式为【例】用

3、包括Hamilton量在内的力学量完全集的共同 本征态的集合作基底的表象,称为能量表象.在一维谐 振子的能量表象上,计算坐标X,动量力和力本身的表 示矩阵.利用矩阵元公式 得坐标x,动量.和力的表示矩阵2 .在自身表象上力学量算符的表示在自身表象上力学量算符的表示是一个对角矩阵,而对角元素就是这个力学量的本征值.因此,求解力学量的本征值问题,可以通过选择适 宜的基底,使这一力学量算符的表示矩阵成为对角矩 阵.对角元素就是待求的本征值,而所用的基底就是待求的本征态.3 .Hermite共机矩阵和Hermite矩阵(1) Hermite共趣矩阵矩阵A的Hermite共匏矩阵A+定义为:将A转置且矩

4、阵元取复共匏例如:设算符4的表示矩阵为A,那么Hermite共匏算符Q的表示矩阵必为A的Hermite共趣矩阵A* .证实：= (叫小) 即 N OA, A+ oA+.(2) Hermite 矩阵假设A = A+,那么称A为Hermite矩阵.假设A为Hermite矩阵,那么A =A： 对角元Hermite矩阵的非对角元是关于主对角线复共辄反 射对称的,对角元为实数.例如,2x2的Hermite矩阵一定取下面形式其中.和为实数.Hermite算符的表示矩阵必为Hermite矩阵.4.算符在坐标和动量表象上的表示1在坐标表象上的表示例如Hamilton量表示为注意,式中的b函数代表“矩阵是对角的

5、,只在积分运算中起作用.上述动量的表示可作如下理解将上式中的被积函数pe写成那么原式为即为什么被积函数不写成pe力 ine力dxn的形式呢这完全是为了符合根本假定瓦=-法色.为导出算符尸(X,无)在坐标表象上的表示,首先把 方(居瓦)按X和八作展开.如果二元函数歹(x,y)在(0,0) 附近可作展开那么算符方(8人)可展开为 然后计算矩阵元,即可得到(x |F (x,px )| x =F6(xr x *).【例】证实坐标表象上矩阵元Lu=(m式为其中 (x)=O证实：【例】证实证实:要证实的第二式是第一式的复数共朝.(2)动量表象例如在动量表象上Hamilton量表示为【例】一维谐振子能量本征

6、方程的动量表象形式为2m 2乎(p)=EP(p).证实:其中扮,即证.【例】设质量为根的粒子处于势场P(刈=-心中,k为 非零常数.求与能量E对应的本征波函数.解.显然无束缚态解.本征方程坐标表象形式为 而动量表象形式为 比坐标表象形式容易求解.通过Fourie变换可得本征态的坐标表象表示氏5M/S【思考】证实三、量子力学公式的矩阵表示下面列出量子力学重要公式在月表象上的矩阵形式.1 .薛定谓方程的矩阵形式其中G12 W=.2., H= H2l H22c*二E,/“=仲网证实:dt|/力=回软力,*=叫M,2 .力学量平均值公式的矩阵形式C =(n|T), Lmn = (mLn)证实：Z二田阳Ft【例】在自身表象上,写出力学量在态乎上的平均值.解3 .本征方程的矩阵形式 有非零解的条件称为“久期方程 这是一个N次塞代数方程,N为表象空间的维数.求解 久期方程可得N个实根,构本钱征值谱 把乙代回本征方程可得相应本征态& , i=l,2,N假设有重根,那么出现简并.【例】在正交归一化基底|两川“2),卜,3)所张开的三维 空间中,体系能量算符方的表示矩阵为