求函数极限方法和技巧汇总1

1、求函数极限方法和技巧汇总【26种技巧】一，求函数极限的方法K运用极限的定义例：用极限定义证明;证；由X1 3x T-2V£>o取5 = £ 则当0<上-2<5时，就有x' 3M + 22、利用极限的四则运笄性质# lim f(x) = A lim g(x) = B " JTTJf.XTK lim/(x)士g(x)= lim f(x) + limg(x) = A±B(H) lim/(x) g(x) = lim/(x)- limg(x) = J(HD 若 BHO M：f(xlim/(x) A-g(x)lim g(x) BC已(TV)

2、 Jimc /(x) = c lim/(x) = c/f”为常数)上述性质对于x T 8,x -> +8,X T -8时也同样成立例：求limX, + rX + 0x+ £- x'+U + Q Y'+<-Y + Q 0 lim=1 x + £i + £ y3、约去零因式（此法适用于XT/时微型）.x3 x" - I6x 20例：求 hm ；+ 7x" + 16x+ 12己 m-3/-1 Ox) + (2x2- 6x - 20)K+2 * + 5/ + 6x) + (2/ +1 Ox +12)豺:原式二1叫厂(x +

3、2)(x - 3x 10) (x + 2)(/ +5x + 6);扁，一31。).帚一)()i2 *2 + 5x + 6)(X + v)(x + r)lim X = _v-x + rL通分法(适用于8-8型)例：求切(三解：原式lin;£-(Y + x)C + x)C-x)= limC-x)l(Y+x)d)= limf Y+x5.利用无穷小量性质法(特别是利用无穷小量与仃界量之乘枳仍为无穷小量的性质) 设函数f(x)、g(x)满足：(T)物/=(IT) |g(x)| < M(M 为正整数)©则:lim g(x)f(x) = 0 . . 1例：求 limxsin 解：由

4、 叫|、=。而 sin a故原式=limxsin- = 0 x(I)若：lim/(x) = oolim= 0f(x)(II)若:lim/(x) = Or 1£L f(x)H0 贝 ij /(x)oo例：求下列极限) 1 lim limX，X + 3H K 1解：由！则1 + 5)= 8故由 lim(x-l) = 0故lim= >r* x + Qr 1lim二 8I x 17,等价无穷小代换法设a,稼,济，都是同一极限过程中的无穷小量,且有:aa；0 , lim存在,© 。.aa , a则 hm. 也存在，且有hm二m /rl HE 1-COS/例:求极限J。x sin

5、x解：sinx'x'， cos/")-cosx二 limT 二f x sinx(£T 工 x2a2 2注：在利用等价无穷小做代换时,一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、 差出现时,不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶8、利用两个重要的极限e= 1(例1而(1+，>3 Xk* X但我们经常使用的是它们的变形：(力 jlin1sE*(，)= A(P(x) -» 0)(P(x)Iim(1 +严'=e.(p(x) » oo)(P(x)例：求下列函数极限八/一'1 IncosoxP)Jim(

6、2)Jim-i xIn cosavan 八、A K m.f 日一' un(解：(')令优一' =，则x =-于是=Inax ln(' +又当XT刎， TOwin a . Inana=lim= lim- = li mfln(l+)ln(l+) 1 ln(l +h)w、原式=lim g 一')ln'+ (cosbx-')In(> + (cosax -') cos6x -' =limxtcos ax cos ax Inf' + (cos/?x-')©cosbx-' cosbx-y=hm&#

7、171;1 cosar-'9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续计处的极限）。= 1(例1而(1+，=e3 Xk* X但我们经常使用的是它们的变形：(力 jlin1sE*(，)= A(P(x) -» 0)(P(x)Iim(1 +严'=e.(p(x) » oo)(P(x)例：求下列函数极限八/一'1 IncosoxP)Jim(2)Jim-xt xIn cosavan 八、A K m.i 日一 ' un(解：(')令优一' =，则x =-于是=Inax ln(' +(2)、由(" " = ln(l +

8、 # X令同)=(1 +尸故有*:ln(l + x)-.-lirn- = limln(l + x)x = ln(lim(l +x)x) = Ine = 1r-*0*rOx-M)10.变量替换法（适用于分了分用的根指数不相同的极限类型）特别地行:例：求卜列函数极限m、n、k. 1为正整数。 liiTl（w . n C N） lim(NTB解：（腔t=%G 则当XT'时/T1,于是 +/")_ m(l-r)(l+/ + r2+/"'') - nyv + t 、r由于四（寸）“二厕+E）/ 2x + l 1, t 1 I令：="则 x + 1 =

9、- + 2 f/ 2T吧寸)白即('+一)=阿'+，0lim(l + t)f - lim(l +1)2 = “ 1 = ” 1-O/-tOIK 利用函数极限的存在性定理定理：设在工.的某空心邻域内恒仃g(x)Wf(x)Wh(x)且行:lim g(x) = lim h(x) = A I”则极限 师/")存在，且有lim f(x) = A x-»q 例：求 lim (a>l, n>0)X一加W： 当x21时,存在唯一的正整数k,使 k WxWk+1 于是当n>0时有：x” (% + ')”v：乂国当x->+«时,k-&g

10、t;2 有12、用左右极限与极限关系（适用于分段函数求分段点处的极限,以及用定义求极限 等情物。定理：函数极限!可/“）存在目.等于a的充分必要条件是“极限J可/“）及右极眼！可"刈都存在EL都等于A。即有：lim f(x) = /1<=> lim /(x)= lim f(x) =AKT.Y."TX；XTX：'-YQ，,xW 例：设/*）="一J', v x v '求 Hm f(x)及 lim f(x)Jxlim /(x) = limXf.=lim(Vx-')=XT J解：/ lim/(x)= lim('-%T)

11、 = -' X,jlj lim /(x) = lim /(x) = 一' TTa lim f(x)= 一'XT，又 lim /(.r) = limn -尸土 = lim (Vx -,Vx lim f(x) = lim aj =、 .f i*.由/('-,)工/('+).lim /(x)不存在13、罗比塔法则(适用于未定式极限) 定理：若(/) lim f(x) = 09 lim g(x) = 0(力)父在/的某空心邻域)(%)内可导，且g工0(沆)加么°=/(/可为实数，也可为±8或8),则i g (x)v f(x) f(x)lim=

12、 hm -=Af g(x) f g (x)此定理是对二型而再，对于函数极限的其它类型.均有类似的法则。*注：运用岁比塔法则求极取应注意以下儿点：0 81.要注意条件，也就是说,在没有化为不一时不可求导。(J 82、应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导致，而不是求整个分式的导数eI要及时化简极限符号后面的分式,在化要以后检杳是否仍是未定式,若遇到不 是未定式，应立即停止使用罗比塔法则.否则会引起错误。4、当lim/ 不存在时,本法则失效.但并不是说极限不存在.此时求极限须用 i g(X)另外方法.r </+(l + 2x)% =hm；i 2(1一/)(l+/)22 由 lim In x

13、 = 8, lim x“ = 8故此例属于：型.山罗比塔法则有: 8)f (x)4、当limj；" 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用 g (x)另外方法.例：求下列函数的极限®lim-"' lim (a>0,x>0) ln(l +x )- f解：令 f(x)二-一。+ 口)/，g(x)=1n(l+x2)/,。) =，-(' + 门)-/，g(x) = 7v 人f(x)=/+(、+U)-Zg”a)= t w0 + x )由于/() = /(,)= g(，)= g (,)= 但/，) = Lg，) = <从而

14、运用罗比塔法则两次后得到8-(1 + 2幻/ r 8一(l + 2x)& hm；= limf ln(l + x*)f 2x1 + x214、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公K比使用罗比塔法则更为方便，下列为 常用的展开式：1、XXeK = l+x + + + o(xn)2!n>= 1 + x + x2 +x"+o(x")1-x 上述展开式中的符号“X”)都有： .(Xx”) Inn= >KT WV f>一丁Anh sin x = x - - + + -+ o(xh)弋门 5d)!3、cosx = >- + 4-+Y!

15、63;!(%)!4、ln(> + x) = x- -+ + 厂士 + 心”) Tn5、。+ 工)=' + ov +x +工 +。(工)'!n伍】 Ja+UJa + x 、例：求 hm(a > )fx解:利用泰勒公式,当XT 有Jl +=1 + + o(x) 2工上，.Ja + 2x Ja + x十是lim7 x八(信-卮)15、利用拉格朗U中值定理定理：若函数满足如下条件：(I)在闭区间上连续(II)f在(a ,b)内可导则在(a ,b)内至少存在一点J,使得D a此式变形可为：( V。V')b-巫也=/U伏一)0 - Q例：求lim-f x-sinx就:令

16、/(x)=/对它应用中值定理得e' - fs,n' = f(x) - /(sin x) = (x-sin a)/ (sin x + 0(x-sinx)( <6 < ') U|Jr _ sinr=/ (sin x + 6(x - sin x)(<&) x-sinxI / (x) = /连续lim / (sin x + 3(x - sin x) = / (0) = 1 r->0从而有：lim-='f x - sinxlim :=016.求代数函数的极限方法 有理式的情况,即若:(a。工0也工0)R(x) = fU) = 3+。产+ 4

17、-Q(x) - 犷+X+ "当xt 8时，有二b. P(x) r an"+a,x*+乙lim= hm： = > m < ni Q(x) b,x" + b、x”- +8 m > n(H)当x-> 时有:府效=W2iQ(x) Q(xa)若。*0)=&而P(r)工，r P(x)则 ”nk; =i 0( X)若。(尤)=, P(x.)=,则分别考虑若/为P(x) = 的S重根，即：P(X)-(x-x.y P、(x)也为。=的 r 重根,即:Q(x)=(x-x.)rQ.(x)可得结论如下:, , s > rP(x) (x-x.yr p.

18、(x)P, (x.)lim = Inn= - , s :f。)i 0G)0、(x)8.g <例：求下列函数的极限lim(2x_3)R(3x + 2)“(2x +1)50X X + 丫 lim- "x -5 + 丫薪：分子，分母的最高次方相同，故limKTB(Yx-DS + T户4 P(x) = xr-x+ Y,. P(y)=.4 0(x) = /m.0(')=.7P(x),Q(x)必含有(x-1)之因子，即有1的重根故有：r+ < r (X-')'(X+Y).Inn= lim；：=lim-“-5 + r i (x -') (x + 3 +1

19、 x + U + 常(2)无理式的情况e虽然无理式情况不同于仃理式，但求极限方法完全类同.这里就 不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限，例：求 lim(Jx +Jx + 4 -4) T2解:踮lim(Jx + « -4x).x +V +Vx -x=hm，Jx +Jx +4 +4= lim / 5一二、多种方法的综合运用上述介绍了求豺极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们 在解收力要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计肆大为简化。“I 41 -COSX例：求 lim-；d x sink解法一:.1 -cosxInn；J，尸 sinx42xsinx=lim ,.1ff 2x , x，cos a " + 2xsin x sinx"=hm-；i)x cosx +sinxsin x=limr =-2 sinx 2cos x + ；尸注:此法采用罗比塔法则配合使用两个币;要极限法。解法二: '-cosx hm； f x snx) 2 2sin