求函数解析式的常用方法

1、求函数解析式的常用方法求函数的解析式不仅是最基本的题型，而且在求解的过程中还蕴含着一些思想方法和解题技巧。一、“拼凑变量”法将原复合函数解析式的右边拼凑了变量，然后看成整体替换成变量x ,从而得到f(x)的解析式。121_例1 已知f(x)=x + ,求f(x)的解析式. x x，一 ，1 ,解析：等式左边是关于 x-的函数，右边是关于 x的表达式，要想办法把右边的 x 1表达式拼凑成关于 x-的表达式即可。x解：Q f (x- 1) = x2 +2=系 1主+ 2 ,将x 1看成变量x , x x 秒 xx二 f(x)=x?+2。二、换元法解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，

2、从而使问题得到简化，这叫换元法。2例2若函数f(x)满足f(x1) = 2x+1,求f(x)的解析式。解析：学生思考函数的解析式表达的含义。设x -1 = t ,利用换元法，转化为求f (t)。利用整体思想把 x- 1看成一个整体，即可得到函数的解析式。注意 f(x)与f (t)是表示 同一个函数。解：令 x 1 =t ,则 x =t +1 ,二 f(t) =2(t +1)2 +1 = 2t2 +4t + 3,2即 f (x) =2x2 +4x+3。点评：已知f(g(x) = j (x),求f(x)的解析式，通常用换元法，其步骤是： 设 g(x)=t,确定t的取值范围；把t看成常数，解关于x的

3、方程g (x) = t得到x = h(t); 将*= h(t)代入j (x),得到函数f(t)的解析式； 再用x替换f(t)中的t得函数 f(x)的解析式。三、待定系数法我们在解决某些问题时，常用一些字母来表示需要确定的系数，然后根据一些条件 或要求来确定这些系数，从而解决问题，这样的思维方法叫待定系数法。例3已知实系数的一次函数f (x)满足f f (x) = 4x+ 3,求f (x)。解：设一次函数 f (x) = kx + b (k # 0),则2f f (x) = k(kx+ b) + b= k x+ kb+ b ,又 ff(x)=4x+3,k2 =4'k = 2 . '

4、;k = 2比较对应的系数，得或， ,b(k +1) =3、b=1b = -3故 f(x)的解析式为 f (x)= 2x+1或 f(x)= 2x- 3。点评：当已知函数的类型求其解析式时，常用此法。练习：已知f(x)是二次函数且f(x+1)+ f(x- 1)= 2x2- 4x+4,求f(x)的解 析式。解：由题意，设 f(x) = ax2 + bx+ c(a? 0),2 . ,，、,，、2 .,，、则 f (x+ 1)+ f (x- 1)= a(x+ 1) + b(x+ 1) + c+ a(x- 1) + b(x- 1)+ c_2=2x - 4x+ 4对x ? R恒成立，2a - 2a =1从

5、而有 2 2b = -4 ，二 «b = 2,， f(x) = x22x+1,2 a 2c =4c=1即所求函数的解析式为f (x) =x2 2x +1。四、方程法(消参法)若已知式中出现两个不同的变量的函数关系式时，常常采用“消参法”解决，即依据这两个变量的关系，重新产生一个关于这两个变量的不同等式，利用整体思想，把f(x)和另一个函数看成未知数，解方程组得f (x)的解析式，类似于解二元一次方程组，故称为方程法。_ 1_例4 已知2 f (x) + f ()= 3x ,求f (x)的解析式。 x_ 1 一 1 一解：将2 f (x)+ f () = 3x中的所有x换为一，得到 x

6、x一 _ 1 一 3一 1 一 一 一 12 f ()+ f(x)=，由联立消去 f (-),得 f (x)= 2x。xxxx五、赋值法(特殊值法)在求函数解析式时，有时候要“以退求进”，即把自变量赋予特殊值展现内在联系，或者减少变量个数，以利于求解。例5已知函数f(x),对任意的a,b? R满足f (a- b) = f (a)- b(2a- b+1),且f Q =1 ，求f (x)的解析式。解析：等式f (a- b)= f (a)- b(2a- b+ 1)中，含有两个未知量，令其中一个未知 量为某些特殊值，就可以使等式减少一个变量，从而达到求解的目的。解：由题意，令 a=0,则 f (a-

7、b)= f(a)- b(2a- b+ 1)为 f (- b)= f (0)- b(- b+ 1),即 f (- b) = b2- b+ 1,再令-b = x，得 f (x) = x2 + x+ 1。点评：此种方法用于抽象函数，减少变量时通常是令x= y或x = - y , 一般要先求出特殊值对应的函数值，如f(0)、f(1)和f (- 1)等。归纳拓展:1 .求函数的解析式，就是要清楚对接受法则的对象施予什么运算和建立 什么关系，并不在意接受法则的是哪一个字母或是怎样的式子。在进 行变形或变量代换的过程中，要注意取值范围的变化。2 .利用复合函数的式子求函数的解析式常有拼凑法、换元法、待定系数

8、 法、解方程组法等方法。课后练习：1,已知一次函数f(x)的图像经过点(-1,2)和(1,3),求f(x)的解析式。2 .已知二次函数的图像经过点(3,8),且顶点坐标为(-6,5),求解析式。23 .已知函数f (x)满足f (x+ 1) = x + 5x + 2 ,求f (x)的解析式。4 .已知函数f(x)为一次函数，且 ff(x)= 4x- 1 ,求f(x)。5 .已知函数f (2x+ 1)= 3x+ 2,且f (a)= 2 ,贝U a得值是()A.8B. 1C. 5 D. - 16 .已知 3f (x)+ f (- x) = 5x ,求 f (x)的解析式。7,函数y = f (x)的定义域为(0产)且对于定义域内的任意的x, y都有 f(xy)= f( + f( ,y且 f(2)= 1,则 f9%)的