2025优化设计一轮课时规范练48　数列中的增项、减项问题

课时规范练48数列中的增项、减项问题1.(2024·山东泰安模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,满足a1=b2=2,S5=30,b4+2是b3与b5的等差中项.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)从数列{an}中去掉数列{bn}的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn},设数列{cn}的前n项和为Tn,求T60.2.(2024·广东佛山模拟)已知数列{an}满足a13+a232+…+a(1)求{an}的通项公式;(2)在{an}相邻两项的中间插入这两项的等差中项,求所得新数列{bn}的前2n项和T2n.3.(2024·天津耀华中学模拟节选)设数列{an}的前n项和为Sn=(n-1)2n+1+2,n∈N*.(1)求{an}的通项公式;(2)若bn=ann,抽去数列{bn}中的第1项,第4项,第7项,…,第3n-2项,…,余下的项顺序不变,组成一个新数列{cn},若{cn}的前n项和为Tn,求证:当n为奇数时,1254.(2024·辽宁丹东模拟)Sn为数列{an}的前n项和,已知Sn=3-an-n2.(1)证明:an=3-2n;(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变,在ak与ak+1之间插入数列{(n+1)2n}的前k项,使它们和原数列的项构成一个新的数列a1,2×21,a2,2×21,3×22,a3,2×21,3×22,4×23,a4,…,求这个新数列的前50项和.

课时规范练48数列中的增项、减项问题1.解(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.∵a1=2,S5=10+5×42d=30,∴an=2+2(n-1)=2n.∵b4+2是b3与b5的等差中项,∴2(b4+2)=b3+b5.又b2=2,∴2(2q2+2)=2q+2q3,解得q=2,∴bn=2n-1.(2)∵a60=120,∴数列{an}的前60项中与数列{bn}的公共项共有6项,且最大公共项为b7=26=64.又a66=132,b8=27=128,∴T60=S67-(2+22+…+27)=134+67×662×2-2×(1-27)2.解(1)因为a13+a232+…+an所以当n≥2时,a13+a232①-②得an3n=n3−n-13=1又当n=1时,a13=13,所以a1=1也满足上式,故{an}的通项公式为an(2)设数列{cn}满足cn=an+an+12=记{an}的前n项和为Sn,{cn}的前n项和为Rn,则T2n=Rn+Sn.由等比数列的求和公式得Sn=1-3n1-3=12(3n-1),Rn=所以T2n=Rn+Sn=32(3n-1).即新数列{bn}的前2n项和T2n=32(3n-3.(1)解由Sn=(n-1)2n+1+2,得Sn-1=(n-2)2n+2(n≥2),两式相减得an=n·2n,n≥2.当n=1时,a1=2满足上式,所以an=n·2n.(2)证明由(1)知,bn=ann=2n,所以数列{cn}为22,23,25,26,28,29,它的奇数项组成以4为首项,8为公比的等比数列;偶数项组成以8为首项,8为公比的等比数列.∴当n为奇数,即n=2k-1(k∈N*)时,Tn=(c1+c3+…+c2k-1)+(c2+c4+…+c2k-2)=4(1-8kTn+1=Tn+cn+1=57×8k-127+23k=127∵5×8k-12≥28,∴1254.(1)证明由S1=3-a1-1,得a1=1.由Sn=3-an-n2,可知Sn+1=3-an+1-(n+1)2.两式相减得2an+1=an-2n-1,所以an+1+2n-1=12(an+2n-3)又a1-1=0,所以an+2n-3=0,因此an=3-2n.(2)解设数列{(n+1)2n}的前n项和为Tn,则Tn=2×21+3×22+…+(n+1)2n,2Tn=2×22+3×23+4×24+…+(n+1)2n+1.两式相减得Tn=(n+1)2n+1-4-(22+23+…+2n)=n2n+1.设ak+1是新数列的第N项,则N=1+2+…+(k+1)=(当k=8时,N=45<50,当k=9时,N=55>50.故这个新数列的前50项和中包含{an}的前9项、Tk(k=1,2,3,…,8)以及数列{(n+1)2n}的前5项.由(1)知Sn=n(2-n),所以这个新数列的前50项和为S9+(1×22+2×23