高一数学解三角形应用举例

1、一、复习一、复习1.正弦定理：正弦定理：2sinsinsinabcRABC（其中：（其中：R为为ABC的外接圆半径）的外接圆半径）3.正弦定理的变形：正弦定理的变形：222sin,sin,sinaRA bRB cRC222sin,sin,sinabcABCRRRsin:sin:sin:ABCa b c2.三角形面积公式：三角形面积公式：111222sinsinsinABCSbcAcaBabC一、复习一、复习222222222222coscoscosbcaAbccabBcaabcCab4.余弦定理及其推论：余弦定理及其推论：AB CABC5.在中，常见公式有：sin()sinABCcos()co

2、sABC 2222cosbacacB2222cosabcbcA2222coscababC已知条件已知条件定理选用定理选用一般解法一般解法二角和一边二角和一边( (如如a a, ,B B, ,C C) )正弦定理正弦定理由由A+B+CA+B+C=180=180求角求角A A, ,由正弦由正弦定理求出定理求出b b与与c c两边和夹角两边和夹角( (如如a a, ,b b, ,C C) )余弦定理余弦定理由余弦定理求出第三边由余弦定理求出第三边c c，再，再由正弦定理求出剩下的角由正弦定理求出剩下的角两边和其中两边和其中一边的对角一边的对角( (如如a a, ,b b, ,A A) )正弦定理正弦

3、定理余弦定理余弦定理由正弦定理求出角由正弦定理求出角B,B,再求角再求角C,C,最后求出最后求出c c边边. .可有两解可有两解, ,一解一解或无解或无解. .或用余弦定理解方程或用余弦定理解方程三边三边( (a a, ,b b, ,c c) ) 余弦定理余弦定理先由余弦定理求出其中两个先由余弦定理求出其中两个角角, ,再利用内角和为再利用内角和为180180求求出第三个角出第三个角. .解三角形的四种基本类型：解三角形的四种基本类型：:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在(1)测量距离.(2)测量高度.)3(测量角度ACB51o55m75o例例1、设、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之

4、间的距离。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出测出AC的距离是的距离是55cm，BAC51o， ACB75o，求，求A、B两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形sinsinABACCB解：根据正弦定理，得解：根据正弦定理，得sinsinABACACBABCsin55sinsinsin55sin7555sin7565.7( )sin(1805175 )sin54ACACBACBABABCABCm答：答：A,B两点间

5、的距离为两点间的距离为65.7米。米。ABCD例例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。测量两点间的距离的方法。分析：用例分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一的方法，可以计算出河的这一岸的一点点C到对岸两点的距离，再测出到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，的大小，借助于余弦定理可以计算出借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。两点间的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得，测得CD=a,并并且在且在C、D两点分别测得两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA

6、=.在在ADC和和BDC中，应用正弦定理得中，应用正弦定理得sin()sin()sin()sin 180()aaACsinsinsin()sin 180()aaBC计算出计算出AC和和BC后，再在后，再在ABC中，应用余弦定理计中，应用余弦定理计算出算出AB两点间的距离两点间的距离222cosABACBCACBC选定选定两个可到达点两个可到达点C C、D D； 测量测量C C、D D间的距离及间的距离及ACBACB、ACDACD、BDCBDC、ADBADB的大小；的大小；利用正弦定理求利用正弦定理求ACAC和和BCBC； 利用余弦定理求利用余弦定理求AB.AB.测量两个不可到达点之间的距离方案

7、：测量两个不可到达点之间的距离方案：形成规律形成规律课本课本P12P12测量方案测量方案基线基线练习练习1、一艘船以、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正的速度向正北航行。在北航行。在A处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东20o的的方向，方向，30min后航行到后航行到B处，在处，在B处看灯塔处看灯塔在船的北偏东在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？艘船可以继续沿正北方向航行吗？11545sin 2016.1sin 207.787()sin 45s

8、in 45,sin 657.06()6.5A SBSB ASA BSBn m ileSA BhhSBn m ilehn m ile 解 ： 在中 ， 由 正 弦 定 理 得设 点到 直 线的 距 离 为则此 船 可 以 继 续 沿 正 北 方 向 航 行答 ： 此 船 可 以 继 续 沿 正 北 方 向 航 行练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平

9、线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） 0260 （1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三角形？形？ 在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？CAB练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之

10、间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） 0260 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m， 夹角夹角CAB6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得22222 2cos 1.951.402 1.95 1.40 cos6620 3.57 1BCABACAB ACA 1.89(m)BC答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89m。 CAB实际问题实际问题抽象概括抽象概括示意图示意图数学模型

11、数学模型推理推理演算演算数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解还原说明还原说明解应用题的基本思路解应用题的基本思路小品1.2题组一例1，2测量垂直高度测量垂直高度 1 1、底部可以到达的、底部可以到达的 测量出角测量出角C C和和BCBC的长度，解直的长度，解直角三角形即可求出角三角形即可求出ABAB的长。的长。 .,. 3的方法物高度设计一种测量建筑为建筑物的最高点不可到达的一个建筑物是底部例ABABAB图中给出了怎样的一个图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，几何图形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想BEAGHDC2 2、底部不能到达的、底部不能到达的 sinsin()a

12、ACsinsinsinsin()aABAEhAChh解：选择一条水平基线解：选择一条水平基线HG,使使H,G,B三点在同一条直线上。由三点在同一条直线上。由在在H,G两点用测角仪器测得两点用测角仪器测得A的的仰角分别是仰角分别是，CD=a,测角仪测角仪器的高是器的高是h.那么，在那么，在 ACD中，中，根据正弦定理可得根据正弦定理可得例例3. AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法BEAGHDC例例3 AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑为

13、建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能直角三角形的知识，只要能测出一点测出一点C到建筑物的顶部到建筑物的顶部A的距离的距离CA,并测出由点并测出由点C观察观察A的仰角，就可以计算的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出法借助解三角形的知识测出CA的长的长。BEAGHDC,cossinsinsin()27.3cos501 sin54

14、40sin(54 40501)177( )Rt ABDBCBDABBADm解得CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度约为答：山的高度约为150米。米。sin(90)cossin()sin()BCBCAB 所 以 ，sin()sin(90)BCAB解：在解：在ABC中，中，BCA= 90 +, ABC= 90 -, BAC=-, BAD=.根据正弦定理，根据正弦定理，A AB BC CD D 004.,54 40,50 1.27.3 ,(1 ).BACABCmCDm例 如图 在山顶铁塔上 处测得地面上一点 的俯角在塔底处测得 处的俯角已知铁塔部分的高为求出山高精确到分析：根据

15、已知条件，应该设分析：根据已知条件，应该设法计算出法计算出AB或或AC的长的长A AB BC CD D 例例5.一辆汽车在一条水平的公路上向一辆汽车在一条水平的公路上向正西正西行驶，到行驶，到A处处时测得公路南侧远处一山顶时测得公路南侧远处一山顶D在在西偏北西偏北15o 的方向上，的方向上，行驶行驶5km后到达后到达B处，测得此山顶在处，测得此山顶在西偏北西偏北30o的方向上，的方向上，仰角仰角15o，求此山的高度，求此山的高度CD.A AD DC CB B3030o o1515o o1515o o例例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测

16、得处时测得公路南侧远处一山顶公路南侧远处一山顶D在东偏南在东偏南15的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到后到达达B处，测得此山顶在东偏南处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山，求此山的高度的高度CD.解：在解：在ABC中，中，A=15, C= 25 15=10.根据正弦定理，根据正弦定理，sinsinBCABACsin5sin157.4524().sinsin10ABABCkmCCD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度约为答：山的高度约为1047米。米。AQCPB a练习练习P15第第1题题ABCD 第第2题题练习练习P15ABCD3030o o

17、4545o o200m200m3030o o4545o oh h 第第3题题练习练习P15小品1.2题组二例2:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在.)3(测量角度0006.,7567.5,3254.0.,(0.1 ,0.01).AnmileBBnmileCACnmile例 如图 一艘海轮从 出发 沿北偏东的方向航行后到达海岛然后从 出发 沿北偏东的方向航行后到达海岛如果下次航行直接从 出发到达此船应该沿怎样的方向航行 需要航行多少距离 角度精确到距离精确到例例6 一艘海轮从一艘海轮从A出发，沿北偏东出发，沿北偏东75的方向航行的方向航行67.5n mile后到达海岛后到达海岛B,然后从然后从B出发，沿北偏东出发，沿北偏东32的方向航行的方向航行54.0n mile后到达海岛后到达海岛C.如果下次航行直接从如果下次航行直接从A出发到达出发到达C,此船应该此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1,距距离精确到离精确到0.01n mile）?解：在解：在 ABC中，中，ABC1807532137，根据余弦定理，根据余弦定理，15.113137cos0 .545 .6720 .545 .67cos222