线性代数试题及答案

1、综合测试题线性代数（经管类）综合试题一（课程代码4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内a11a2a132aii3aii 眦a1.设 D二a21a22a23=M # 0,则Di =2a213a21a22a23a31a32a332a313a31a32a33O错选、多选或未选均无分。()A.-2MC.-6M2.设 A、B、C为同阶方阵，若由AB =AC必能推出B = C,()A. A 丰 OB. A = OC.|A|= 0D. |A产 0()A.|A+AB|=0,|A|二0|E+ B|=0B.

2、(A+B)2=A2+2 AB + B2C.当 AB= O 时，有 A= O 或 B= OD.(AB)-1= B-1A-1d ,1A|=1 ,则 A-1=()d b A.c aB d b c a c a . ca b D.c d3.设A, B均为n阶方阵，则5 .设两个向量组L s与 L3则下列说法正确的是()A.若两向量组等价，则s = t .B.若两向量组等价，则r(Ls)= r( L t)C.若s = t ,则两向量组等价口.若(Ls)= r( L t),则两向量组等价6 .向量组 Ls线性相关的充分必要条件是().A. Ls 中至少有一个零向量B. Ls 中至少有两个向量对应分量成比例s

3、C. L s 中至少有一个向量可由其余向量线性表示sD. s可由 L 日线性表示7 . 设 向 量 组 1, 2,., m 有 两 个 极 大 无 关 组 i1, i2,., ir 与j1, j2,., js ，则下列成立的是() A. r 与 s 未必相等B. r + s = mC. r = sD. r + s > m8 .对方程组 Ax = b 与其导出组Ax = o ，下列命题正确的是()A. Ax = o 有解时，Ax = b 必有解.B. Ax = o 有无穷多解时， Ax = b 有无穷多解.C. Ax = b 无解时，Ax = o 也无解.D. Ax = b 有惟一解时，

4、Ax = o 只有零解 .2x1 x2 x3 09 .设方程组x2 kx3 0有非零解，则 k = ()x1 x20A. 2B. 3C. -1D. 1阶对称矩阵A正定的充分必要条件是().A. |A|>0B.存在n阶方阵C使A=CTCC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在 每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11 .四阶行列式D中第3列元素依次为-1 , 2, 0, 1 ,它们的余子式的值依次为5, 3, -7, 4,则D = .12 .若方阵A满足A2 = A,且A?E,则|A|=:1 一13 .若A为3阶万阵，且

5、|A| 2 ,则|2A|= 101214.设矩阵A 212 6的秩为2,则t =120.若矩阵人与8= 00三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.求行列式1x1111x1111 y1111111 y的值.2 32 4相似，则A的特征值为0 322.解矩阵方程:23.求向量组二(1, 1,2, 3),=(-1,-1, 1, 1 ),=(1, 3, 3,5 ）,=（4, -2, 5, 6 ）的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示2x1 x2x3x41取何值时，方程组X1 2x2X34x42有解并求其通解(要求x1 7x2 4x3 11x4 a用它的一个特解和

6、导出组的基础解系表示）20025.已知A121 ,求A的特征值及特征向量，并判断A101能否对角化，若能，求可逆矩阵 P,使P 1AP = A （对角形矩阵）.26.用配方法将下列二次型化为标准形:四、证明题（本大题共6分）27.设向量 1 (1, 1,1), 2 (1,1,1), 3 (0,0,1),证明向量组3是R3空间中的一个基.线性代数（经管类）综合试题二（课程代码4184 ）、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请将其代码填写在题后的括号内错选、多选或未选均无分。1.若三阶行().=0， 则A. 1B.C.-1D. -22.设A、B为n阶方阵，则（AB）1 2A2B2

7、成立的充要条件是().A. A可逆B. B可逆C. |A|=|B|D. AB=BA3.设A是n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则().A.C.|A|B.D.|A在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,().A. 2B. 1C. 0D.5.设3X4矩阵A的秩r（A）=1是齐次线性方程组Ax= o的三个线性无关的解向量则 方程组的基础 解系为).A.B.C.D.6 .向量 i (1,2, 3), 2 (2, 2, 2), 3 (3, 0, k)线性相关,则().A. k =-4 B. k = 4C. k =-3 D. k = 37 .设ui, U2是非齐次线性方程组Ax = b的两个解

8、，若GUi C2U2是 导 出 组 Ax = o 的 解， 则 有).A. ci+ C2 =1B.ci=C2C.ci+C2= 0D . ci=2 c28 .设A为n(n>2)阶方阵，且A2=E，则必有().B. A的秩等于nA. A的行列式等于iC. A的逆矩阵等于ED. A的特征值均为i2, i, i ,则A-1的特征值为9.设三阶矩阵().A. i, 2i0. 二().A.正定的A的特征值为B. 2, i, i次 型B.半正定的C. -, i D. L i, i22f (Xi,X2,X3)Xi2x2 3x3C.负定的D.不定的二、填空题（本大题共i0小题，每小题2分，共20分）请在

9、每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1 1 111.3 1 4=8 9 512 .设A为三阶方阵，且|A|=4 ,则|2A|=11011013 .设 A=002, b =022,则atb=00200314 .设 A= 1 18.已知实对称矩阵A=-2 21，则 A-1=.5215.向量 (1, 2, 5)表示为向量组 1 (1, 0, 0), 2 (0, 1, 0),3x116.如果方程组3x1X25x24x23 (0, 0, 1)的线性组合式为 X3 02x3 0有非零解，则k =kx3 017.设向量 (1, 0, 2)与(a,1,1)正交，则 a =1220320 ，写出矩阵A

10、对应的二次型f (x1,x2,x3)00相彳以，贝UA2=1019 .已知矩阵A与对角矩阵A= 010 020 .设实二次型f(x1,x3,x3,x4)的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为3,则其规范形为三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)x y y y21.计算行列式Dy x y y的值.y y x yy y y x1 01122.设矩阵A=1221 , B= 0 2 ,求矩阵 A-1B .23.设矩阵A12 3k12k3 ,求k的值，使A的秩r(A)分别等于k2 31, 2, 3.24.求向量组371341020的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线

11、性表示25.求线性方程组x1 2x2 2x3 3x42x1 3x2 x3 2x400的基础解系，并用基础解x1 3x2 5x3 7x40系表示其通解.1 1 126.已知矩阵A111,求正交矩阵 P和对角矩阵 A,使1 1 1P-1 AP =卜四、证明题（本大题共6分）27.设向量组1, 2,., s线性无关，证明：向量组1 , 12 , 123,., 12s也线性无关.线性代数（经管类）综合试题三（课程代码4184 ）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.当（）成立

12、时，n（n 2）阶行列式的值为零A.行列式主对角线上的元素全为零B.行列式中有吗）个元素等于零C.行列式至少有一个（n 1）阶子式为零D.行列式所有（n 1）阶子式全为零2 .已知A, B,C均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足 ABC=E, 则 下 列 结 论 必 然 成 立 的 是 （）.A. ACB=EB. BCA=EC. CBA=ED. BAC=E3 .设A, B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）.A. (AB)-1 = A-1B-1C. (AB )T=ATBT4.下列矩阵不是初等矩阵的是B. (A+B)-1 = A-1 + B-1D. I(AB)1|().01101010A. 1

13、 0 B. 0 1 C. 0 2 D. 2 15.设 1, 2 ,., 6是 4 维向量组，则 1, 2,., 6().A. 线性无关B.至少有两个向量成比例C.只有一个向量能由其余向量线性表示D.至少有两个向量可由其余向量线性表示6 .设A为m Xn矩阵，且m<n,则齐次线性方程组Ax = o必 ().A.无解 B.只有唯一零解C.有非零解D.不能确定7 .已知4 元线性方程组 Ax= b 的系数矩阵A 的秩为 3，又i (1,2,3,4)T, 2 (2,3,4,5)T 是 Ax = b 的两个解，则 Ax = b 的通解是 ().A. (1,2,3,4)T k(2,3,4,5)TB.

14、(2,3,4,5)Tk(1,2,3,4) TC.(1,1,1,1)Tk(1,2,3,4)TD. (1,2,3,4) Tk(1,1,1,1)T8 .如果矩阵A与B满足()，则矩阵A与B相似.A. 有相同的行列式8 .有相同的特征多项式C.有相同的秩D.有相同的特征值，且这些特征值各不相同9 .设A是n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充要条件是().A. |A|>0B. A的每一个元素都大于零C.r A nD. A的正惯性指数为n10.设A, B为同阶方阵,且 r(A) = r(B),则().A. A与B相似B. A与B合同C. A 与 B 等价D.|A|二|B|二、填空题（本大题共10小题，

15、每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分11 .行列式1111202212 .设A为三阶矩阵,3 43 4 .0 43 0|A|=-2 ,将矩阵A按列分块为A (Ai, A2, A3),其中 Aj (j 1,2,3)是 A 的第 j 列，B (A3 2Ai, 3A2, Ai),则|B|=:1 01113 .已知矩阵方程AX = B，其中A= 2 1 , B= 1 0 ，则X=.14 .已知向量组 1(k,1,1), 2 (1, k , 1), 3 (1,1, k)的秩为2,则 k =.15 .向量(1,2, 1,3)的长度 | |=.16 .向量 (2, 1,3)

16、在基 1 (1,1,1), 2 (1,1,0), 3 (1,0,0)下的坐标为.17 .设1, 2, 3是4元齐次线性方程组Ax = o的基础解系，则矩阵A的秩r(A尸.18.设 0是三阶矩阵A101020的特征值，则a10a19.若 f （x,x2,x3） X 2x2次型，则满足.x2 2x1x2 4x1 x3 6x2x3 是正定二20.设三阶矩阵A的特征值为1,2,3,矩阵B=A2+2A,则三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)3 021.设三阶矩阵A=111200 , E为三阶单位矩阵.3求：（1）矩阵 A-2E 及|A-2E|;（A 2E）22.已知向量组 1 (1,2,2

17、), 2 (2,4,4), 3 (1,0,3), 4 (0,4, 2)求：(1)向量组的秩；(2)向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.X1 2x22x3 2x423.讨论a为何值时，线性方程组X1Xx2x2x2x3x3x3x43x45x41有解当 a方程组有解时，求出方程组的通解24.已知向量组(1,1,2), 2(2,a, 4), 3(1,1,a),讨论该向量组的线性相关性.1 1 025.已知矩阵A=4 3 0,1 0 2(1)求矩阵A的特征值与特征向量；(2)判断A可否与对角矩阵相似，若可以，求一可逆矩阵P及相应 的对角形矩阵A.26.设二次型 f(x),

18、x2,x3) x12 4x1x2 4x1x3 2x； 4x2x3 x2(1)将二次型化为标准形；(2)求二次型的秩和正惯性指数.四、证明题(本大题共6分)27.已知A是n阶方阵，且(A E)2 。，证明矩阵A可逆，并 求A 1.线性代数(经管类)综合试题四(课程代码4184 )一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 251 .三阶行歹！J 式 1 32 0, 则 a =2 5a().A. 2B. 3C. 2D. -32. 设 A ， B 均 为 n 阶 非 零 方 阵

19、， 下 列 选 项 正 确 的 是().A. (A+ B)(A-B) = A2-B2B. (AB)-1 = B-1A-1C. 若 AB= O, 则 A=O 或 B=OD. |AB| = | A| |B|113. 设 A01 11， B01，AB-BA=12().1 A.012 B.01C.1212 D.014. 设矩阵 A1122 2 t 的秩为 2， 则().336A. t 4=-4 C. t是任意实数D.以上都不对5.设向量( 1,0,1,2),(1,0,1,0)， 则23().A.(1, 0, 5, 4 )B.(1, 0, -5, 4)C.(-1, 0, 5, 4)D.(1, 0, 5,

20、 -6)6 .向量组 1 (1, 1,1), 2 (2, k,0), 3 (1,2,0)线性相关,则().A. k =-4B. k = 4 C. k = 3 D. k = 27 .设ui, U2是非齐次线性方程组 Ax = b的两个解，若ciui+c2U2 也 是 方 程 组 Ax = b 的 解 ， 则 ().A. c1 + c2 =1 B. c1 = c2 C. c1 + c2 = 0 D. c1 =8 .设m Xn矩阵a的秩r（A） = n-3（ n>3）,是齐次线性方程组Ax = o的三个线性无关的解向量，则方程组 Ax=o的基础解系 为（）.A. , ,B.,C. ,D. ,9

21、.设三阶矩阵A的特征值为1 , 1,2,则2A+ E的特征值为（）.A. 3,5B. 1 , 2,1,2 D. 3,3,5阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是（）.A.|a 0B.存在n阶矩阵P,使得A= PTPC.负惯性指数为0D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在 每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。a 1 b11 . 1 0 2 :0 2 013.设矩阵A14.设 (1,0,2),（2,1,0）,则内积（，）二12 .设A为三阶方阵，且|A|=2 , A*是其伴随矩阵，则|2A*|15 .若向量3不能由1, 2线性表示，且r（ 1,

22、 2）=2 ,则r( i, 2, 3)=.x1 2x23x416.设线性方程组2x1 5x2 2x3 4x4Xi 3x2 2x3x434有解，则t17 .方程组xi 2X2 3x3 4x4 。的基础解系含有解向量的个数是.18 .设二阶矩阵A与B相似，A的特征值为-1，2，则 旧尸.10219 .设二次型的矩阵A021，则二次型211“七冬冬）.20 .用正交变换将二次型f（x=x2,x3）xT Ax化为标准形为 y2 5y2 y ,则矩阵A的最小特征值为 .三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）xy0.000xy.0021.计算n阶行列式D00x.00.000.xyy00.0x1

23、101122 .解矩阵方程：121X200213123.验证i(1,1, 1), 2(0,2,1), 3（1,1,1）是R3的一个基，并求向量 （1,3, 2）在此基下的坐标.24.设向量组1, 2, 3线性无关，令113,2222 3,3215233,试确定向量组1, 2, 3的线性相关性.25.求线性方程组x1 x2 3x3 x403x1 X2 3x3 5x4 0 的基础解系，并表示x1 5x2 27x3 17x4 0其通解.26.求矩阵A1 11的特征值和全部特征向量四、证明题（本大题共6分）27.设1, 2, 3是三维向量组，证明：1, 2, 3线性无关的充分必要条件是任一三维向量都可

24、由它线性表示线性代数（经管类）综合试题五（课程代码4184 ）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。k 11().1 .行列式1 k 1 0,则k =211必要条件是A. 1B. 4C. -1 或 42.设A,B,C均为n阶非零方阵，下列选项正确的是A.若 AB= AC,则 B=CC. ABC= BCA3.设A, B均为A. A= EAB = BAD. -1().B. (A-C)2 = A2-2AC+C2D. |ABC| = | A| |B| |C|n阶方阵，则等式(A+

25、B)(A-B) = A2-B2成立的充).B.B=OC. A=BD.a11a12a13a11a124. 若 P a21a22a232a212a22a31a32a33a31a32a33010100001a132a23则初等矩阵P= ().A.B.C.D.5. 设向量1, 1,2,3),(1,0,1,0) ,则 3).A. (-1, 3, 8, 9 )B. (1, 3,8, 9)C. (-1, 0, 8, 6) D. (-1, 3, 9, 8)6. 下列结论正确的是().A.若存在一组数ki, k2,km,使得 k1 1 k2 2km m o 成立，则向量组1, 2，m线性相关.B.当 kl =

26、k2 = * = km=0 时，ki 1 k2 2 km m o ,则向量 组 1, 2 ,., m 线性无关 .C.若向量1, 2,3线性相关，则1,2,3,4线性相关.D.若向量1, 2,3线性无关，则1,2,3,4线性无关.7. 设 u1, u2 是非齐次线性方程组Ax = b 的两个解，若c1u1+c2u2是 其 导 出 组 Ax = o 的 解 ， 则().A. c1+c2= 0 B. c1 =c2C.c1= 2c2D. c1 +c2=18. 线 性 方 程 组 Ax=o 只 有 零 解 的 充 分 必 要 条 件 是().A. A 的行向量组线性无关B. A 的行向量组线性相关C.

27、 A 的列向量组线性无关D. A 的列向量组线性相关239.设 A ，则 A2 的特征值为 ().02A. 122B. 122C. 124D. 12410.设二次型f (X1,X2,X3,X4)的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为 3， 则二次型的规范形为().2222B. y1 y2 y3 y42222D. y1y2 y3 y42222A. y1y2y3y4222C. y1y2y3二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在 每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。I 22II .行列式333 .54412 .设A为三阶方阵，|A|=2 ,则|2A-1| = .、口

28、01 3131 r13 .设 A,B，则 2A+B =20 532 2、一 1 22 114 .设 A,B,则(AB)-1 =0 11 115 .向量(2, 1, 3)的单位化向量为 .16 .设向量组1, 2,., m的两个极大无关组分别是i1, i2,., ir和 j1, j2，jt , r和t的关系是.11117.设向量组0,1,2的秩为2,则t = .2 4t18 .设向量(1, 2,2,0)与 (k,1,0, 2)正交，则 k =.19 .已知二次型 f(x) x12 6x22 4x32 4x1x2 4x1x3 8x2x3，写出 二次型f的矩阵A=.20 .设三阶实对称矩阵的特征值为

29、3,3,0，则A的秩 r(A)=.三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)21 .计算行列式D101101111110122 .已知矩阵A= 203 01 0 ,且 A + X=XA,求 X.0 2121123.设 A= 3 2a5 631 ,已知r（A）=2，求a, b的值. bx1x2a124.已知线性方程组X2X3 a?, (1)问常数a1, a2, a3满足什么X3 X1a3条件时，方程组有解（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解（用它的 一个特解和导出组的基础解系表示）.1 025.设实对称矩阵A= 0 11 111 ,求正交矩阵Q,使得Q-1AQ= A2其中，A是对角矩阵

30、.26.设二次型 f（x）,x2,x3） x2 2x22 5x2 2axix2 2x2x3是正定二次型，求a的取值范围.四、证明题（本大题共6分）27.设向量组1, 2,., m线性无关，1可由1, 2,., m线性表示，而 2不能由1, 2,., m线性表示.证明：向量组1, 2,., m, 12线性无关.综合测试答案综合试题一参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）题号12345678910答案BDABBCCDDD11.-15 ;12. 0;13.4;17.(1, 1,2) ;18. 1 , 1, 4;14. t= -3 ;15. 0 ;16. n-r;22019.

31、2 31 ；, 2, 3.011三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.解:1x11111x1111 1 y 11111 y1 x 111x x 00111 y 100 y y二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1 x 1001100001 y 10011121, B= 3161122.解：令 A=2 111110 010 1010 0 111因为(AE尸 2 11112121313131612所以12121313131612由 AX= B,得:X=A-1B=1212131313161223.解:将已知向量按列构成矩阵,并对其进行行变换:100010101212

32、463610001100111043301000010000107030所以，(3,4) =3,极大无关组为3；13 3.24.解:对方程组的增广矩阵施以初等行变换:1411若方程组有解,r(A)r(A),故 a=5.当a=5时，继续施以初等行变换得:55 53 7 3 一、一，、.3 7 3,原方程组的同解方程组为:5 5 5人 46 一 5 7 - 5X3X341 - 5 3 - 54 - 5 3 - 5为X200 0X3,X4为自由未知量，令X3=X4=0，得原方程组的一个特解:35 .00与导出组同解的方程组为:XiX216X3X451 * 3 * 5 ,X3，X4为自由未知37

33、63;X3X455量，令X3分别取1 , 0 ,得到导出组的基础解系: x40 1453v -50015351065C27 ,其中，Cl , C2为任意常数.50125.解：矩阵A的特征多项式为:I E A|200121(2)2(1),101所以，A的特征值为：1 2 2, 3 1.对于12 2,求齐次线性方程组(2E A)x o的基础解系,0 0 02E A 1 0 11 0 11 0 10 1000,得基础解系：1,0 ，从而0 0 00 1矩阵A的对应于特征值12 2的全部特征向量为:对于3 1,求齐次线性方程组(E A)x o的基础解系,1000011,得基础解系：1,从而矩阵0001

34、0A的对应于特征值3 1的全部特征向量为：c 1 (c 0).1因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量所以，A相似于对角矩阵，且P26.解：f(Xi,X2,X3)x2 2x22X34x1x24x1X34x2X3=X24X1( X2X3)4(X2X3)24(X2X3)+ 2x2X34x2X3=(Xi2x22X3)22x24X2X35X3=(Xi2x22X3)22(X22X2X3X3)3X2=(Xi2x22X3)22(X2、22X3 )3X3 .VlX1令 V2X22x22x3X3X1即X2yi2 y2y2y3 ，y3X3X3V3得二次型的标准形为:2Vi2y223y32.四、证明题（本题6分）2

35、7.证：因为2 0,所以3线性无关（方法多样），所以向量组3是R3空间中的一个基.综合试题二参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）题号12345678910答案CDABDCBBDA二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11 011.512. 3213.11004 1015.18.16 . -1f (X1，X2，X3)2X12x2 3x2x1x23x1x319. E222220. Vi V2 V3 V4二、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）3y21 .解:原式=3y3y3y(x3y)v v vx V VV x VV V x22 .解：方法143

36、 1得：A 153 1641所以，A 1B431115310 2641 2 129310413方法211 0|A|= 1211223314 331 , A 1 A*= 5 3| A|4 164所以，A 1B431115310 2641 2 129310413方法 3 (AB)110111210222 32111011011130 01 4 1329A 1B 31041323 解：对矩阵A 施行初等变换：120 2k 2003k3k 36 3k 3k2120k1003kk1(k 2)(k 1)123k=1 时， A0 0 0 ，矩阵 A 的秩r(A)=1 ；000126k= -2 时， A033

37、 ，矩阵 A 的秩r(A)=2 ；000当k?l且k”2时，A12 3k0 11 ，矩阵 A 的秩r(A)=3.00124 解：将所给列向量构成矩阵A,然后实施初等行变换:( 1 2 3 4)111212341 3 7 101 4 13 20111201 2202680 3 12 1811120 12 20 0 2 40 0 1211120 12 20 0 120 0 0 010 020 1020 0 120 0 00所以，向量组的秩r( 1, 2, 3, 4)3,向量组的一个极大无关组为:1, 2, 3,且有2 12 22 3二矩阵)作初等行变换：X3块4,其中x3, X4为自由未 (3 4

38、x44534。，v2.1 1200154，一一C2. (C1 , C2为任意常数)012(3),25.解：对方程组的系数矩阵(或增与原方程组同解的方程组为：x1 2x23知量.x310令分别取n,得基础解系：x401将此线性无关的特征向量正交化，得:11211 , 21再标准化，得：111,2J6_1_12 , 276022<6对于3 3解方程组（3E A）x o.1010 11 ,方程组的基础解系为30 0 01731将其单位化，得：3 力1、3令 P=( 1, 2, 3)1、万1, 201_16J31_16J321J6、3 则P是正交矩阵，且P-1AP=A.四、证明题（本大题共6分）

39、27.证:令k1 1k2 (12 ) k3( 123)ks( 12s)0 ,整理得:因为1, 2，s线性无关，所以k1k2.ks iks0sk2 k3 .ks 0，解得:ksi ks 0ks 0k10k20ksi 0ks0故 1, 12, 123,., 1s线性无关.综合试题三参考答案、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）题号12345678910答案DBDBDCDDDC10小题，每小题2分，共20分）二、填空题（本大题共13.15. .1516.(3,-4,3)三、计算题(本大题共21.解:(1) A-2E=| A-2E |= -1 ;10 0 10Q 110 0 11210

40、 019.56小题，每小题9分，300200110020123002010 010010110 211共54分)10 011 012110 0(A 2E)2201100000011 012122.解：(1)将所给向量按列构成矩阵A,然后实施初等行变换:12 102 4 0 42 4 32121012000240010 0120 0 0所以，向量组的秩r( 1, 2, 3, 4)2；(2)向量组的一个极大无关组为:且有2 21,42 12 3.23.解:对方程组的增广矩阵实施初等行变换:1 0 0400 11110 0 00 a 10 0 00022110 a 100若方程组有解，则r(A) r

41、(A) 2,从而a=1.当a=1时，原方程组的通解方程组为:x14X4 , X3,X4为自由未知量.X2 1 x3 X4令X3 X4 0 ,得原方程组的一个特解：(0, 1, 0, 0) T.导出组的同解方程组为：X14X4 , X3,X4为自由未知量.X2 X3 X4Xc10令3分别取 ,得导出组的基础解系：(0, 1, 1, 0) T, (-4, 1, 0,X4011)T.所以，方程组的通解为：(0, 1, 0, 0)T+C1(0, 1, 1,0)T+C2(-4, 1, 0, 1) T,其中，C1, C2为任意常数.12124.解：因为1 a 12 4a1210 a 22 (a 2)(a

42、6).08 a 2当a=2或a=-6时，向量组相性相关;当a?2且a”6时，向量组线性无关25 .解：矩阵A的特征多项式为:1I E A| 411030(2)(1)2,02所以，A的特征值为：12 1, 3 2.对于12 1,求齐次线性方程组(E A)x o的基础解系,210E A 4201011 0 110 12,得基础解系：2 ,从而矩0 0 011阵A的对应于特征值12 1的全部特征向量为：c 2 , (c? 0).1对于32,求齐次线性方程组(2E A)x o的基础解系,31 02E A 41 010 010 000 10,得基础解系：0 ,从而矩阵0 0 010A的对应于特征值3 2

43、的全部特征向量为：c 0 (c 0).1因为三阶矩阵A只有两个线性无关的特征向量，所以， A不能相似于对角矩阵.二 (X1 X2 X3)2/2 L 2(x2x3)5x3 .26 .解：(1)利用配方法，将二次型化为标准形:ViXX2X3%,y2令V2X2X3,即X2V2V3 ,y3X3X3y3得二次型的标准形为：V12 V22 5y32.(2)由上述标准形知：二次型的秩为 3,正惯性指数为2.四、证明题(本大题共6分)27 .证：由(A E)2 O,得：A2+2 A= - E,从而A(A +2 E尸-E, A(-A -2 E尸 E所以A可逆，且A1 A 2E.综合试题四参考答案、单项选择题(本

44、大题共10小题，每小题2分，共20分)题号12345678910答案BDDAABACDD二、填空题（本大题共10小题,每小题2分，共20分）11.2 b-4 a;12. 320023；14. 2;15. 3；16.1；17. 3 ;18.-2 ;219. X2x22x3 4x1 x32x2x3 ；20.-1三、计算题（本大题共6小题，每小题9分,54分）21.解:按第一列展开,得:原式二x1)n 122.解:方法所以,故，X解法2(1)nA 1B =1,0*A 12所以，XA 1B =23.解:因为0,所以1,3是R3的一个基;得：k1k1 1k2k3对此方程组的增广矩阵施以初等行变换:322，5221k22,k3所以,24 .解：令 k1 1k22k3 3k"13)k2(2 22 3)k3(2 1整理得：（k1 2k3) 1(2k25k3)2 (k12k23k3) 3 o.因为3线性无关,所以k12 k302k2 5k3 0k1 2k2 3k3 0，而此方程组有非零解，所以向量组3线性相关.25.解：对系数矩阵施行初等行变换:10330 164,0 000原方程组的同解方程组为:量.x13X3 3X4 ,其中X3, X4为自由未知X2 6x3 4x