2020年高考数学一轮复习单元能力测试卷9

1、第九章单元能力测试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.）2 2x y1 .若曲线m4+9= 1 的一条准线方程为x= 10,则m的值为（）A. 8 或 86B. 6 或 56C. 5 或 56D. 6 或 86答案 D2 2解析 由准线是X= 10 及方程形式知曲线是焦点在x轴上的椭圆，所以a=僻 4,b= 9,2 2x y2 .已知椭圆孑+b= 1(ab0)的面积为S=abn， 现有一个椭圆， 其中心在坐标原点,个焦点坐标为（4,0），且长轴长与短轴长的差为2,则该椭圆的面积为（）1715255所以S=abn= X n=4n.123 .过抛物线y= 4X2准线上

2、任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M N,则直线MN过定点()A. (0,1)B. (1,0)C. (0， 1)D. ( 1,0)答案 A1212解析 特殊值法，取准线上一点(0， 1).设MX1,：X1),N(X2, ;X2)，则过M N的切44121 12122线方程分别为y 4x1= 2x1(xX ,y 4x2= 2x2(xX2).将(0， 1)代入得X1=X2= 4, 则c=nv5,于是=10,解得 m= 6 或 86.vm49, m5,均符合题意.A. 15nC. 3n答案 D2 . 2 2 ,2ab=c= 4 , 解析由题意得2a 2b= 2,15B.二n4D.2554na+b

3、= 16,则ab=1,得到152.17b=MN勺方程为y= 1,恒过（0,1）点.2 24.设双曲线 16X 9y= 144 的右焦点为F2,M是双曲线上任意一点，点A的坐标为（9,2）,则|MA+ 3|MF|的最小值为（）A. 9B.36542C.了54亏答案B解析2 2双曲线标准方程为 916_=1,离心率为5，运用第二定义，将3|MF|转化为M到右35准线的距离.5 .抛物线y=ax2（av0）的焦点坐标是（）a1A.（0,4）B.（0,4a）1aC（0， 4a）D（0， R答案 C21解析 因为av0,所以方程可化为x=y,a一 1所以焦点坐标为（0 ,）.故选 C.4a26 设F1、

4、F2分别是双曲线X2鲁=1 的左、右焦点若点P在双曲线上，且PFPF2= 0,则|PF+PF2| 等于（）A. 10B. 2 10C. 5D. 2 5答案 B解析F1（ 10, 0） ,F2（10, 0） , 2c= 2 10, 2a= 2./PF Pfc=0,A|PF|2+1PF2|2= |FFI2=4C2=40（PF+PF2） =|PF| + |PF+ 2PF PR= 40,. |PF+PF=弭 10.2 2 2 2xyx y7 .已知椭圆 +2= 1（ab0）与双曲线 2= 1（m0,n0）有相同的焦点（一C,0）和a bm n（C,0）.若C是a与m的等比中项，n2是mi与C2的等差中

5、项，则椭圆的离心率等于（）1代 3B.C.2D.答案 B2 222222解析T c=am2n=c+m,又n=cm,.2123.2：?-：3C t.；3 m=，即m=c. c=_ ac,贝y e= = _ .333a32 28.设双曲线以椭圆 粘+y=1 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线259的渐近线的斜率为（）A. 2B.C.3D土 4答案 C2 2x V解析 椭圆 25+ 9 = 1 中，a= 5,c= 4.2 2设双曲线方程为 字b2= 1（a0,b0）.2所以c= 5,a= 4.所以a2= 20,b2=c2a2= 5.所以双曲线方程为c2x20所以其渐近线方程为所以其斜

6、率为土12.解决此题关键是分清椭圆与双曲线中的a, b,c关系，这也是极易混淆之处.2 2x V9 .已知椭圆$ + 4 = 1 的两个焦点为 R、Fa,M是椭圆上一点，且|MF| |MF| = 1 ,则厶MFF2是（）A.锐角三角形C.直角三角形B.钝角三角形D.等边三角形答案 C解析2 2由扌 +y= 1 知a= 2,b= 3,1c= 1,e=-.则|MF| + |MF= 4,又|MF| |MF| = 1.53 |MF| = , |MF| = ，又 |F1F2I = 2. -1MF|F1F2|MF| ,2 22-=0,/MFFi=90.即厶MFF2是直角三角形.10.已知双曲线2孑一b2=

7、 1(a0,b0)的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点AOAF2的面积为 2(O为原点)，则两条渐近线的夹角为A.30B. 45C.60D. 90答案解析由y=Px和x=C得f,ab),acc c1 -辿-c= lab2c2,又SA=2，.a=b,.其夹角为 90.11.已知两点M 3,0) , N3,0),点P为坐标平面内一动点，且|尬N-I尬P+MINNP=0,则动点P(x,y)到点A( 3,0)的距离的最小值为()A. 2B. 3C. 4D. 6答案 B解析 因为M 3,0) , N3,0)，所以MN=(6,0) , |MN= 6,祈茎(x+ 3,y),辰(x 3,y).由 | MtN

8、I MP+MN-辰 0 得6 ；x+ 32+y2+ 6(x 3) = 0,化简整理得 以点A是抛物线y2= 12x的焦点，所以点P到A的距离的最小值就是原点到y2=- 12x,所A 3,0)的距离，所以d= 3. .2. .12.如图，过抛物线x= 4py(p0)焦点的直线依次交抛物线与圆2 2 2 . . _x+ (yp) =p于点A、B C D,则XB- 6D的值是()A. 8p2C. 2p2D. p2cos /MFF1=|MF+|F冋-|MF|2|MF|F1F2I答案 D解析 | | 鬲鬲= | |AFp=yA, | |CD= | |DRp=y,| |AB| | ) )StD=yAyo=

9、p2. .因为XB,&的方 向相同，所以AB-CD=|AE| CD=yAyD=p.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上）13._ 已知正方形ABCD则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 _. 答案 2 1解析令AB=2,则AC= 2 2,椭圆中c= 1,2a= 2+ 2 2?a= 1+ 2,c1f-可得e=-= 2 1.a 谑 + 1v命题思路本题考查椭圆概念和基本量的关系.2 214.若焦点在x轴上的椭圆 冷+ = 1 上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，则b45b的取值范围是_.答案宁wbb2?a2b2b2?b20 且k

10、0 且k= |AB|时表示一条射线；当k0 且k|AB时，不表示任何图形；当k0)被直线y= 2x 4 截得的弦AB长为 3 .5.(1) 求抛物线的方程；(2) 设直线AB上有一点Q使得A Q B到抛物线的准线的距离成等差数列，求Q点坐标.解析将y= 2x 4 代入y2= 2px得(2x 4) = 2px,即即 2x (8 +p)x+ 8= 0.设A(X1,yj,B(X2,y2)，贝V8 +pX1+X2= ,X1X2= 4.所以 |AB= .1 + 228；p 2 4X4 = 3 5.所以p= 2.所以抛物线的方程为y2= 4x.(2)当x 1 时，设Qx,y)，因为抛物线的准线为x= 1.

11、所以由题意得 2(x+ 1) =(X1+ 1) + (X2+ 1).口口X1+X25 才、即x=2，所以y=2x 4= 1.一 5即Q点坐标为(2，1).当xb0,且 33首=2.得a2= 4,b2= 1,.曲线C的方程为22yx+ 4 = l(x0,y0).y= 2 1 x2(0 x1) ,y2x设P(xo,yo)，因P在C上，有 OXo1,y2).M的轨迹方程为(2) |0M2=x2+y2,24.4y= 4+2,1x 1 1 2=x2 1 + -2 + 5 4+ 5=x 19,且当x2 1=，即x= ,31 时，上式取等号1故|0M的最小值为 3.19.(本小题满分 12 分)已知点A(3

12、,o)，点B在x轴上，点M在直线=0,动点C满足lC=3BCx= 1 上移动，且1MA IB(1)求C点的轨迹D的方程；设直线l:y=k(x 1)与曲线D有两个不同的交点E,F,点 Ro,1)，当/EPF为锐角时，求k的取值范围.解析设M1 ,yo) ,C(x,y),B(b,0)./ MG3BC又MAMB=0,|MA=(2, -yo),ME=(b-1, -yo),2 2(b- 1) +yo= 0.21由得y2= 3(1 x)，这就是C点的轨迹D的方程.21I:y=k(x 1)代入y= 3(1 x)得2 2 2 23k x+ (1 6k)x+ 3k- 1 = 0,3k2一 11解得X1= 1,X

13、2= 3k?，贝uyi= 0,y2=-祁3k一 11设E(1,0)，贝 VF(3k2，一弭),2MM3k-11PE=(1，一1),PF=(3k2，一 3k一1).当PF=入西寸，有k=- 1，应舍去.一 1 1故k的取值范围为(一汽一 1)u( 1, - 2)u(3，+).20.(本小题满分 12 分)如右图所示，等腰三角形ABC的底边BC的两端点是椭圆E：解析因为/ABC=60,且厶ABC为等腰三角形，所以ABC是正三角形.又因为点B,C是椭圆的两焦点，设椭圆焦距为2c,1+ 2x1 + 2，yo+ 2y 0= 1 + 2 .当/EPF为锐角时,PE-PF=3k2- 13k21 1 1 卜(

14、3k+ 1)0，解得k31(ab0)的两焦点, 且AB的中点D在椭圆E上.(1)若/ABC=60|AB= 4,试求椭圆E的方程;设椭圆离心率为e,求 cos /ABC2x2+a则 2c= |BC| = |AB= 4,如右图所示，连结CD由AB中点D在椭圆上，得(1)求双曲线C的方程；求证：F1M- F2N是定值.a24解析(1)由已知，c= 3, = 3,c3所以a= 2,b2=c2a2= 5.2 2所以所求双曲线C的方程为y= 1.452a=丨丨BD+1CD= 1AB+ 三 1AB所以a= 1 +、3,从而a2= 4+ 2 _：3b2=a2c2= 2 .3,2 2故所求椭圆E的方程为x+丿一

15、=1.4+ 2 心 2书设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,且 |AD TDB=m连结CD则|BQ= IOC=c, |DC= 2amc在 Rt AOB中 cos /AB(=. 2m在厶BCD中，由余弦定理，得2c2+m2am2cos/ABC=2X2c5.由式得 2m=至二三，代入式得acos /ABC=2严2= e-2.2ac2 -21.(本小题满分 12 分)如右图所示,Fi( 3,0) ,F2(3,0)是双曲线C的两焦点，直线x4=3 是双曲线C的右准线，A,A是双曲线C的两个顶点，点P是双曲线C右支上异于A的一个动设P的坐标为(xo,yo),M N的纵坐标分别为*y，因为

16、 A( 2,0) , A(2,0),_歩_歩10_歩2所以AP= (Xo+ 2,yo) ,AP=(Xo 2,yo),AiM= (,yi),AN=( 3,y2).因为AiP与AM共线,0所以(Xo+ 2)yi= -3-yo,2yo同理，y2=m因为FiM=(,屮),TN=( 3,y2).io.2 2X y22.(本小题满分i2 分)已知椭圆-+2= i(abo)的两个焦点分别为Fi( c,o)和aD2F2(c,o)(co)，过点E(C, o)的直线与椭圆相交于A,B两点，且FA/ F2B, |FiA| = 2|RB|.c(I)求椭圆的离心率；(n)求直线AB的斜率;(川)设点C与点A关于坐标原点

17、对称，直线F2B上有一点Hm圆上，求m的值.|EF2I |F2BI i解析 (I)由FiA/F2B且|FiA| = 2|F2B，得= FAp = 2整理，得a2= 3c2.故离心率e=c=a3(n)由(I)，得b2=a2c2= 2c2.所以椭圆的方程可写为2X2+ 3y2= 6c2.2设直线AB的方程为y=k(Xa)，即y=k(x 3c).cy=kX 3c由已知设A(xi,yi) ,B(X2,y2)，则它们的坐标满足方程组2221Oyo所以y= 3xo+ 22-T T65652oyo所以FM- FzNh百 +yiy2= = 2_-999Xo 45Xo2 4652oX465 25 2 99Xo 499n)(o)在厶AFiC的外接2acc，从而厂=2.+cc2x+ 3y= 6c.消去y并整理，得(2 + 3k2)x2 i8k2cx+ 27k2c2 6c2= o.依题意，A= 48c2(i