一一个方程所确定的隐函数及其导数ppt课件

1、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂一、一个方程所确定的隐函数及其导数 二、方程组的情形第五节隐函数的求导方法 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂本节讨论 :1) 方程在什么条件下才干确定隐函数 .例如, 方程02Cyx当 C 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时, 研讨其延续性、可微性 及求导方法问题 .山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1. 设函数设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF那么方程),(0),(00yxyxF在点单值延续函数 y = f (x) , )(0

2、0 xfy 并有延续yxFFxydd(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有延续的偏导数;的某邻域内可独一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件导数山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂0)(,(xfxF两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内那么山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 解解 设F(x, y)x2y21, Fx2x, Fy2y, F(0, 1)0, Fy(0, 1)20.那么由隐函数存在定理, 方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域内能独一确定

3、一个有延续导数、当x0时y1的隐函数yf(x). yxFFdxdyyx 00 xdxdy yxFFdxdyyx 例1 验证方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有延续导数、当x0时y1的隐函数yf(x), 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值. 32221yyyxydxyd32221yyyxydxyd 1022xdxyd 32221yyyxydxyd 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例2. 知方程知方程01sinyxeyx在点(0,0)某邻域确定一个单值可导隐函数, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令令, 1sin),(yxeyyxFx, yeF

4、xx那么xyFy cos求xyddyxFF xy cosyex0ddxxy 1xy cosyex0, 0yx山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy 3100yyx)(yex)(cosxy )(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyx山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂定理定理2 .2 .假设函数 ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有延续偏导数 ,那么方程0),(zyxF在点),(000zyx并有延续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值延续函数 z = f (x , y) , 定理证

5、明从略, 仅就求导公式推导如下:满足0),(000zyxF0),(000zyxFz 在点满足:某一邻域内可独一确山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂0),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxFyxfz那么zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例3. 设设,04222zzyx解法解法1 利用隐函数求导利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再对 x 求导山东农业

6、大学 高等数学 主讲人： 苏本堂解法解法2 利用公式利用公式设zzyxzyxF4),(222那么,2xFxzxFFxz两边对 x 求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂zxFFxz xz例例4. 设F( x , y)具有延续偏导数, 0),(zyzxF.dz求解解 利用偏导数公式利用偏导数公式.是由方程设),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 确定的隐函数,)dd(2121yFxFFyFxz

7、那么)()(2221zyzxFF 知方程故山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数 在一定条件下方程组F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0能确定一对二元函数uu(x, y), vv(x, y). 例如, 方程xu-yv=0和yuxv=1可以确定两个二元函数 现实上, 能否根据原方程组求uu(x, y), vv(x, y)的偏导数？ 22yxyu 22yxxv 2222yxxyxyyxv2222yxxyxyyxv xuyv0 yv0 uyxv1uyxxyu1uyxxyu22yxyu 山东农业大学 高等

8、数学 主讲人： 苏本堂隐函数存在定理隐函数存在定理3 设设),(vuyxF),(vuyxG在在点点),(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的延续的某一邻域内有对各个变量的延续偏导数，且偏导数，且0,),(0000=vuyxF),(0000vuyxG0=且偏导数所组成的函数行列式且偏导数所组成的函数行列式 或称雅可比式或称雅可比式vuvuGGFFvuGFJ),(),(在点在点),(0000vuyxP不等于零，那么方程组不等于零，那么方程组0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在点的单值延续函数),(, ),(yxvvyxuu且有偏导数公式 :的某一邻域内可独一确定一组满足条

9、件, ),(000yxuu ),(000yxvv 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv定理证明略.仅推导偏导数公式如下：vvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1(P34-P35)xxGFyyGFxxGFyyGF山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组那么两边对 x 求导得

10、,),(),(yxvvyxuu设方程组,0vuvuGGFFJ在点P 的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0故得系数行列式山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂222111cybxacybxa解解: :22111babax 2211bcbc2211caca22111babay 二元线性代数方程组解的公式山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂同样可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例5. 设设, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程组两边对 x 求导，并移项得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx练习练习: 求求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案答案:由题设故有山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 zxFyFy0zFz fx)1 (y例例6. 设设)(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所确定的函数 , 求.ddxz解解 分别